示范教案(说课稿)(3.3.1 几何概型)


3.3 几何概型
3.3.1 几何概型 整体设计 教学分析 这部分是新增加的内容.介绍几何概型主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要,但是对 几何概型的要求仅限于初步体会几何概型的意义,所以教科书中选的例题都是比较简单的.随 机模拟部分是本节的重点内容.几何概型是另一类等可能概型,它与古典概型的区别在于试验 的结果不是有限个,利用几何概型可以很容易举出概率为 0 的事件不是不可能事件的例子,概 率为 1 的事件不是必然事件的例子. 利用古典概型产生的随机数是取整数值的随机数,是离散型随机变量的一个样本;利用几 何概型产生的随机数是取值在一个区间的随机数,是连续型随机变量的一个样本.比如[0,1] 区间上的均匀随机数,是服从[0,1]区间上均匀分布的随机变量的一个样本.随机模拟中的统 计思想是用频率估计概率. 本节的教学需要一些实物模型为教具,如教科书中的转盘模型、例 3 中的随机撒豆子的 模型等.教学中应当注意让学生实际动手操作,以使学生相信模拟结果的真实性,然后再通过 计算机或计算器产生均匀随机数进行模拟试验,得到模拟的结果.在这个过程中,要让学生体 会结果的随机性与规律性,体会随着试验次数的增加,结果的精度会越来越高. 随机数的产生与随机模拟的教学中要充分使用信息技术,让学生亲自动手产生随机数,进 行模拟活动. 几何概型也是一种概率模型,它与古典概型的区别是试验的可能结果不是有限个.它的特 点是在一个区域内均匀分布,所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状、位置无 关,只与该区域的大小有关.如果随机事件所在区域是一个单点,由于单点的长度、面积、体积 均为 0,则它出现的概率为 0,但它不是不可能事件;如果一个随机事件所在区域是全部区域扣 除一个单点,则它出现的概率为 1,但它不是必然事件. 均匀分布是一种常用的连续型分布,它来源于几何概型.由于没有讲随机变量的定义,教 科书中均匀分布的定义仅是描述性的,不是严格的数学定义,要求学生体会如果 X 落到[0,1] 区间内任何一点是等可能的,则称 X 为[0,1]区间上的均匀随机数. 三维目标 1.通过师生共同探究,体会数学知识的形成,正确理解几何概型的概念;掌握几何概型的概率 公式: P(A)=

构成事件A的区域长度 面积或体积 ( ) ,学会应用数学知识来解决 试验的全部结果所构成 的区域长度 面积或体积 ( )

问题,体会数学知识与现实世界的联系,培养逻辑推理能力. 2.本节课的主要特点是随机试验多,学习时养成勤学严谨的学习习惯,会根据古典概型与几何 概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型,会进行简单的几何概率计算,培 养学生从有限向无限探究的意识. 重点难点 教学重点:理解几何概型的定义、特点,会用公式计算几何概率. 教学难点:等可能性的判断与几何概型和古典概型的区别. 课时安排 1 课时 教学过程

导入新课 思路 1 复习古典概型的两个基本特点: (1)所有的基本事件只有有限个; (2)每个基本事件发 生都是等可能的.那么对于有无限多个试验结果的情况相应的概率应如何求呢?为此我们学 习几何概型,教师板书本节课题几何概型. 思路 2 下图中有两个转盘,甲、乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向 B 区域时,甲获胜,否则乙获 胜.在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少?

为解决这个问题,我们学习几何概型. 思路 3 在概率论发展的早期,人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验 是不够的,还必须考虑有无限多个试验结果的情况.例如一个人到单位的时间可能是 8:00 至 9: 之间的任何一个时刻; 00 往一个方格中投一个石子,石子可能落在方格中的任何一点…… 这些试验可能出现的结果都是无限多个.这就是我们要学习的几何概型. 推进新课 新知探究 提出问题 (1)随意抛掷一枚均匀硬币两次,求两次出现相同面的概率? (2)试验 1.取一根长度为 3 m 的绳子,拉直后在任意位置剪断.问剪得两段的长都不小于 1 m 的 概率有多大? 试验 2.射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环.从外向内为白色,黑色,蓝色,红色,靶心是金色.金 色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为 122 cm,靶心直径为 12.2 cm.运动员在 70 m 外射箭. 假设射箭都能射中靶面内任何一点都是等可能的.问射中黄心的概率为多少? (3)问题(1)(2)中的基本事件有什么特点?两事件的本质区别是什么? (4)什么是几何概型?它有什么特点? (5)如何计算几何概型的概率?有什么样的公式? (6)古典概型和几何概型有什么区别和联系? 活动: 学生根据问题思考讨论,回顾古典概型的特点,把问题转化为学过的知识解决,教师引导 学生比较概括. 讨论结果:(1)硬币落地后会出现四种结果:分别记作(正,正)(正,反)(反,正)(反,反). 、 、 、 每种结果出现的概率相等,P(正,正)=P(正,反)=P(反,正)=P(反,反)=1/4.两次出现相 同面的概率为

1 1 1 ? ? . 4 4 2

(2)经分析,第一个试验,从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为 3 m 的 绳子上的任意一点. 第二个试验中,射中靶面上每一点都是一个基本事件,这一点可以是靶面直径为 122 cm 的大圆内的任意一点. 在这两个问题中,基本事件有无限多个,虽然类似于古典概型的“等可能性”,但是显然不 能用古典概型的方法求解.

考虑第一个问题,如右图,记“剪得两段的长都不小于 1 m”为事件 A.把绳子三等分,于是当 剪断位置处在中间一段上时,事件 A 发生.由于中间一段的长度等于绳长的 于是事件 A 发生的概率 P(A)=

1 , 3

1 . 3
1 ×π×1222 4

第二个问题,如右图,记“射中黄心”为事件 B,由于中靶心随机地落在面积为 cm2 的大圆内,而当中靶点落在面积为

1 ×π×12.22 cm2 的黄心内时,事件 B 发生,于是事件 B 发 4

1 ? ? ? 12.2 2 生的概率 P(B)= 4 =0.01. 1 2 ? ? ? 122 4

(3)硬币落地后会出现四种结果(正,正)(正,反)(反,正)(反,反)是等可能的,绳子从每 、 、 、 一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为 3 m 的绳子上的任意一点,也是等可 能的,射中靶面内任何一点都是等可能的,但是硬币落地后只出现四种结果,是有限的;而剪断 绳子的点和射中靶面的点是无限的;即一个基本事件是有限的,而另一个基本事件是无限的. (4)几何概型. 对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点, 该区域中的每一个点被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区 域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处 理随机试验,称为几何概型. 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的 概率模型为几何概率模型(geometric models of probability),简称几何概型. 几何概型的基本特点: a.试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个; b.每个基本事件出现的可能性相等. (5)几何概型的概率公式: P(A)=

构成事件A的区域长度 面积或体积 ( ) . 试验的全部结果所构成 的区域长度 面积或体积 ( )

(6)古典概型和几何概型的联系是每个基本事件的发生都是等可能的;区别是古典概型的基本 事件是有限的,而几何概型的基本事件是无限的,另外两种概型的概率计算公式的含义也不 同. 应用示例 思路 1 例 1 判断下列试验中事件 A 发生的概率是古典概型,还是几何概型. (1)抛掷两颗骰子,求出现两个“4 点”的概率;

(2)如下图所示,图中有一个转盘,甲、乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向 B 区域时,甲获胜, 否则乙获胜,求甲获胜的概率. 活动:学生紧紧抓住古典概型和几何概型的区别和联系,然后判断. 解: (1)抛掷两颗骰子,出现的可能结果有 6× 6=36 种,且它们都是等可能的,因此属于古典概 型; (2)游戏中指针指向 B 区域时有无限多个结果,而且不难发现“指针落在阴影部分”,概率可 以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量,即与区域长度有关,因此属于几何概型.

点评:本题考查的是几何概型与古典概型的特点,古典概型具有有限性和等可能性.而几何概 型则是在试验中出现无限多个结果,且与事件的区域长度有关. 例 2 某人午休醒来,发觉表停了,他打开收音机想听电台整点报时,求他等待的时间短于 10 分钟的概率.

活动: 学生分析,教师引导,假设他在 0—60 之间的任一时刻,打开收音机是等可能的,但 0—60 之间有无数个时刻,不能用古典概型的公式来计算随机事件发生的概率,因为他在 0—60 之间 的任一时刻打开收音机是等可能的,所以他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的 长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件,所以可用几何概型的概率计算 公式计算. 解:记“等待的时间小于 10 分钟”为事件 A,打开收音机的时刻位于[50,60]时间段内则事件 A 发生.由几何概型的求概率公式得 P(A)=(60-50)/60=1/6,即“等待报时的时间不超过 10 分钟”的概率为 1/6. 打开收音机的时刻 X 是随机的,可以是 0—60 之间的任何时刻,且是等可能的.我们称 X 服从 [0,60]上的均匀分布,X 称为[0,60]上的均匀随机数. 变式训练 某路公共汽车 5 分钟一班准时到达某车站,求任一人在该车站等车时间少于 3 分钟的概 率(假定车到来后每人都能上). 解:可以认为人在任一时刻到站是等可能的.设上一班车离站时刻为 a,则某人到站的一切可 能时刻为 Ω=(a,a+5),记 Ag={等车时间少于 3 分钟},则他到站的时刻只能为 g=(a+2,a+5)中的任 一时刻,故 P(Ag)=

g的长度 3 ? . ?的长度 5

点评:通过实例初步体会几何概型的意义. 思路 2 例 1 某人欲从某车站乘车出差,已知该站发往各站的客车均每小时一班,求此人等车时间不 多于 20 分钟的概率.

活动: 假设他在 0—60 分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,但在 0 到 60 分钟之间 有无穷多个时刻,不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概型的求概率 公式得到事件发生的概率.因为客车每小时一班,他在 0 到 60 分钟之间任何一个时刻到站等车 是等可能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的 位置无关,这符合几何概型的条件. 解:设 A={等待的时间不多于 10 分钟},我们所关心的事件 A 恰好是到站等车的时刻位于 [40,60]这一时间段内,因此由几何概型的概率公式,得 P(A)=(60-40)/60=1/3. 即此人等车时间不多于 10 分钟的概率为 1/3. 点评:在本例中,到站等车的时刻 X 是随机的,可以是 0 到 60 之间的任何一刻,并且是等可能 的,我们称 X 服从[0,60]上的均匀分布,X 为[0,60]上的均匀随机数. 变式训练 在 1 万平方千米的海域中有 40 平方千米的大陆架储藏着石油,假设在海域中任意一点钻 探,钻到油层面的概率是多少? 分析:石油在 1 万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的,而 40 平方千米可看作 构成事件的区域面积,由几何概型公式可以求得概率. 解:记“钻到油层面”为事件 A,则 P(A)=0.004. 答:钻到油层面的概率是 0.004. 例 2 小明家的晚报在下午 5:30—6:30 之间任何一个时间随机地被送到,小明一家人在下 午 6:00—7:00 之间的任何一个时间随机地开始晚餐.则晚报在晚餐开始之前被送到的概率 是多少? 活动:学生读题,设法利用几何概型公式求得概率.

解:建立平面直角坐标系,如右图中 x=6,x=7,y=5.5,y=6.5 围成一个正方形区域 G.设晚餐在 x (6≤x≤7)时开始,晚报在 y(5.5≤y≤6.5)时被送到,这个结果与平面上的点(x,y)对应.于是 试验的所有可能结果就与 G 中的所有点一一对应. 由题意知,每一个试验结果出现的可能性是相同的,因此,试验属于几何概型.晚报在晚餐 开始之前被送到,当且仅当 y<x,因此图中的阴影区域 g 就表示“晚报在晚餐开始之前被送到”. 容易求得 g 的面积为

7 ,G 的面积为 1.由几何概型的概率公式,“晚报在晚餐开始之前被送到” 8

的概率为 P(A)=

g的面积 7 ? . G的面积 8

变式训练 在 1 升高产小麦种子中混入了一种带麦锈病的种子,从中随机取出 10 毫升,则取出的种子 中含有麦锈病的种子的概率是多少? 分析: 病种子在这 1 升中的分布可以看作是随机的,取得的 10 毫升种子可视作构成事件的区 域,1 升种子可视作试验的所有结果构成的区域,可用“体积比”公式计算其概率. 解:取出 10 毫升种子,其中“含有病种子”这一事件记为 A,则 P(A)=0.01. 所以取出的种子中含有麦锈病的种子的概率是 0.01.

知能训练 1.已知地铁列车每 10 min 一班,在车站停 1 min,求乘客到达站台立即乘上车的概率. 解:由几何概型知,所求事件 A 的概率为 P(A)=

1 . 11

2.两根相距 6 m 的木杆上系一根绳子,并在绳子上挂一盏灯,求灯与两端距离都大于 2 m 的概 率. 解:记“灯与两端距离都大于 2 m”为事件 A,则 P(A)=

2 1 = . 6 3

3.在 500 mL 的水中有一个草履虫,现从中随机取出 2 mL 水样放到显微镜下观察,则发现草履 虫的概率是( ) A.0.5 B.0.4 C.0.004 D.不能确定 解析:由于取水样的随机性,所求事件 A:“在取出 2 mL 的水样中有草履虫”的概率等于水样 的体积与总体积之比

2 =0.004. 500

答案:C 4.平面上画了一些彼此相距 2a 的平行线,把一枚半径 r<a 的硬币任意掷在这个平面上,求硬币 不与任何一条平行线相碰的概率. 解:把“硬币不与任一条平行线相碰”的事件记为事件 A,为了确定硬币的位置,由硬币中心 O 向靠得最近的平行线引垂线 OM,垂足为 M,如右图所示,这样线段 OM 长度(记作 OM)的取 值范围就是[0,a],只有当 r<OM≤a 时硬币不与平行线相碰,所以所求事件 A 的概率就是 P (A)=

(r , a]的长度 a ? r . ? [0, a]的长度 a

拓展提升 1.约会问题 两人相约 8 点到 9 点在某地会面,先到者等候另一人 20 分钟,过时就可离去,试求这两人 能会面的概率. 解:因为两人谁也没有讲好确切的时间,故样本点由两个数(甲、乙两人各自到达的时刻) 组成.以 8 点钟作为计算时间的起点,设甲、 乙各在第 x 分钟和第 y 分钟到达,则样本空间为 Ω: {(x,y)|0≤x≤60,0≤y≤60},画成图为一正方形.以 x,y 分别表示两人的到达时刻,则两人能会面的 充要条件为|x-y|≤20. 这是一个几何概率问题,可能的结果全体是边长为 60 的正方形里的点,能会面的点的区

g的面积 602 ? 402 5 ? ? . 域用阴影标出(如下图).所求概率为 P= G的面积 9 602

2.(蒲丰(Buffon)投针问题)平面上画很多平行线,间距为 a.向此平面投掷长为 l(l<a)的针,求 此针与任一平行线相交的概率. 解:以针的任一位置为样本点,它可以由两个数决定:针的中点与最接近的平行线之间的距 离 x,针与平行线的交角 φ(见下图左).样本空间为 Ω:{(φ,x),0≤φ≤π,0≤x≤a/2},为一矩形.针与 平行线相交的充要条件是 g:x≤

l g的面积 sinφ(见下图右).所求概率是 P= 2 ?的面积

? ?

?
0

(l / 2) ? sin ?d?

? ?a/2

?

2l . a?

注:因为概率 P 可以用多次重复试验的频率来近似,由此可以得到 π 的近似值.方法是重复投 针 N 次,(或一次投针若干枚,总计 N 枚),统计与平行线相交的次数 n,则 P≈n/N.又因 a 与 l 都可精确测量,故从 2l/aπ≈n/N,可解得 π≈2lN/an.历史上有不少人做过这个试验.做得最好的一 位投掷了 3 408 次,算得 π≈3.141 592 9,其精确度已经达到小数点后第六位. 设计一个随机试验,通过大量重复试验得到某种结果,以确定我们感兴趣的某个量,由此而发 展的蒙特卡洛(Monte-Carlo)方法为这种计算提供了一种途径. 课堂小结 几何概型是区别于古典概型的又一概率模型,使用几何概型的概率计算公式时,一定要注 意其适用条件:每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例. 作业 课本习题 3.3A 组 1、2、3. 设计感想 本节课首先对古典概型进行了复习,使学生掌握古典概型的适用条件,巩固了古典概型的 概率计算公式,接着设计了多个试验,从课题的引入,到问题的提出都非常有针对性,引人入胜, 接着从求概率不能问题引出几何概型这一不同于古典概型的又一概率模型,并通过探究,归纳 出几何概型的概率计算公式,同时比较了古典概型和几何概型的区别和联系,通过思路 1 和思 路 2 两种不同的例题类型和层次,加深理解和运用,由于它们与实际生活联系密切,所以要反复 练习,达到为我们的工作与生活服务,然而这部分内容高考是新内容,因此同学们要高度重视, 全面把握,争取好成绩.


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