抛物线的简单几何性质2(自制)


抛物线的简单几何性质(2)

徐 静 2017年12月5日星期二

方程
图 形 范围

y2 = 2px

y2 = -2px (p>0) y l
x

x2 = 2py (p>0) y
F x

x2 = -2py (p>0) y
x l

(p>0) y
l O F

l x

F

O

O

O

F

x≥0 y∈R

x≤0 y∈R

x∈R y≥0

x∈R y≤0
关于y轴对称

对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称

顶点
焦半径

(0,0)
p ? x0 2

(0,0)
p ? x0 2

(0,0)
p ? y0 2

(0,0)
p ? y0 2
p ? ( y1 ? y2 )

焦点弦 的长度

p ? x1 ? x2

p ? ( x1 ? x2 )

p ? y1 ? y2

例 3. 已知抛物线的方程为 y 2 ? 4 x , 直线 l 过定点 P (?2,1) , 斜率为 k , k 为何值时 , 直线 l 与 抛物线 y ? 4 x : ⑴ 只有一个公共点 ; ⑵ 有两个公 共点;⑶ 没有公共点?
2

分析 : 用坐标法解决这个问题 , 只要讨论直线 的方程与抛物线的方程组成的方程组的解的情况 , 由方程组的解的个数判断直线与抛物线的公共点 个数.

解:依题意直线 l 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 2)
? y ? 1 ? k ( x ? 2) 2 消去 可得 ky ? 4 y ? 4(2k ? 1) ? 0 (Ⅰ) x 联立 ? 2 (*) ? y ? 4x 你认为是消 呢,还是消 y 呢? 当 k ? 0 时,方程(Ⅰ )只有一解,∴x 直线与抛物线只有一个公共点 .

当 k ? 0 时,方程(Ⅰ)的根的判别式△= ?16(2k ? k ? 1)
2

1 ①当△=0 时, k ? ?1或 . 2 这时,直线 l 与抛物线只有一个公共点.

② 由 ? ? 0即 ,

2k 2 ? k ?1 ? 0,
解得

1 ?1 ? k ? . 2
2

于是,当 ?1 ? k ? 1 且 ,

2 k ?时,方程(Ⅰ)有 0

个解,从而,方程组(Ⅰ)有两个解,这时,直线 l

与抛物线有2个公共点.
③ 由 ? ? 0, 即

2k ? k ?1 ? 0,
2

解得

1 k ? ?1或k ? . 2
k ? ?1 ,或 k ?

于是,当 而方程组(Ⅰ)没有解,这时,直线 与抛物线没有 l 公共点. 综上可得: 1 l ? ,直线 0 当 k ? ?1, 或k ? , 或k 时 与抛物线只有一 2 个公共点;
点; 1 l 你能通过作图 . 当 k ? ?1, 或k ? 时,直线 与抛物线没有公共点 2 验证这些结论 吗?
1 ?0 当 ? 1 ? k ? , 且k 时,直线 2

1 时,方程没有实数解,从 2

l 与抛物线有两个公共

总结:
判断直线与抛物线位置关系的操作程序: 把直线方程代入抛物线方程

得到一元一次方程 直线与抛物线的 对称轴平行

得到一元二次方程 计算判别式 >0 =0 相切 <0 相离

相交(一个交点)

相交

2 y ?8 x 1)过抛物线 的焦点 ,作倾斜角为

直线,则被抛物线截得的弦长为 2)设 o 是坐标原点, F 是抛物线
?

16 ;
2

45 的

?

y ? 2 px

21 轴正向的夹角为 60则 OA 为 ; p 2 2 y ? ? x 3)抛物线 上的点到直线 4x ? 3 y ? 8 ? 0

? p ? 0?的焦点, A 是抛物线上的一点, FA 与 x

的距离的最小值是(
4 A. 3

7 B. 5

) A

8 C. 5

D.3

例5 过抛物线焦点F 的直线 交抛物线于A, B两点, 通过点A 和 抛 物线顶点的直线交抛物 线的准 线 于点 D , 求 证 : 直线 DB平行于抛物线的对称轴 .

l

y
A

o
F
D B

x

分析 我们用坐标法证明 ,即通 图2.3 ? 5 过建立抛物线及直线的 方程, 借 助方程研究直线 DB与抛物线对 称轴之间的位置关系 .

建立如图 2.3 ? 5所示的直角坐标系 , 只要证明 点D的纵坐标与点 B的纵坐标相等即可 .

证明 如图 2.3 ? 5, 以抛物线 对称轴为 x轴,它的顶点为原 点, 建立直角坐标系 .

l

y
A

o

设抛物线方程为 y 2 ? 2 px,

?1?

F
D B

x

2 ? y0 ? 点A的坐标为 ? ? 2 p , y0 ? ? , 则直 图2.3 ? 5 ? ? 2p ?2? 线OA的方程为 y ? x, y0 p 抛物线的准线方程为 x ? ? . ?3? 2 p2 ?3?, 可得D点的纵坐标为 y ? ? . ?4 ? 联立?2?、 y0

?p ? 因为点 F的坐标是 ? ,0 ?, 所以 ?2 ? p x ? y 直线 AF的方程为 ? 2 2 . y0 p y0 ? 2p 2 与 y 2 ? 2 px联立, 可得B点的纵

l

y
A

o
F
D B

x

图2.3 ? 5

p2 ?5? 坐标为 y ? ? . y0 ?5?得, DB // x轴, 故DB平行于抛物线的对称轴 . 由?4 ?、

你还有其他证明方法吗 ?

课堂练习: 1.过点 M (0,1) 且和抛物线 C: y 2 ? 4 x 仅有一个公共点的 y ? 1或 x ? 0或 y ? x ?1 直线的方程是__________________________.
?y ? k x?1 联立 ? 2 ? y ? 4x

k

消去 x 得 ky 2 ? 4 y ? 4 ? 0

点评:本题用了分类讨论的方法.若先用数 形结合,找出符合条件的直线的条数,就不会 造成漏解。

学习小结: 无论是弦长问题,还是中点问题,以及对 称问题,其方法的核心都是设而不求,联立方 程组,韦达定理,大胆计算分析的实践.

课外思考: 1.求抛物线 y ? 2 x 2 的一组斜率为 2 的平行弦的中点 (即在抛物线的内部) 的轨迹方程. x ? 2 ( y ≥ 2 2 ) 2.若抛物线 y ? 2 x 2 上两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 关于直 3 1 . 线 y ? x ? m 对称,且 x1 x2 ? ? ,则 m ? _____ 2 2

思考 2: 2 若抛物线 y ? x 存在关于直线 l : y ? 1 ? k ( x ? 1) 对称的两点,求实数 k 的取值范围. 答案: ?2 ? k ? 0

分 析: 假设 存在 关于 直线 l : y ? 1 ? k ( x ? 1) 对 称 的 两 点 A、B,看 k 应满足什么条 件. 显然 k ? 0 不合题意,∴ k ? 0 1 ∴直线 AB 的方程为 y ? ? x ? b k 继续尝试估计主要也是设而不求,联立方程组,韦达定理找条件.
这里有两个东西可以运用:一是中点条件,二是根的判别式.

课堂练习: 2. 已知正方形 ABCD 的一边 CD 在直线 y ? x ? 4 上 , 顶 B 在抛物线 y 2 ? x 上,求正方形的边长. 点 A、

解:设 AB 的方程为 y=x+b, ?y ? x?b 由? 2 消去 x 得 y2-y+b=0, ?y ? x

设 A(x1,y1) , B(x2,y2), 则 y1+y2=1 , y1y2=b,
1 ∴ AB ? 1 ? 2 k
又 AB 与 CD 的距离 d=

( y1 ? y1 )2 ? 4 y1 y2 = 2 ? 8b ,
,由 ABCD 为正方形有 2 ? 8b =

4?b 2

4?b 2

,

解得 b= -2 或 b=-6.∴正方形的边长为 3 2 或 5 2 .

例5.已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2,求AB中 点纵坐标的最小值。
y
M A D F

解: 设A( x1 , y1 ), B( x2 y2 ), AB中点M ( x, y )
B

2 MN ? AD ? BC , MN ?
x

o
N C

AD ? BC ? 2(

1 ? y) 4

p 1 ? y ? ? y, 2 4

AD ? AF , BC ? BF
AF ? BF ? 2( 1 ? y) 4

?ABF中, AF ? BF ? AB ? 2
2( y ? 1 3 ) ? 2, 即y ? 4 4


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