求数列的通项公式几种常见类型及方法


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求数列的通项公式 几种常见类型及方法

一.

连续代入法: 连续代入法:将前面的项的表达式整体代入递推关系式,写出后项的表达式(不要

进行计算或化简) ,从中发现规律,猜想出 an 的“表达式” ,然后化简(求和)得通项公式。 全国理) 例 1.(2002 全国理)设数列 {an } 满足 an+1 = an ? nan +1, n = 1,2,3,L, (
2

(Ⅰ)当 a1 = 2 时,求 a2 , a3 , a4 ,并由此猜想出 an 的一个通项公式; 例 1.解(I)由 a1 = 2 ,得 a2 = a1 ? a1 +1 = 3 由 a2 = 3,得 a3 = a2 ? 2a2 +1 = 4
2

2

由 a3 = 4 ,得 a4 = a3 ? 3a3 +1 = 5
2

由此猜想 an 的一个通项公式:an = n +1( n ≥ 1)如果是大题猜想后要用数学归纳法证明。

二.迭加法:推导等差数列通项公式时使用的一种数学方法。 迭加法: 四川文) 则通项 an = _____________ . 例 2. (2008 四川文 设数列 {an } 中,a1 = 2, an+1 = an + n + 1, 例 2. 【解】 :由 a1 = 2, an+1 = an + n + 1,得 an = n + an?1 ,且 a1 = 2 = 1 + 1 ∴ a2 = 2 + a1 = 2 + 1 + 1 ,a3 = 3 + a2 = 3 + 2 + 1 + 1 ,a4 = 4 + a3 = 4 + 3 + 2 + 1 + 1 ,K

an = n + an?1 = n + (n ? 1) + L + 3 + 2 + 1 + 1 =
形如 a

n(n + 1) n(n + 1) + 1 , 故应填 +1; 2 2

n+1

? a = f (n) 的形式的,要求{an}的通项公式,一般都用迭加法。 的形式的,要求{ 的通项公式,一般都用迭加法。
n

三.构造法:利用待定系数法、换元法等基本的数学方法,将已知递推关系式变形,构造出 构造法: 构造法 等差数列或等比数列等特殊的数列,从而求出数列的通项公式。 几种常见的构造类型
1. 已知 a n+1 =q a n +d (q≠1) ,可构造等比数列,变为 a n+1 + λ =q(a n + λ )的形式,其中

d λ= 。 q ?1
2. 已知 a

= qan + d ? q ( q ≠ 1),可构成等差数列,变为 n+1
n

a

q

n+1 n

?

a q

n n?1

= d 的形式。

3. 已知 a

= qan + d ? pn ( q ≠ p ),可构成等比数列,变为 a n+1 + λ pn+1 =q(a n + λ pn )的 n+1

形式。 4. 已知 a

n+1

= qan + d ? an?1,可构成等比数列,变为 a n+1 + λ an =k (a n + λ an?1 )的形式。

1. 已知 a n +1 =q a n +d (q≠1) ,可构造等比数列,变为 a n +1 + λ =q(a n + λ )的形式,其中

λ=

d 。 q ?1

福建理)已知数列 n } {a 满足 a 1 =1,a n +1 =2a n +1(n∈N ? ) Ⅰ) ( 例 3.(2006 福建理 求数列{a n }的通项公式;

解:∵an+1=2 an+1(n∈N), ∴an+1+1=2(an+1),∴ {a n + 1} 是以 a1+1=2 为首项,2 为公比的等比数列.∴an+1=2n, 既 an=2n-1(n∈N)。

2. 已知 a

n +1

= qa + d ? q ( q ≠ 1 ),可构成等差数列,变为
n n

a

q

n +1 n

?

a q

n n ?1

= d 的形式

例4.已知a1 = 5, an = 5an ?1 + 5n +1 , (n ≥ 2)求an

答案:an = (5n ? 4) ? 5
n ?1

n

1 变式:已知a1 = 1, a n = a n ?1 + 21? n , (n ≥ 2)求a n 2

?1? ?1? 答案:an = 2n ? ? ? = n ? ? ? ?2? ? 2?

n

= n?2

1? n

3. 已知 a 形式。

n+1

n n+1 n = qan + d ? p ( q ≠ p ),可构成等比数列,变为 a n+1 + λ p =q(a n + λ p )的

例 5.已知 an+1 = 3an + 2 ,且 a1 = 1 ,求 an 。
n

答案

an = 3n ? 2 n

{ 已知数列an }满足an+1 = an + 2n , 且a1 = 1, 求an

注意和 2 比较,还要和前面迭加法比较

4. 已知 a

n+1

= qa + d ? a ,可构成等比数列,变为 a n+1 + λ a =k (a n + λ a )的形式。
n n?1

n

n?1

例 6.已知 an+1 = 2an + 8an?1 且 a1 = 1, a2 = 2 , bn = an+1 + 2an 求 bn 。 答案 bn = 4
n

扩展知识 : 已知 a 1 与 a 2 , k a n + 1 = 2 ka n ? ka n ?1 + P , n ≥ 2 , 求通项 a n
分析:同除以 k 得: a n + 1 = 2 a n ? a n ?1 + p k

( a n + 1 ? a n ) ? ( a n ? a n ?1 ) = 令 b n = a n + 1 ? a n , b n ?1

p k = a n ? a n ?1, b1 = a 2 ? a 1

p 为公差的等差数列。 k b n = a n + 1 ? a n = f (n ), 再用迭加法。 练 4:已知数列 {a n }满足 a 1 = 1, a 2 = 4 , a n + 2 = 2 a n + 1 ? a n + 2 ,
求通项 a n 答案: a n = n 2

得 {b n } 是以 b1为首项,以

变式:已知数列

{a n }, {b n }满足

a 1 = 2 , b1 = 3 , 且

3 2 ? a n = a n ? 1 + b n ? 1 + 1, ? 5 5 ( n ≥ 2 ). 令 c n = a n + b n , ? 2 3 ? b n = a n ?1 + b n ? 1 + 2 , 5 5 ? 答案: c n = 3 n + 2 求数列 {c n } 的通项公式。

四.倒数法求通项 江西理改编) 已知数列 n} {a 满足:1= a 例 7. 据 2006 江西理改编) ( (1) 求数列{an}的通项公式; 解:由 a n =

na n ?1 1 , an= 且 (n ≥ 2, n ∈ N ? ) 3 2a n ?1 + n ? 1

na n ?1 n n ?1 (n ≥ 2, n ∈ N ? ) ,变形,得 ? = 2(n ≥ 2, n ∈ N ? ) 2a n ?1 + n ? 1 a n a n ?1

所以数列 ?

?n? 1 为等差数列,且首项为 = 3 ,公差为 2,所以 ? an ? a1 ?

n n . = 3 + 2(n ? 1) = 2n + 1 ,故 a n = 2n + 1 an

五.因式分解法求通项 例 8. 已知正项数列{a n }满足,a1 = 1,
2 2 (n + 1)a n +1 ? na n + a n +1 a n = 0, 求a n

an +1 n = 分析: [(n + 1)an +1 ? nan ]( an +1 + an ) = 0 ? an n +1

[(n + 1)an+1 ? nan ](an+1 + an ) = 0 ? an +1 =
an

n n +1

小结 一、代入法求通项公式。 代入法求通项公式。 二、迭加法求通项公式。 迭加法求通项公式。 构造法求通项公式。 三、构造法求通项公式。 四、倒数法求通项公式。 倒数法求通项公式。 五、因式分解法求通项公式。 因式分解法求通项公式。

课后练习
学海导航15.4-15.5

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