2015年全国高考文科数学分类汇编——10.立体几何


2015 年全国高考文科数学分类汇编——10.立体几何

1. 【2015 高考浙江, 文 4】 设 ? ,? 是两个不同的平面,l ,m 是两条不同的直线, 且l ? ? ,

m?? (

) B.若 ? ? ? ,则 l ? m D.若 ? //? ,则 l //m

A.若 l ? ? ,则 ? ? ? C.若 l //? ,则 ? //? 【答案】A

【解析】 采用排除法, 选项 A 中, 平面与平面垂直的判定, 故正确; 选项 B 中, 当 ? ? ? 时,

l , m 可以垂直,也可以平行,也可以异面;选项 C 中, l // ? 时, ? , ? 可以相交;选项 D
中, ? // ? 时, l , m 也可以异面.故选 A. 【考点定位】直线、平面的位置关系. 【点评】本题主要考查空间直线、平面的位置关系.解答本题时要根据空间直线、平面的位 置关系,从定理、公理以及排除法等角度,对个选项的结论进行确认真假.本题属于容易题, 重点考查学生的空间想象能力以及排除错误结论的能力. 2.【2015 高考新课标 1,文 6】 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的 数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺, 问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一 个圆锥的四分之一) ,米堆底部的弧长为 8 尺,米堆的高为 5 尺,米堆的 体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率 约为 3,估算出堆放的米有( ) (A) 14 斛 (B) 22 斛 (C) 36 斛 (D) 66 斛

【答案】B
1 16 【解析】 设 圆锥底面 半径为 r , 则 ? 2 ? 3r ? 8 ,所以 r ? , 所以 米堆的体 积为 4 3 1 1 16 320 320 ? ? 3 ? ( )2 ? 5 = ,故堆放的米约为 ÷1.62≈22,故选 B. 4 3 3 9 9
【考点定位】圆锥的性质与圆锥的体积公式 【点评】本题以《九章算术》中的问题为材料,试题背景新颖,解答本题的关键应想到米堆



1 1 圆锥,底面周长是两个底面半径与 圆的和,根据题中的条件列出关于底面半径的方 4 4

程,解出底面半径,是基础题. 3.【2015 高考浙江,文 2】某几何体的三视图如图所示(单位: cm ) ,则该几何体的体积是 ( ) B . 12 cm3 C.

A . 8 cm3 D.

32 cm3 3

40 cm3 3

【答案】C 【解析】由三视图可知,该几何体是一个棱长为 2 的正方体与一个底面边长为 2 ,高为 2 的
3 2 正四棱锥的组合体,故其体积为 V ? 2 ? ? 2 ? 2 ?

1 3

32 3 cm .故选 C. 3

【考点定位】1.三视图;2.空间几何体的体积. 【点评】本题主要考查空间几何体的体积.解答本题时要能够根据三视图确定该几何体的结 构特征,并准确利用几何体的体积计算方法计算求得体积.本题属于中等题,重点考查空间 想象能力和基本的运算能力. 4.【2015 高考重庆,文 5】某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

(A)

1 ? 2? 3

(B)

13? 6

(C)

7? 3

(D)

5? 2

【答案】B 【解析】 由三视图可知该几何体是由一个底面半径为 1, 高为 2 的圆柱, 再加上一个半圆锥: 其底面半径为 1,高也为 1,构成的一个组合体,故其体积为

? ? 12 ? 2 ? ? ? ? 12 ? 1 ?

1 6

13? ,故选 B. 6

【考点定位】三视图及柱体与锥体的体积. 【点评】本题考查三视图的概念和组合体体积的计算,采用三视图还原成直观图,再利用简 单几何体的体积公式进行求解.本题属于基础题,注意运算的准确性. 5.【2015 高考陕西,文 5】一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( A. 3? B. 4? C. 2? ? 4 D. 3? ? 4 )

【答案】 D 【解析】由几何体的三视图可知该几何体为圆柱的截去一半,所以该几何体的表面积为

? ?1? 2 ? ? ? ?12 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3? ? 4 ,故答案选 D
【考点定位】1.空间几何体的三视图;2.空间几何体的表面积. 【点评】1.本题考查空间几何体的三视图及几何体的表面积,意在考查考生的识图能力、空 间想象能力以及技术能力;2.先根据三视图判断几何体的结构特征,再计算出几何体各 个面的面积即可;3.本题属于基础题,是高考常考题型. 6.【2015 高考广东,文 6】若直线 l1 和 l2 是异面直线, l1 在平面 ? 内, l2 在平面 ? 内, l 是 平面 ? 与平面 ? 的交线,则下列命题正确的是( )

1 2

A. l 至少与 l1 , l2 中的一条相交 C. l 至多与 l1 , l2 中的一条相交 【答案】A

B. l 与 l1 , l2 都相交 D. l 与 l1 , l2 都不相交

【解析】若直线 l1 和 l2 是异面直线, l1 在平面 ? 内, l2 在平面 ? 内, l 是平面 ? 与平面 ? 的 交线,则 l 至少与 l1 , l2 中的一条相交,故选 A. 【考点定位】空间点、线、面的位置关系. 【名师点晴】本题主要考查的是空间点、线、面的位置关系,属于容易题.解题时一定要注 意选项中的重要字眼“至少” 、 “至多” , 否则很容易出现错误.解决空间点、线、面的位置 关系这类试题时一定要万分小心,除了作理论方面的推导论证外,利用特殊图形进行检验, 也可作必要的合情推理. 7.【2015 高考浙江,文 7】如图,斜线段 ?? 与平面 ? 所成的角为 60? , ? 为斜足,平面 ? 上的动点 ? 满足 ???? ? 30? ,则点 ? 的轨迹是( A.直线 的一支 B.抛物线 ) C.椭圆 D.双曲线

【答案】C 【解析】 由题可知,当 ? 点运动时,在空间中,满足条件的 ?? 绕 ?? 旋转形成一个圆锥,用一个与 圆锥高成 60 角的平面截圆锥,所得图形为椭圆.故选 C. 【考点定位】1.圆锥曲线的定义;2.线面位置关系. 【点评】本题主要考查圆锥曲线的定义以及空间线面的位置关系.解答本题时要能够根据给 出的线面位置关系,通过空间想象能力,得到一个无限延展的圆锥被一个与之成 60 角的平 面截得的图形是椭圆的结论.本题属于中等题,重点考查学生的空间想象能力以及对圆锥曲
?
?

线的定义的理解. 8.【2015 高考湖北,文 5】 l1 , l2 表示空间中的两条直线,若 p: l1 , l2 是异面直线;q: l1 , l2 不 相交,则( )

A.p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件 B.p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件 C.p 是 q 的充分必要条件 D.p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件 【答案】 A . 【解析】若 p: l1 , l2 是异面直线,由异面直线的定义知, l1 , l2 不相交,所以命题 q: l1 , l2 不相 交成立,即 p 是 q 的充分条件;反过来,若 q: l1 , l2 不相交,则 l1 , l2 可能平行,也可能异面, 所以不能推出 l1 , l2 是异面直线,即 p 不是 q 的必要条件,故应选 A . 【考点定位】本题考查充分条件与必要条件、异面直线,属基础题. 【点评】以命题与命题间的充分条件与必要条件为契机,重点考查空间中直线的位置关系, 其解题的关键是弄清谁是谁的充分条件谁是谁的必要条件, 正确理解异面直线的定义, 注意 考虑问题的全面性、准确性. 9、 【2015 高考新课标 1,文 11】圆柱被一个平面截去一部分 后与半球(半径为 r )组成一个几何体,该几何体的三视图 中的正视 图和俯视图如图所示, 若该几何体的表面积 为

16 ? 20? ,则 r ? ( )
(A) 1 (C) 4 (B) 2 (D) 8

【答案】B 【解析】由正视图和俯视图知,该几何体是半球与半个圆柱的组合体,圆柱的半径与球的
半径都为 r, 圆柱的高为 2r, 其表面积为 + 20 ? ,解得 r=2,故选 B. 【考点定位】简单几何体的三视图;球的表面积公式;圆柱的测面积公式 【点评】本题考查简单组合体的三视图的识别,是常规提,对简单组合体三三视图问题,先 看俯视图确定底面的形状,根据正视图和侧视图,确定组合体的形状,再根据“长对正,宽 相等,高平齐”的法则组合体中的各个量.

1 ? 4? r 2 ? ? r ? 2r ? ? r 2 ? 2r ? 2r = 5? r 2 ? 4r 2 =16 2

10.【2015 高考福建,文 9】某几何体的三视图如图所示,则该几何体 的表面积等于( A. 8 ? 2 2 【答案】B 【解析】由三视图还原几何体,该几何体是底面为直角梯形, )
2

B. 11 ? 2 2

C. 14 ? 2 2

D. 15
1 1 1

2 ,直角腰长为1 , 高为 2 的直四棱柱,且底面直角梯形的两底分别为 1,
斜腰为 2 .底面积为 2 ?

1 ? 3 ? 3 ,侧面积为 2+2+4+2 2=8+2 2 , 2

所以该几何体的表面积为 11 ? 2 2 ,故选 B. 【考点定位】三视图和表面积. 【点评】本题考查三视图和表面积计算,关键在于根据三视图还原体,要掌握常见几何 体的三视图,比如三棱柱、三棱锥、圆锥、四棱柱、四棱锥、圆锥、球、圆台以及其组 合体, 并且要弄明白几何体的尺寸跟三视图尺寸的关系; 有时候还可以利用外部补形法, 将几何体补成长方体或者正方体等常见几何体,属于中档题. 11.【2015 高考山东,文 9】已知等腰直角三角形的直角边的长为?,将该三角形绕其斜边 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( (A) )

2 2? 4 2? ? ? ?( ? B) ? ? ?( ? )? 2 2? ? ? ?( ? )? 4 2? ? ? ? 3 3

【答案】 B 【解析】由题意知,该等腰直角三角形的斜边长为 2 2 ,斜边上的高为 2 ,所得旋转体

为同底等高的全等圆锥,所以,其体积为

1 4 2? ? ? ( 2)2 ? 2 2 ? , ,故选 B . 3 3

【考点定位】1.旋转体的几何特征;2.几何体的体积. 【点评】本题考查了旋转体的几何特征及几何体的体积计算,解答本题的关键,是理解所得 旋转体的几何特征,确定得到计算体积所需要的几何量. 本题属于基础题, 在考查旋转体的几何特征及几何体的体积计算方法的同时, 考查了考生的 空间想象能力及运算能力,是“无图考图”的一道好题. 12.【2015 高考湖南,文 10】某工作的三视图如图 3 所示,现将该工作通过切削,加工成一 个体积尽可能大的正方体新工件, 并使新工件的一个面落在原工作的一个面内, 则原工件材

料的利用率为(材料利用率=新工件的体积/原工件的体积) ( A、

) D、

8? 9

B、

8 27?

C、

24( 2 ? 1) 2

8( 2 ? 1) 2

?

?

【答案】A 【解析】由题可得,问题等价于圆锥的内接长方体的体积,如图所示,则有

x 2?h ? ,? h ? 2 ? 2 x, 1 2

? x ? x ? 2 ? 2 x ? 32 所以长方体体积为 x h ? ? 2 x ? ? 2 ? 2 x ? ? 4 x ? x ? ? 2 ? 2 x ? ? 4 ? ,当 ? ? 3 ? ? 27
2 2

3

且仅当 x ? 2 ? 2 x ,即 x ?

2 16 时,等号成立,故利用率为 ,故选 A. ? 1 3 9 ? 2 ? ? ?1 ? 2 3

32 27

【考点定位】三视图、基本不等式求最值、圆锥的内接长方体 【点评】运用基本不等式求最值要紧紧抓住“一正二定三相等”条件,本题“和为定”是解 决问题的关键.空间想象能力是解决三视图的关键,可从长方体三个侧面进行想象几何体.求 组合体的体积,关键是确定组合体的组成形式及各部分几何体的特征,再结合分割法、补体

法、转化法等方法求体积. 13.【2015 高考北京,文 7】某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为( A.1 D. 2 B. )

2

C.

3

【答案】C 【解析】四棱锥的直观图如图所示:

由三视图可知, SC ? 平面 ?? CD , S ? 是四棱锥最长的棱,

SA ? SC 2 ? AC 2 ? SC 2 ? AB2 ? BC 2 ? 3 ,故选 C.
【考点定位】三视图. 【名师点晴】本题主要考查的是三视图,属于容易题.解题时一定要抓住三视图的特点,否 则很容易出现错误. 本题先根据三视图判断几何体的结构特征, 再计算出几何体中最长棱的 棱长即可. 14【2015 高考安徽,文 9】一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是( )

(A) 1 ? 3 【答案】C

(B) 1 ? 2 2

(C) 2 ? 3

(D) 2 2

【解析】由该几何体的三视图可知,该几何体的直观图,如下图所示:

其中侧面 PAC⊥底面 ABC,且 ?PAC ≌ ?ABC ,由三视图中所给数据可知:

PA ? PC ? AB ? BC ? 2 ,取 AC 中点 O, 连接 PO, BO ,则 Rt ?POB 中,
PO ? BO ? 1 ? PB ? 2 ∴ S ? 2 ?

3 1 ? 2 ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ,故选 C. 4 2

【考点定位】本题主要考查空间几何体的三视图、锥体表面积公式. 【点评】 在利用空间几何体的三视图求几何体的体积或者表面积时, 一定要正确还原几何体 的直观图, 然后再利用体积或表面积公式求之; 本题主要考查了考生的空间想象力和基本运 算能力. 【 2015 高 考 上 海 , 文 6 】 若 正 三 棱 柱 的 所 有 棱 长 均 为 a , 且 其 体 积 为 16 3 , 则

a?
【答案】4

.

【解析】依题意,

1 3 ?a?a? ? a ? 16 3 ,解得 a ? 4 . 2 2

【考点定位】等边三角形的性质,正三棱柱的性质. 【点评】 正三棱柱的底面是正三角形, 侧棱垂直于底面.柱体的体积等于底面积乘以高.边长 为 a 的正三角形的面积为

3 2 a . 4

15.【2015 高考天津,文 10】一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积 为

m3 .

【答案】

8π 3 8π 3 (m ) . 3

【解析】该几何体是由两个高为 1 的圆锥与一个高为 2 的圆柱组合而成,所以该几何体的体 积为 2 ? ? π ? 1 ? π ? 2 ?

1 3

【考点定位】本题主要考查三视图及几何体体积的计算. 【点评】由于三视图能有效的考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何题 基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般常与几何体的表面积与体积交汇.由三视 图还原出原几何体,是解决此类问题的关键. 16.【2015 高考四川,文 14】在三棱住 ABC-A1B1C1 中,∠BAC=90°,其正视图和侧视图 都是边长为 1 的正方形,俯视图是直角边长为 1 的等腰直角三角形,设点 M,N,P 分别是 AB,BC,B1C1 的中点,则三棱锥 P-A1MN 的体积是______. 【答案】

1 24 1 2
A1

C1 P C N B1

【解析】由题意,三棱柱是底面为直角边长为 1 的 等腰直角三角形,高为 1 的直三棱柱,底面积为

如图,因为 AA1∥PN,故 AA1∥面 PMN, 故三棱锥 P-A1MN 与三棱锥 P-AMN 体积相等, 三棱锥 P-AMN 的底面积是三棱锥底面积的 故三棱锥 P-A1MN 的体积为 ? A M B

1 ,高为 1 4

1 1 1 1 ? ? 3 2 4 24

【考点定位】本题主要考查空间几何体的三视图、直观图及空间线面关系、三棱柱与三棱锥 的体积等基础知识,考查空间想象能力、图形分割与转换的能力,考查基本运算能力. 【点评】解决本题,首先要正确画出三棱柱的直观图,包括各个点的对应字母所在位置,结 合条件,三棱锥 P-A1MN 的体积可以直接计算,但转换为三棱锥 P-AMN 的体积,使得计 算更为简便,基本上可以根据条件直接得出结论.属于中档偏难题. 17. 【 2015 高 考 安 徽 , 文 19 】 如 图 , 三 棱 锥 P-ABC 中 , PA ? 平 面 ABC ,

PA ? 1, AB ? 1, AC ? 2, ?BAC ? 60o .
(Ⅰ)求三棱锥 P-ABC 的体积; (Ⅱ)证明:在线段 PC 上存在点 M,使得 AC ? BM,并求

PM 的值. MC

【答案】 (Ⅰ) 【解析】

PM 1 3 ? (Ⅱ) MC 3 6

(Ⅰ)解:由题设 AB =1, AC ? 2, ?BAC ? 60 可得 S ?ABC ?

?

1 3 ? AB ? AC ? sin 60? ? . 2 2

由 PA ? 面 ABC 可知 PA 是三棱锥 P ? ABC 的高,又 PA ? 1 所以三棱锥 P ? ABC 的体积 V= ? S ?ABC ? PA ?

1 3

3 6

(Ⅱ)证:在平面 ABC 内,过点 B 作 BN ? AC ,垂足为 N ,过 N 作 MN // PA 交 PC 于

M ,连接 BM .

由 PA ? 面 ABC 知 PA ? AC ,所以 MN ? AC .由于 BN ? MN =N ,故 AC ? 面 MBN , 又 BM ? 面 MBN ,所以 AC ? BM . 在直角 ?BAN 中, AN ? AB ? cos ?BAC ? 得

1 3 ,从而 NC ? AC ? AN ? .由 MN // PA , 2 2

PM AN 1 = ? . MC NC 3

【考点定位】本题主要考查锥体的体积公式、线面垂直的判定定理和其性质定理. 【点评】本题将正弦定理求三角形的面积巧妙地结合到求锥体的体积之中,本题的第(Ⅱ) 问需要学生构造出线面垂直, 进而利用性质定理证明出面面垂直, 本题考查了考生的空间想 象能力、构造能力和运算能力. 18. 【2015 高考北京, 文 18】 (本小题满分 14 分) 如图, 在三棱锥 V ? ??C 中, 平面 V?? ? 平面 ?? C , ?V?? 为等边三角形,

?C ? ?C 且 ?C ? ?C ? 2 , ? , ? 分别为 ?? , V? 的中点.
(I)求证: V? // 平面 ??C ; (II)求证:平面 ??C ? 平面 V ?? ; (III)求三棱锥 V ? ??C 的体积.

【答案】 (I)证明详见解析; (II)证明详见解析; (III) 【解析】

3 . 3

试题分析:本题主要考查线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、 三棱锥的体积公式等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑 推理能力、转化能力、计算能力.(I)在三角形 ??V 中,利用中位线的性质得 OM / /VB , 最后直接利用线面平行的判定得到结论; (II)先在三角形 ?? C 中得到 OC ? AB ,再利用 面面垂直的性质得 OC ? 平面 V ?? ,最后利用面面垂直的判定得出结论; (III)将三棱锥进 行等体积转化,利用 VC ?VAB ? VV ? ABC ,先求出三角形 V ?? 的面积,由于 OC ? 平面 V ?? , 所以 ? C 为锥体的高,利用锥体的体积公式计算出体积即可. 试题解析: (Ⅰ)因为 O, M 分别为 ?? , V? 的中点, 所以 OM / /VB . 又因为 VB ? 平面 ??C , 所以 VB / / 平面 ??C . (Ⅱ)因为 AC ? BC , O 为 ?? 的中点, 所以 OC ? AB . 又因为平面 V ?? ? 平面 ?? C ,且 OC ? 平面 ?? C , 所以 OC ? 平面 V ?? . 所以平面 ??C ? 平面 V ?? . (Ⅲ)在等腰直角三角形 ACB 中, AC ? BC ? 所以 AB ? 2, OC ? 1 . 所以等边三角形 V ?? 的面积 S?VAB ? 3 . 又因为 OC ? 平面 V ?? ,

2,

所以三棱锥 C ? V?? 的体积等于 ? OC ? S?VAB ?

1 3

3 . 3

又因为三棱锥 V ? ??C 的体积与三棱锥 C ? V?? 的体积相等, 所以三棱锥 V ? ??C 的体积为

3 . 3

考点:线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积公 式. 【名师点晴】本题主要考查的是线面平行、面面垂直和几何体的体积,属于中档题.证明线 面平行的关键是证明线线平行, 证明线线平行常用的方法是三角形的中位线和构造平行四边 形.证明面面垂直的关键是证明线面垂直,证明线面垂直可由面面垂直得到,但由面面垂直 得到线面垂直一定要注意找两个面的交线, 否则很容易出现错误. 求几何体的体积的方法主 要有公式法、割补法、等积法等,本题求三棱锥的体积,采用了等积法. 19.【2015 高考福建,文 20】如图, AB 是圆 O 的直径,点 C 是圆 O 上异于 A, B 的点,?? 垂直于圆 ? 所在的平面,且 ?? ? ?? ? 1. (Ⅰ)若 D 为线段 AC 的中点,求证 ?C ? 平面 ? D? ; (Ⅱ)求三棱锥 P ? ABC 体积的最大值; (Ⅲ)若 BC ? 2 ,点 E 在线段 PB 上,求 CE ? OE 的最小值.

P

E

A D

O C

B

【答案】 (Ⅰ)详见解析; (Ⅱ)

1 2? 6 ; (Ⅲ) . 3 2

【解析】解法一: (I)在 ???C 中,因为 ?? ? ?C , D 为 ? C 的中点,

所以 ?C ? ?D .又 ?? 垂直于圆 ? 所在的平面,所以 ?? ? ?C . 因为 D? ? ?? ? ? ,所以 ?C ? 平面 ? D? . (II)因为点 C 在圆 ? 上, 所以当 C? ? ?? 时, C 到 ?? 的距离最大,且最大值为 1 . 又 ?? ? 2 ,所以 ??? C 面积的最大值为

1 ? 2 ?1 ? 1 . 2 1 3 1 . 3

又因为三棱锥 ? ? ?? C 的高 ?? ? 1 ,故三棱锥 ? ? ?? C 体积的最大值为 ?1?1 ? (III)在 ???? 中, ?? ? ?? ? 1, ???? ? 90 ,所以 ?? ? 12 ? 12 ? 2 .
?

同理 ?C ?

2 ,所以 ?? ? ?C ? ?C .

在三棱锥 ? ? ??C 中,将侧面 ? C? 绕 ?? 旋转至平面 ? C?? ,使之与平面 ??? 共面,如 图所示. 当 ? , ? , C? 共线时, C? ? ?? 取得最小值. 又因为 ?? ? ?? , C?? ? C?? ,所以 ?C? 垂直平分 ?? , 即 ? 为 ?? 中点.从而 ?C? ? ?? ? ?C? ?

2 6 2? 6 , ? ? 2 2 2

亦即 C? ? ?? 的最小值为

2? 6 . 2

P

A

O

B

解法二: (I) 、 (II)同解法一. (III)在 ???? 中, ?? ? ?? ? 1, ???? ? 90 ,
?

所以 ???? ? 45 , ?? ? 12 ? 12 ? 2 .同理 ?C ?
?

2.

所以 ?? ? ?C ? ?C ,所以 ?C?? ? 60 .
?

在三棱锥 ? ? ??C 中,将侧面 ? C? 绕 ?? 旋转至平面 ? C?? ,使之与平面 ??? 共面,如

图所示. 当 ? , ? , C? 共线时, C? ? ?? 取得最小值. 所以在 ??C?? 中,由余弦定理得:

?C?2 ? 1 ? 2 ? 2 ?1? 2 ? cos ? 45? ? 60? ?

? 2 1 ? 1 ? 2? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2

2 ? 2

? 3 ? ? 2 ?

? 2? 3.
从而 ?C? ?

2? 3 ?

2? 6 . 2 2? 6 . 2

所以 C? ? ?? 的最小值为

【考点定位】1、直线和平面垂直的判定;2、三棱锥体积. 【点评】证明直线和平面垂直可以利用判定定理,即线线垂直到线面垂直;也可以利用面面 垂直的性质定理,即面面垂直到线面垂直;决定棱锥体积的量有两个,即底面积和高,当研 究其体积的最值问题时, 若其中有一个量确定, 则只需另一个量的最值; 若两个量都不确定, 可通过设变量法,将体积表示为变量的函数解析式,利用函数思想确定其最值;将空间问题 转化为平面问题是转化思想的重要体现, 通过旋转到一个平面内, 利用两点之间距离最短求 解. 20.【2015 高考广东,文 18】 (本小题满分 14 分)如图 3 ,三角形 ?DC 所在的平面与长方 形 ?? CD 所在的平面垂直, ?D ? ?C ? 4 ,

?? ? 6 , ? C ? 3 .
(1)证明: ? C// 平面 ? D ? ; (2)证明: ?C ? ?D ; (3)求点 C 到平面 ? D ? 的距离.

【答案】 (1)证明见解析; (2)证明见解析; (3) 【解析】

3 7 . 2

试题分析: (1)由四边形 ?? CD 是长方形可证 ? C//?D ,进而可证 ? C// 平面 ? D ? ; (2) 先证 ?C ? CD ,再证 ?C ? 平面 ?DC ,进而可证 ?C ? ?D ; (3)取 CD 的中点 ? ,连结

?? 和 ?? , 先 证 ?? ? 平 面 ?? CD , 再 设 点 C 到 平 面 ? D ? 的 距 离 为 h , 利 用
可得 h 的值,进而可得点 C 到平面 ? D ? 的距离. V三棱锥C?? D ? ?V 三棱锥??? C D 试题解析: (1) 因为四边形 ?? CD 是长方形, 所以 ? C//?D , 因为 ?C ? 平面 ? D ? ,?D ? 平面 ? D ? ,所以 ? C// 平面 ? D ? (2)因为四边形 ?? CD 是长方形,所以 ?C ? CD ,因为平面 ?DC ? 平面 ?? CD ,平面

?DC ? 平面 ??CD ? CD , ?C ? 平面 ?? CD ,所以 ?C ? 平面 ?DC ,因为 ?D ? 平面
?DC ,所以 ?C ? ?D

(3)取 CD 的中点 ? ,连结 ?? 和 ?? ,因为 ?D ? ?C ,所以 ?? ? CD ,在 Rt ???D 中,

?? ? ?D2 ? D?2
因为平面 ?DC ? 平面 ?? CD , 平面 ?DC ? 平面 ??CD ? CD ,?? ? ? 42 ? 32 ? 7 , 平面 ?DC ,所以 ?? ? 平面 ?? CD ,由(2)知:?C ? 平面 ?DC ,由(1)知:? C//?D , 所以 ?D ? 平面 ?DC ,因为 ?D ? 平面 ?DC ,所以 ?D ? ?D ,设点 C 到平面 ? D ? 的距 离 为 h , 因 为 V三棱锥C??
? D

? V三棱锥???

C D

, 所 以

1 1 S??D? ? h ? S ??CD ? ?? , 即 3 3

1 S??CD ? ?? 2 ? 3 ? 6 ? 7 3 7 3 7 ,所以点 C 到平面 ? D ? 的距离是 h? ? ? 1 2 S??D? 2 ? 3? 4 2
【考点定位】1、线面平行;2、线线垂直;3、点到平面的距离. 【名师点晴】本题主要考查的是线面平行、线线垂直和点到平面的距离,属于中 档题.证明线面平行的关键是证明线线平行,证明线线平行常用的方法是三角形

的中位线和构造平行四边形. 证明线线垂直的关键是证明线面垂直, 证明线面垂直可由面面 垂直得到, 但由面面垂直得到线面垂直一定要注意找两个面的交线, 否则很容易出现错误. 点 到平面的距离是转化为几何体的体积问题,借助等积法来解决. 21.【2015 高考湖北,文 20】 《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的 四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑 . 在如图所示的阳马
P ? ABCD 中,侧棱 PD ? 底面 ABCD ,且 PD ?CD ,点 E 是 PC 的中点,连接 DE , BD, BE .

(Ⅰ)证明: DE ? 平面 PBC . 试判断四面体 EBCD 是 否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论) ;若不是,请说明理由; (Ⅱ)记阳马 P ? ABCD 的体积为 V1 ,四面体 EBCD 的体积为 V 2 ,求
V1 的值. V2

【答案】 (Ⅰ) 因为 PD ? 底面 ABCD , 所以 PD ? BC . 由底面 ABCD 为长方形, 有 BC ? CD , 而 PD ? CD ? D , 所 以 BC ? 平 面 P C D . DE ? 平 面 P C D , 所 以 B C ? D E. 又 因 为
PD ? CD ,点 E 是 PC 的中点,所以 DE ? PC . 而 PC ? BC ? C ,所以 DE ? 平面 PBC .四

面体 EBCD 是一个鳖臑; (Ⅱ)

V1 ? 4. V2

【解析】 (Ⅰ) 因为 PD ? 底面 ABCD , 所以 PD ? BC . 由底面 ABCD 为长方形, 有 BC ? CD , 而 PD ? CD ? D ,所以 BC ? 平面 PCD . DE ? 平面 PCD ,所以 BC ? DE . 又因为
PD ? CD ,点 E 是 PC 的中点,所以 DE ? PC . 而 PC ? BC ? C ,所以 DE ? 平面 PBC . 由
BC ? 平面 PCD , DE ? 平面 PBC ,可知四面体 EBCD 的四个面都是直角三角形,即四面体 EBCD 是一个鳖臑,其四个面的直角分别是 ?BCD , ?BCE , ? DEC , ? DEB .

1 1 (Ⅱ) 由已知,PD 是阳马 P ? ABCD 的高, 所以 V1 ? S ABCD ? PD ? BC ? CD ? PD ; 由 (Ⅰ) 3 3
知 , DE 是 鳖 臑 D ? B C E的 高 ,
BC ? CE , 所 以 V2 ? S?BCE ? DE ?

1 3

1 BC ? CE ? DE . 在 6
2 CD ,于是 2

Rt △ PDC 中 , 因 为 PD ? CD , 点 E 是 PC 的 中 点 , 所 以 D E ? C E ?

1 BC ? CD ? PD V1 3 2CD ? PD ? ? ? 4. 1 V2 BC ? CE ? DE CE ? DE 6
【考点定位】 本题考查直线与平面垂直的判定定理、 直线与平面垂直的性质定理和简单几何 体的体积,属中高档题. 【点评】以《九章算术》为背景,给予新定义,增添了试题的新颖性,但其实质仍然是考查 线面垂直与简单几何体的体积计算,其解题思路:第一问通过线线、线面垂直相互之间的转

化进行证明,第二问关键注意底面积和高之比,运用锥体的体积计算公式进行求解. 结合数 学史料的给予新定义,不仅考查学生解题能力,也增强对数学的兴趣培养,为空间立体几何 注入了新的活力. 22.【2015 高考湖南,文 18】 (本小题满分 12 分)如图 4,直三棱柱 ABC ? A1B1C1 的底面 是边长为 2 的正三角形, E , F 分别是 BC, CC1 的中点。 (I)证明:平面 AEF ? 平面 B1BCC1 ;

F ? AEC 的体积。 (II)若直线 AC 1 与平面 A 1 ABB 1 所成的角为 45 ,求三棱锥
?

【答案】 (I)略;(II) 【解析】

6 . 12

试题分析: (I)首先证明 AE ? BB1 , AE ? BC ,得到 AE ? 平面 B1BCC1 ,利用面面垂直 的判定与性质定理可得平面 AEF ? 平面 B1BCC1 ; (II)设 AB 的中点为 D,证明直线 ?CA 1D
? 直线 AC 1 与平面 A 1 ABB 1 所成的角,由题设知 ?CA 1D ? 45 ,求出棱锥的高与底面面积即

可求解几何体的体积. 试题解析: (I)如图,因为三棱柱 ABC ? A1B1C1 是直三棱柱, 所以 AE ? BB1 ,又 E 是正三角形 ABC 的边 BC 的中点, 所以 AE ? BC ,因此 AE ? 平面 B1BCC1 ,而 AE ? 平面 AEF , 所以平面 AEF ? 平面 B1BCC1 。 (II)设 AB 的中点为 D ,连接 A1D, CD ,因为 ?ABC 是正三角形,所以 CD ? AB ,又三

棱柱 ABC ? A1B1C1 是直三棱柱,所以 CD ? AA1 ,因此 CD ? 平面 A 1 AB 1B ,于是 ?CA 1D
? 直线 AC 1 与平面 A 1 ABB 1 所成的角,由题设知 ?CA 1D ? 45 ,

所以 A1D ? CD ?

3 AB ? 3 , 3
A1 D 2 ? AD 2 ? 3 ? 1 ? 2 ,所以 FC ?

在 Rt ?AA 1 ? 1D 中, AA

1 2 AA1 ? 2 2

故三棱锥 F ? AEC 的体积 V ?

1 1 3 2 6 。 S AEC ? FC ? ? ? ? 3 3 2 2 12

【考点定位】柱体、椎体、台体的体积;面面垂直的判定与性质 【点评】 证明面面垂直的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质, 注意平面图形中的 一些线线垂直关系的灵活利用,这是证明空间垂直关系的基础.由于 “线线垂直”“线面垂 直”“面面垂直”之间可以相互转化,因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开,这 是化解空间垂直关系难点的技巧所在.求锥的体积关键在于确定其高,即确定线面垂直. 23.【2015 高考山东,文 18】 如图,三棱台 DEF ? ABC 中, AB ? 2 DE,G,H 分别为

AC,BC 的中点.
(I)求证: BD / / 平面 FGH ; (II)若 CF ? BC,AB ? BC, 求证:平面 BCD ? 平面 EGH .

【答案】证明见解析 【解析】 (I)证法一:连接 DG, CD. 设 CD ? GF ? M ,连接 MH ,在三棱台 DEF ? ABC 中,

AB ? 2 DE,G 分别为 AC 的中点,可得 DF / /GC, DF ? GC ,所以四边形 DFCG 是平
行四边形,则 M 为 CD 的中点,又 H 是 BC 的中点,所以 HM / / BD , 又 HM ? 平面 FGH , BD ? 平面 FGH ,所以 BD / / 平面 FGH .

证法二:在三棱台 DEF ? ABC 中,由 BC ? 2 EF , H 为 BC 的中点, 可得 BH / / EF , BH ? EF , 所以 HBEF 为平行四边形,可得 BE / / HF . 在 ?ABC 中, G,H 分别为 AC,BC 的中点, 所以 GH / / AB, 又 GH ? HF ? H , 所以平面 FGH / / 平面 ABED , 因为 BD ? 平面 ABED , 所以 BD / / 平面 FGH .

(II)证明:连接 HE .因为 G,H 分别为 AC,BC 的中点,所以 GH / / AB, 由 AB ? BC , 得

GH ? BC ,又 H 为 BC 的中点,所以 EF / / HC, EF ? HC, 因此四边形 EFCH 是平行四
边形,所以 CF / / HE. 又 CF ? BC ,所以 HE ? BC . 又 HE, GH ? 平面 EGH , HE ? GH ? H ,所以 BC ? 平面 EGH , 又 BC ? 平面 BCD ,所以平面 BCD ? 平面 EGH . 【考点定位】1.平行关系;2.垂直关系. 【点评】本题考查了空间几何体的特征及空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行 关系和垂直关系,从证明方法看,起点低,入口宽,特别是第一小题.证明过程中,关键是 注意构造线线的平行关系、垂直关系,特别是注意利用平行四边形,发现线线关系,进一步 得到线面关系、面面关系. 本题是一道能力题,属于中等题,重点考查两空间几何体的特征及空间直线、平面的平行关 系和垂直关系等基础知识,同时考查考生的逻辑推理能力、空间想象能力思维的严密性、函 数方程思想及应用数学知识解决问题的能力. 24.【2015 高考陕西,文 18】如图 1,在直角梯形 ABCD 中,

AD // BC , ?BAD ?

?
2

, AB ? BC ?

1 O 是 OC 与 BE 的交点, AD ? a ,E 是 AD 的中点, 2

将 ?ABE 沿 BE 折起到图 2 中 ?A1BE 的位置,得到四棱锥 A 1 ? BCDE . (I)证明: CD ? 平面 AOC ; 1 (II)当平面 A 1BE ? 平面 BCDE 时,四棱锥 A 1 ? BCDE 的体积为 36 2 ,求 a 的值.

【答案】(I) 证明略,详见解析;(II) a ? 6 . 【解析】 试题分析:(I) 在图 1 中,因为 AB ? BC ?

1 ? AD ? a , E 是 AD 的中点, ?BAD ? , 2 2

所以四边形 ABCE 是正方形,故 BE ? AC ,又在图 2 中, BE ? AO 1 , BE ? OC , 从而 BE ? 平面 AOC ,又 DE / / BC 且 DE ? BC ,所以 CD // BE ,即可证得 CD ? 1 平面 AOC ; 1 (II) 由已知,平面 A 1BE ? 平面 BCDE ,且平面 A 1 BE ? 平面 BCDE ? BE ,又由 (I) 知, AO ? BE ,所以 AO ? 平面 BCDE ,即 AO 1 1 1 是四棱锥 A 1 ? BCDE 的高,易求

? 2a 得 平 行 四 边 形 BCDE 面 积 S ? B C? A B ,从而四棱锥 A 1 ? BCDE 的 为

1 2 3 2 3 V ? ? S ? A1O ? a ,由 a ? 36 2 ,得 a ? 6 . 6 3 6
试题解析:(I)在图 1 中,因为 AB ? BC ?

1 ? AD ? a , E 是 AD 的中点 ?BAD ? ,所以 2 2

BE ? AC ,
即在图 2 中, BE ? AO 1 , BE ? OC 从而 BE ? 平面 AOC 1 又 CD // BE 所以 CD ? 平面 AOC . 1 (II)由已知,平面 A 1BE ? 平面 BCDE , 且平面 A 1BE ? 平面 BCDE ? BE 又由(I)知, AO ? BE ,所以 AO ? 平面 BCDE , 1 1

即 AO 1 是四棱锥 A 1 ? BCDE 的高, 由图 1 可知, AO ? 1

2 2 AB ? a ,平行四边形 BCDE 面积 S ? BC ? AB ? a 2 , 2 2

从而四棱锥 A 1 ? BCDE 的为

1 1 2 2 3 V ? ? S ? AO ? ? a2 ? a? a , 1 3 3 2 6


2 3 a ? 36 2 ,得 a ? 6 . 6

【考点定位】1.线面垂直的判定;2.面面垂直的性质定理;3.空间几何体的体积. 【点评】1.在处理有关空间中的线面平行、线面垂直等问题时,常常借助于相关的判定定理 来解题,同时注意恰当的将问题进行转化;2.求几何体的体积的方法主要有公式法、割 补法、等价转化法等,本题是求四棱锥的体积,可以接使用公式法. 25.【2015 高考四川,文 18】一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所 示. (Ⅰ)请按字母 F,G,H 标记在正方体相应地顶点处(不需要说明理由) (Ⅱ)判断平面 BEG 与平面 ACH 的位置关系.并说明你的结论. (Ⅲ)证明:直线 DF ? 平面 BEG

D E

C

G E

A

B F D A B C

H

【解析】(Ⅰ)点 F,G,H 的位置如图所示 H E O F G

D

C

A

B

(Ⅱ)平面 BEG∥平面 ACH.证明如下 因为 ABCD-EFGH 为正方体,所以 BC∥FG,BC=FG 又 FG∥EH,FG=EH,所以 BC∥EH,BC=EH 于是 BCEH 为平行四边形 所以 BE∥CH 又 CH ? 平面 ACH,BE ? 平面 ACH, 所以 BE∥平面 ACH 同理 BG∥平面 ACH 又 BE∩BG=B 所以平面 BEG∥平面 ACH (Ⅲ)连接 FH 因为 ABCD-EFGH 为正方体,所以 DH⊥平面 EFGH 因为 EG ? 平面 EFGH,所以 DH⊥EG 又 EG⊥FH,EG∩FH=O,所以 EG⊥平面 BFHD 又 DF ? 平面 BFDH,所以 DF⊥EG 同理 DF⊥BG 又 EG∩BG=G 所以 DF⊥平面 BEG. 【考点定位】 本题主要考查简单空间图形的直观图、 空间线面平行与垂直的判定与性质等基 础知识,考查空间想象能力、推理论证能力. 【点评】本题引入了几何体表面的折展问题,对空间想象能力要求较高.立体几何的证 明一定要详细写出所有步骤,列举(推证)出所有必备的条件,如在(Ⅱ)中证明两个平面平行 时,除了找到两组平行线外,一定不能忘掉“相交”这个条件;同样,(Ⅲ)中证明线面垂直, 也不能忘掉“EG∩BG=G”这个条件.属于中档题. 26.【2015 高考新课标 1,文 18】 (本小题满分 12 分)如图四边形 ABCD 为菱形,G 为 AC 与 BD 交点, BE ? 平面ABCD ,

(I)证明:平面 AEC ? 平面 BED ; (II)若 ?ABC ? 120? , AE ? EC , 三棱锥 E ? ACD 的体积为 积. 【答案】 (I)见解析(II) 3+2 5 【解析】 试题分析: (I)由四边形 ABCD 为菱形知 AC ^ BD,由 BE ^ 平面 ABCD 知 AC ^ BE,由线面垂 直判定定理知 AC ^ 平面 BED,由面面垂直的判定定理知平面 AEC ? 平面 BED ;(II)设 AB= x ,通过解直角三角形将 AG、GC、GB、GD 用 x 表示出来,在 RtDAEC 中,用 x 表示 EG, 在 RtDEBG 中,用 x 表示 EB,根据条件三棱锥 E ? ACD 的体积为 棱锥 E ? ACD 的侧面积. 试题解析: (I)因为四边形 ABCD 为菱形,所以 AC ^ BD, 因为 BE ^ 平面 ABCD,所以 AC ^ BE,故 AC ^ 平面 BED. 又 AC ? 平面 AEC,所以平面 AEC ^ 平面 BED (II)设 AB= x ,在菱形 ABCD 中,由 ? ABC=120°,可得 AG=GC=

6 ,求该三棱锥的侧面 3

6 求出 x,即可求出三 3

x 3 x ,GB=GD= . 2 2

因为 AE ^ EC,所以在 RtDAEC 中,可得 EG=

3 x. 2 2 x. 2 6 3 6 x = .故 x =2 24 3

由 BE ^ 平面 ABCD,知 D EBG 为直角三角形,可得 BE=

由已知得,三棱锥 E-ACD 的体积 VE - ACD = 醋 AC GD ?BE

1 1 3 2

从而可得 AE=EC=ED= 6 . 所以 D EAC 的面积为 3, D EAD 的面积与 D ECD 的面积均为 5 . 故三棱锥 E-ACD 的侧面积为 3+2 5 . 考点:线面垂直的判定与性质;面面垂直的判定;三棱锥的体积与表面积的计算;逻辑推理 能力;运算求解能力 【点评】对空间面面垂直问题的证明有两种思路,思路 1:几何法,先由线线垂直证明线面 垂直,再由线面垂直证明面面垂直;思路 2:利用向量法,通过计算两个平面的法向量,证 明其法向量垂直,从而证明面面垂直;对几何体的体积和表面积问题,常用解法有直接法和 等体积法. 27. 【 2015 高考浙江,文 18 】 (本题满分 15 分)如图,在三棱锥 ABC - A 1B 1C1 中,

?ABC ? 90?,AB ? AC ? 2,AA1 ? 4,A1 在底
面 ABC 的射影为 BC 的中点,D 为 B1C1 的中点. (1)证明: A1D ? 平面A1BC ; (2)求直线 A1B 和平面 BB1CC1 所成的角的正弦值.

【答案】(1)略;(2) 【解析】

7 8

(1)利用线面垂直的定义得到线线垂直,根据线面垂直的判定证明直线与平面垂直; (2) 通过添加辅助线,证明 A1F ? 平面 BB1C1C ,以此找到直线与平面所成角的平面角

?A1 BF ,在直角三角形 A1BF 中通过确定边长,计算 ?A1 BF 的正弦值.

试题解析:(1)设 ? 为 ? C 中点,由题意得 A1E ? 平面 ?? C ,所以 A1E ? AE . 因为 AB ? AC ,所以 AE ? BC . 所以 AE ? 平面 A 1BC . 由D , 得 DE // BB1 且 DE ? BB1 , 从而 DE // AA ? 分别为 B1C1 , BC 的中点, 1 且 DE ? AA 1, 所以 AA1 DE 是平行四边形,所以 A 1 D // AE . 因为 AE ? 平面 A 1BC ,所以 A 1BC . 1 D ? 平面 A

(2)作 A1F ? DE ,垂足为 F ,连结 ? F . 因为 AE ? 平面 A 1BC ,所以 BC ? A 1E . 因为 BC ? AE ,所以 BC ? 平面 AA1 DE . 所以 BC ? A 1F , A 1F ? 平面 BB 1C1C . 所以 ?A1 BF 为直线 A 1B 与平面 BB 1C1C 所成角的平面角. 由 AB ? AC ? 2, ?CAB ? 90? ,得 EA ? EB ? 2 . 由 AE ? 平面 A . 1BC ,得 A 1A ? A 1B ? 4, A 1E ? 14
? 由 DE ? BB1 ? 4, DA ,得 A1 F ? 1 ? EA ? 2, ?DA 1E ? 90

7 . 2

所以 sin ?A1 BF ?

7 8

【考点定位】1.空间直线、平面垂直关系的证明;2.直线与平面所成的角. 【点评】本题主要考查空间直线与平面垂直的证明以及直线与平面所成角的大小的计算.能 够利用直线与平面垂直的定义及判定, 通过直线与直线垂直证明得到直线与平面垂直; 通过

证明直线与平面垂直, 构造得到直线与平面所成角的平面角, 利用解三角形的知识计算得到 其正弦值.本题属于中等题,主要考查学生基本的运算能力以及空间想象能力,考查学生空 间问题转化为平面问题的转化与化归能力. 28. 【2015 高考重庆, 文 20】 如题 (20) 图, 三棱锥 P-ABC 中, 平面 PAC ? 平面 ABC, ? ABC= 点 D、E 在线段 AC 上,且 AD=DE=EC=2,PD=PC=4,点 F 在线段 AB 上,且 EF//BC. (Ⅰ)证明:AB ? 平面 PFE. (Ⅱ)若四棱锥 P-DFBC 的体积为 7,求线段 BC 的长.

? , 2

P

A

D F
题(20)图

E

C

B

【答案】 (Ⅰ)祥见解析, (Ⅱ) BC = 3 或 BC = 3 3 . 【解析】 试题分析: (Ⅰ)先由已知易得 PE ^ AC ,再注意平面 PAC ? 平面 ABC ,且交线为 AC , 由面面垂直的性质可得 PE ^ 平面 ABC ,再由线面垂直的性质可得到 AB ^ PE ,再注意 到 EF / / BC ,而 BC ^ AB ,从而有 AB ^ EF ,那么由线面垂的判定定理可得 AB ? 平面

PFE ,
(Ⅱ)设 BC=x 则可用 x 将四棱锥 P ? DFBC 的体积表示出来,由已知其体积等于 7,从而 得到关于 x 的一个一元方程,解此方程,再注意到 x ? 0 即可得到 BC 的长.

PDC 中 DC 边的中点, 试题解析: 证明: 如题(20)图.由 DE ? EC, PD ? PC 知,E 为等腰 D


PE ^ AC ,

P

A

D F
题(20)图

E

C

B

又平面 PAC ? 平面 ABC , 平面 PAC ? 平面 ABC ? AC ,PE ? 平面 PAC ,PE ^ AC , 所以 PE ^ 平面 ABC ,从而 PE ^ AB .

ABC= 因衈

p , EF ? BC , 故AB 2

EF .

从而 AB 与平面 PFE 内两条相交直线 PE , EF 都垂直, 所以 AB ^ 平面 PFE .

ABC 中, (2)解:设 BC=x ,则在直角 D

1 1 AB= AC2 - BC 2 = 36 - x2 .从而 SDABC = AB? BC= x 36 x 2 2 2
由 EF ? BC ,知

AF AE 2 S 2 4 AEF ? D ABC ,故 DAEF = ( )2 = , = = ,得 D AB AC 3 SDABC 3 9

即 SDAEF = 由 AD=

4 SDABC . 9

2 1 SDABC = x 36 - x 2 , 9 9 1 1 2 2 从 而 四 边 形 DFBC 的 面 积 为 SDFBC = SDABC -SDADF = x 36 - x - x 36 - x 2 9 7 = x 36 - x 2 18
由(1)知,PE PE ^ 平面 ABC ,所以 PE 为四棱锥 P-DFBC 的高.

1 1 1 4 AE , SDAFB = SDAFE = ? SDABC 2 2 2 9

PEC 中, PE= PC2 - EC 2 = 42 - 22 = 2 3 , 在直角 D

SDFBC PE = ? 体积 VP - DFBC = 鬃
4 2

1 3

1 7 x 36 x 2 ?2 3 3 18
2 2

7,

故得 x - 36 x + 243 = 0 ,解得 x = 9或x = 7 ,由于 x > 0 ,可得 x = 3或x = 3 3 . 所以 BC = 3 或 BC = 3 3 .

【考点定位】1. 空间线面垂直关系,2. 锥体的体积,3.方程思想. 【点评】本题考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系的判定及简单几何 体的体积的运算, 第一问通过应用面面垂直的性质定理将面面垂直转化为线面垂直, 进而转 化为线线垂直来完成证明,第二通过设元,将已知几何体的体积表示出来,建立方程,通过 解方程完成解答.本题属于中档题,注意方程思想在解题过程中的应用. 【2015 高考上海, 文 19】 (本题满分 12 分) 如图, 圆锥的顶点为 P , 底面的一条直径为 AB ,

C 为半圆弧 AB 的中点, E 为劣弧 CB 的中点.已知 PO ? 2 ,OA ? 1 ,求三棱锥 P ? AOC
的体积,并求异面直线 PA 与 OE 所成角的大小.

【答案】 arccos

10 10

【解析】因为 PO ? 2 , OA ? 1 , 所 以 三 棱 锥

P ? AOC







1 1 1 1 1 1 V ? S ?AOC ? OP ? ? ? AO ? CO ? OP ? ? ?1?1? 2 ? . 3 3 2 3 2 3
因为 OE // AC ,所以异面直线 PA 与 OE 所成的角就是 PA 与 AC 的夹角. 在 ?ACP 中, AC ?

2 , AP ? CP ? 5 ,
2 , 2 AH 10 ? , AP 10 10 . 10

过 P 作 PH ? AC ,则 AH ?

在 Rt ?AHP 中, cos?PAH ?

所以异面直线 PA 与 OE 所成角的大小 arccos 【考点定位】圆锥的性质,异面直线的夹角.

【点评】求异面直线所成的角常采用“平移线段法” ,平移的方法一般有三种类型:利用图 中已有的平行线平移;利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形平移.计算异面 直线所成的角通常放在三角形中进行.


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