南京市2016届高三学情调研考试参考答案


南京市 2016 届高三学情调研考试 数学参考答案及评分标准
说明: 1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准 制订相应的评分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视 影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的 错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,填空题不给中间分数. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1.{2} 6.5 3 11.( ,4) 2 2. 10 3 2 7. 2 12.3 3.0.032 8. 5 13.2 3+3 4 4. 5 9. 3 3 5.2 10.必要不充分

2015.09

14. 3

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 15.解: (1)由 acosB=bcosA,得 sinAcosB=sinBcosA, 即 sin(A-B)=0. 因为 A,B∈(0,π),所以 A-B∈(-π,π),所以 A-B=0, b 所以 a=b,即 =1. a ………………………………………………………………………6 分 …………………………………3 分

1 2 2 (2)因为 sinA= ,且 A 为锐角,所以 cosA= . ………………………………………8 分 3 3 4 2 所以 sinC=sin(π-2A)=sin2A=2sinAcosA= , ………………………………………10 分 9 7 cosC=cos(π-2A)=-cos2A=-1+2sin2A=- .…………………………………………12 分 9 π π π 8+7 2 所以 sin(C- )=sinCcos -cosCsin = .……………………………………………14 分 4 4 4 18 16.证明: (1)连结 AC,交 BD 于 O,连结 OE. 因为 ABCD 是平行四边形,所以 OA=OC.…………………………………………………2 分 因为 E 为侧棱 PA 的中点,所以 OE∥PC.…………………………………………………4 分 因为 PC? / 平面 BDE,OE?平面 BDE,所以 PC // 平面 BDE.……………………………6 分 (2)因为 E 为 PA 中点,PD=AD,所以 PA⊥DE.………………………………………8 分
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因为 PC⊥PA,OE∥PC,所以 PA⊥OE. 因为 OE?平面 BDE,DE?平面 BDE,OE∩DE=E, 所以 PA⊥平面 BDE.………………………………12 分 因为 PA?平面 PAB,所以平面 BDE⊥平面 PAB. ………………………………14 分 D E P 17.解: (1)依题意得 y=mkn=mk(ax+5),x∈N*. (2)方法一 依题意 x=0.2a. …………………………………………4 分 A C O B

……………………………………………………6 分 …………………………………………8 分

mx x 0.2a a 所以 P= = = = 2 2 y k(ax+5) k (0.2a +5) k(a +25) ≤ a = 3(a +25)
2

≤ 25 3(a+ ) 3×(2 a

1

1

1 1 = < . ……………………………………13 分 25 30 20 a× ) a ……………………………………………………14 分 ……………………………………………………6 分

1 答:P 不可能大于 . 20 方法二 依题意 x=0.2a.

mx x 0.2a a 所以 P= = = = .…………………………………………8 分 2 2 y k(ax+5) k (0.2a +5) k(a +25) 1 假设 P> ,得 ka2-20a+25k<0. 20 …………………………………………10 分

因为 k≥3,所以△=100(4-k2)<0,不等式 ka2-20a+25k<0 无解.……………………13 分 1 答:P 不可能大于 . 20 c 2 a2 18.解: ⑴因为 = , = 2, a 2 c 所以 a= 2,c=1,所以 b= a2-c2=1. x2 故椭圆的方程为 +y2=1. 2 ………………………………………………4 分 ……………………………………………………14 分

⑵解法一 设 P 点坐标为(x1,y1),则 Q 点坐标为(x1, – y1). 因为 kAP= y1-1 y1-1 y1-1 = ,所以直线 AP 的方程为 y= x+1. x x1 x1-0 1 ………………………………………………8 分

x1 令 y = 0,解得 m=- . y1-1 因为 kAQ=

-y1-1 y1+1 y1+1 =- ,所以直线 AQ 的方程为 y=- x+1. x1 x1 x1-0 ………………………………………………12 分
2

x1 令 y=0,解得 n= . y1+1 -x1 x1 x1 所以 mn= ? = 2. y1-1 y1+1 1-y1

………………………………………………14 分
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x2 x1 x1 2 2 又因为(x1,y1)在椭圆 + y2 = 1 上,所以 + y1= 1,即 1-y1= , 2 2 2 x1 所以 2=2,即 mn=2. 1 – y1 所以 mn 为常数,且常数为 2. ………………………………………………16 分
2

2

2

解法二 设直线 AP 的斜率为 k(k≠0),则 AP 的方程为 y = kx +1, 1 令 y = 0,得 m=- . k ………………………………………………6 分

? ?y2= kx + 1, 联立方程组?x 2 ? 2 + y =1, ?
4k 消去 y,得(1+2k2)x2+4kx=0,解得 xA=0,xP =- , 1 + 2k2 1-2k2 所以 yP=k× xP+1= , 1+2k2 则 Q 点的坐标为(- 1-2k2 4k ). 2,- 1 + 2k 1+2k2 ………………………………………………10 分 ………………………8 分

1-2k2 -1+2k2-1 1 1 所以 kAQ= = ,故直线 AQ 的方程为 y= x+1. 4k 2k 2k - 1 + 2k2 令 y=0,得 n=-2k, 1 所以 mn=(- )?(-2k)=2. k 所以 mn 为常数,常数为 2. ………………………………………………16 分 ………………………………………………14 分

19.解:(1)设切点为(t,et),因为函数 f(x)的图象与函数 g(x)的图象相切, 所以 e =1,且 e =t-b, 解得 b=-1. (2)T(x)=e +a(x-b),T′(x)=e +a. 当 a≥0 时,T′(x)>0 恒成立. 当 a<0 时,由 T′(x)>0,得 x>ln(-a). ………………………………………………4 分 ………………………………………………6 分
x x t t

…………………………………………………2 分

所以,当 a≥0 时,函数 T(x)的单调增区间为(-∞,+∞); 当 a<0 时,函数 T(x)的单调增区间为(ln(-a),+∞). ……………………………8 分 (3) h(x)=|g(x)|·f(x)=?
?(x-b) ex,

x≥b, x - ( x - b ) e , x<b. ?

当 x>b 时,h′(x)=(x-b+1) ex>0,所以 h(x)在(b,+∞)上为增函数; 当 x<b 时,h′(x)=-(x-b+1) ex, 因为 b-1<x<b 时,h′(x)=-(x-b+1) ex<0,所以 h(x)在(b-1,b)上是减函数; 因为 x<b-1 时, h′(x)=-(x-b+1) ex>0,所以 h(x)在(-∞,b-1)上是增函数. ……………………………10 分
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① 当 b≤0 时,h(x)在(0,1)上为增函数. 所以 h(x)max=h(1)=(1-b)e,h(x)min=h(0)=-b. 由 h(x)max-h(x)min>1,得 b<1,所以 b≤0. e ②当 0<b< 时, e+1

……………………………12 分

因为 b<x<1 时, h′(x)=(x-b+1) ex>0,所以 h(x)在(b,1)上是增函数, 因为 0<x<b 时, h′(x)=-(x-b+1) ex<0,所以 h(x)在(0,b)上是减函数. 所以 h(x)max=h(1)=(1-b)e,h(x)min=h(b)=0. e-1 由 h(x) max-h(x) min>1,得 b< . e 因为 0<b< e-1 e ,所以 0<b< . e e+1 ……………………………14 分

e ③当 ≤b<1 时, e+1 同理可得,h(x)在(0,b)上是减函数,在(b,1)上是增函数. 所以 h(x)max=h(0)=b,h(x)min=h(b)=0. 因为 b<1,所以 h(x)max-h(x)min>1 不成立. e-1 综上,b 的取值范围为(-∞, ). e 20.解:(1)设数列{an}的公差为 d. 因为 2a5-a3=13,S4=16,
?2(a1+4d)-(a1+2d)=13, 所以? 解得 a1=1,d=2,……………………………………………2 分 ?4a1+6d=16.

………………………………………16 分

所以 an=2n-1,Sn =n2. (2)①当 n 为偶数时,设 n=2k,k∈N*,

……………………………………………4 分

则 T2k=(a2-a1)+(a4-a3)+…+(a2k-a2k-1)=2k. ……………………………………………5 分 代入不等式 λTn<[an+1+(-1)n 1an]·2n
+ + -1

4k ,得 λ·2k<4k,从而 λ< . 2k

k 4k 1 4k 4k 4 (3k-1) 设 f(k)= ,则 f(k+1)-f(k)= - = . 2k 2(k+1) 2k 2k(k+1)

因为 k∈N*,所以 f(k+1)-f(k)>0,所以 f(k)是递增的,所以 f(k)min=2, 所以 λ<2. ②当 n 为奇数时,设 n=2k-1,k∈N*, 则 T2k-1=T2k-(-1)2ka2k=2k-(4k-1)=1-2k. ……………………………………………8 分 代入不等式 λTn<[an+1+(-1)n 1an]·2n
+ -1

……………………………………………7 分

,得 λ·(1-2k)<(2k-1)4k,

从而 λ>-4k. 因为 k∈N*,所以-4k 的最大值为-4,所以 λ>-4. 综上,λ 的取值范围为-4<λ<2. ……………………………………………10 分

(3)假设存在正整数 m,n(n>m>2),使得 S2,Sm-S2,Sn-Sm 成等比数列,
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则(Sm-S2)2=S2·(Sn-Sm),即(m2-4)2=4(n2-m2), 所以 4n2=(m2-2)2+12,即 4n2-(m2-2)2=12, ……………………………………………12 分 即(2n-m2+2)(2n+m2-2)=12. ……………………………………………14 分

因为 n>m>2,所以 n≥4,m≥3,所以 2n+m2-2≥15. 因为 2n-m2+2 是整数,所以等式(2n-m2+2)(2n+m2-2)=12 不成立, 故不存在正整数 m,n(n>m>2),使得 S2,Sm-S2,Sn-Sm 成等比数列. ………………16 分

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南京市 2016 届高三学情调研考试 数学附加题参考答案及评分标准
21. 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共 20 分. A.选修 4—1:几何证明选讲 证明:连接 BD, 因为直线 AE 与圆 O 相切,所以∠EAD=∠ABD.……………………………………………4 分 又因为 AB∥CD, 所以∠BAD=∠ADE, 所以△EAD∽△DBA. …………………………………………………………8 分

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ED AD 从而 = ,所以 AD2=AB·ED. …………………………………………………………10 分 DA BA B.选修 4—2:矩阵与变换 解:依题意得

3a+2 ? ? 5 ? ? a 2 ? ? 3 ?=? ? ?=? ?,……………………………………………………2 分 ? b -1 ? ? 1 ? ? 3b-1 ? ? -1 ?

?3a+2=5, ?a=1, 所以? 解得 ? ?3b-1=-1, ?b=0. 1 2? 所以 A=? . ……………………………………………………6 分 ? 0 -1 ? ? 1 2 ?=1×(-1)-0×2=-1,………………………………………………8 分 因为 det(A)= ? 0 -1 ? ?1 2? 所以 A-1=? …………………………………………………10 分 ?. ? 0 -1 ?

C.选修 4—4:坐标系与参数方程 解:圆 C 的普通方程为(x-m)2+y2=4. 直线 l 的极坐标方程化为 ρ ( 即 …………………………………………………………2 分 2 2 cosθ+ sinθ)= 2, 2 2 ………………………………………………………4 分

2 2 x+ y= 2,化简得 x+y-2=0. 2 2

|m-2 | 因为圆 C 的圆心为 C(m,0),半径为 2,圆心 C 到直线 l 的距离 d= , 2 |m-2 | 所以 d= <2, 2 解得 2-2 2<m<2+2 2. D.选修 4—5:不等式选讲 解:由柯西不等式得(x2+y2+z2)(12+52+12)≥(1·x+5·y+1·z)2. ……………………………6 分 因为 x+5y+z=9,所以 x2+y2+z2≥3, 1 5 1 当且仅当 x= ,y= ,z= 时取等号. 3 3 3 所以 x2+y2+z2的最小值为 3. …………………………………………………………10 分 …………………………………………………8 分 …………………………………………………………8 分 ………………………………………………………10 分

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【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共 20 分. 22.解:耗用子弹数 X 的所有可能取值为 1,2,3,4. 2 当 X=1 时,表示射击一次,命中目标,则 P(X=1)= ; 3 2 2 2 当 X=2 时,表示射击两次,第一次未中,第二次射中目标,则 P(X=2)=(1- )× = ;………2 分 3 3 9 2 2 2 当 X=3 时,表示射击三次,第一次、第二次均未击中,第三次击中,则 P(X=3)=(1- )×(1- )× 3 3 3 = 2 ; 27 ……………………………………4 分

当 X=4 时,表示射击四次,前三次均未击中,第四次击中或四次均未击中, 2 2 2 2 2 2 2 2 1 则 P(X=4)=(1- )×(1- )×(1- )× +(1- )×(1- )×(1- )×(1- )= . 3 3 3 3 3 3 3 3 27 X 的概率分布为
X P 1 2 3 2 2 9 3 2 27 4 1 27

…………………………………………………………6 分 2 2 2 1 40 (2)E(X)=1× +2× +3× +4× = . 3 9 27 27 27 …………………………………………………10 分

→ → → 23.解:⑴以{ CD , CB , CE }为正交基底,建立如图空间直角坐标系 C-xyz, 则 D( 2,0,0),F( 2, 2,1),E(0,0,1),B(0, 2,0),C(0,0,0), → → 所以 DF =(0, 2,1), BE =(0,– 2,1),………………2 分 –1 1 → → 从而 cos< DF , BE >= =- . ……………………4 分 3 3? 3 1 所以直线 DF 与 BE 所成角的余弦值为 .…………………5 分 3 → (2)平面 ADF 的法向量为 m= CD = ( 2,0,0).……………6 分 → 设面 BDF 的法向量为 n = (x,y,z).又 BF =( 2,0,1). → → 由 n· DF =0,n· BF =0, D x z E F C

B y

A

得 2y+z=0, 2x+z=0, 取 x=1,则 y=1,z=– 2,所以 n = (1,1,- 2),………………………………………8 分 所以 cos<m,n>= 2 1 = . 4? 2 2

? 又因为<m,n>∈[0,?],所以<m,n>= . 3 ? 所以二面角 A – DF – B 的大小为 . …………………………………………………………10 分 3

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