武汉宏图艺考 二次函数、指数函数、对数函数、幂函数焦点专题(二)


武汉宏图艺考 武昌徐东大街岳家嘴 东湖春树里小区四栋 1 单元 2004 室

二次函数、指数函数、对数函数、幂函数焦点专题(二)
【真题回顾】 1、(2010 广东文)函数 f ( x) ? lg( x ? 1) 的定义域是 A.(2, ?? ) B.(1, ?? ) C.[1, ?? )
x ?x

D.[2, ?? )
x ?x

2、(2010 广东文)若函数 f ( x) ? 3 ? 3 与 g ( x) ? 3 ? 3 的定义域均为 R ,则 A. f ( x) 与 g ( x) 均为偶函数 C. f ( x) 与 g ( x) 均为奇函数 B. f ( x) 为奇函数, g ( x) 为偶函数 D. f ( x) 为偶函数, g ( x) 为奇函数
x

3、(2009 广东文)若函数 y=f ( x) 是函数 y=a 则 f ( x)=

? a>0, 且a ? 1? 的反函数,且 f (2)=1 ,

A. log 2 x

B.

1 2x

C. log 1 x
2
x

D. 2

x?2

4、(2009 广东文)函数 f ( x) ? ( x ? 3)e 的单调递增区间是 A. ? ??, 2 ? B.(0,3) C.(1,4) D. ? 2, ?? ?
2n

5、(2009 广东理)已知等比数列 {an } 满足 an ? 0, n ? 1, 2,? ,且 a5 ? a2 n ? 5 ? 2 ( n ? 3) ,则 当 n ? 1时, log 2 a1 ? log 2 a3 ? ? ? log 2 a2 n ?1 ? A. n(2n ? 1) B. ( n ? 1)
2

C. n

2

D. (n ? 1)

2

6、 (2008 广东文 )命题“若函数 f ( x) ? log x (a ? 0,a ? 1) 在其定义域 内是减函数, 则 a

log a 2 ? 0 ”的逆否命题是
A.若 log a 2 ? 0 ,则函数 f ( x) ? log a x(a ? 0, a ? 1) 在其定义域内不是减函数 B.若 log a 2 ? 0 ,则函数 f ( x) ? log a x(a ? 0, a ? 1) 在其定义域内不是减函数 C.若 log a 2 ? 0 ,则函数 f ( x) ? log a x(a ? 0, a ? 1) 在其定义域内是减函数 D.若 log a 2 ? 0 ,则函数 f ( x) ? log a x(a ? 0, a ? 1) 在其定义域内是减函数

1

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7、(2008 广东文)设 a ? R ,若函数 y ? e ? ax , x ?R ,有大于零的极值点,则
x

A. a ? ?1

B. a ? ?1

C. a ? ?

1 e

D. a ? ?

1 e

答案:1~5 BDADC 6~7AA
8、(2010 广东)已知函数 f ( x) 对任意实数 x 均有 f ( x) ? kf ( x ? 2) ,其中常数 k 为负数, 且 f ( x) 在区间 ? 0, 2 ? 上有表达式 f ( x) ? x( x ? 2) . (1)求 f (?1) , f (2.5) 的值; (2)写出 f ( x) 在 ? ?3,3? 上的表达式,并讨论函数 f ( x) 在 ? ?3,3? 上的单调性; (3)求出 f ( x) 在 ? ?3,3? 上的最小值与最大值,并求出相应的自变量的取值. .解:(1)∵ x ? [0,2] 时, f ( x) ? x( x ? 2) ,∴ f (1) ? ?1 , f (0.5) ? 又 x ?R 时, f ( x ) ? kf ( x ? 2) 恒成立, ∴ f (?1) ? kf (1) ? ?k , f (0.5) ? kf (2.5) ? ? ∴ f ( ?1) ? ?k , f (2.5) ? ?

1 1 3 ( ? 2) ? ? , 2 2 4

3 3 , k ? 0 ,得 f (2.5) ? ? , 4 4k

3 ; 4k

(2)由 x ?R 时, f ( x ) ? kf ( x ? 2) , x ? [0,2] 时, f ( x) ? x( x ? 2) ,得 ①当 x ? (?2,0] 时, x ? 2 ? (0,2] , f ( x) ? k ( x ? 2)[( x ? 2) ? 2] ? kx( x ? 2) , ②当 x ? [?3, ?2] 时,x ? 2 ? [?1,0] ,f ( x ) ? k{k ( x ? 2)[( x ? 2) ? 2]} ? k ( x ? 2)( x ? 4) ,
2

③当 x ? (2,3] 时, x ? 2 ? (0,1] , f ( x ? 2) ? ( x ? 2)[( x ? 2) ? 2] ? ( x ? 2)( x ? 4) , 而 f ( x ? 2) ? kf ( x ) , k ? 0 ,有 f ( x ) ?

1 ( x ? 2)( x ? 4) , k
y -2 -3 -1 O 1 2 3 x

? k 2 ( x ? 2)( x ? 4), x ? [ ?3, ?2] ? x ? ( ?2,0] ? kx ( x ? 2), ? ∴ f ( x ) ? ? x ( x ? 2), x ? (0, 2] ? ? 1 ( x ? 2)( x ? 4), x ? (2,3] ?k ?

f ( x ) 在 [?3,3] 上的图象如图所示:

2

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∴ f ( x ) 在 [ ?3, ?1] 和 [1, 3] 上均为增函数;在 [?1,1] 上为减函数; (3)由(2)得 f ( ?3) ? ?k , f ( ?1) ? ?k , f (1) ? ?1 , f (3) ? ?
2

1 , k

①当 f (?3) ? f (1) ,即 ?k ? ?1 ,而 k ? 0 ,也即 k ? ?1 时,
2

1 1? k2 f ( ?1) ? f (3) ? ( ?k ) ? ( ? ) ? ? 0 ,有 f (?1) ? f (3) , k k
得 f ( x ) max ? f ( ?1) ? ?k , f ( x ) min ? f ( ?3) ? ?k ,
2

②当 f (?3) ? f (1) ,即 ?1 ? k ? 0 时, f (?1) ? f (3) ,

f ( x ) max ? f (3) ? ?

1 , f ( x ) min ? f (1) ? ?1 , k
2

综上所述,当 k ? ?1 时, x ? ?3 , f ( x ) min ? ?k , x ? ?1 , f ( x ) max ? ?k ; 当 ?1 ? k ? 0 时, x ? 1 , f ( x ) min ? ?1 , x ? 3 , f ( x ) max ? ?

1 k

3

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