1.3+函数的基本性质专题训练-解答题


1.3 函数的基本性质专题训练-解答题
一.选择题(共 12 小题) 1. (2016?蚌埠一模)在定义域内既是奇函数又是减函数的是( A.y= B.y=﹣x+ C.y=﹣x|x| D.y= ) )

2. (2016?昆明校级模拟)已知函数 f(x)为奇函数,且在(0,+∞)上单调递增,则以下结论正确的是( A.函数|f(x)|为偶函数,且在(﹣∞,0)上单调递增 B.函数|f(x)|为奇函数,且在(﹣∞,0)上单调递增 C.函数 f(|x|)为奇函数,且在(0,+∞)上单调递增 D.函数 f(|x|)为偶函数,且在(0,+∞)上单调递增 3. (2016?北海一模)若函数 f(x)=ln(x+ A.﹣1 B.0 C.1 D.﹣1 或 1 为奇函数,则实数 a=( ) )为奇函数,则 a=( )

4. (2016?昆明一模)若函数 f(x)= A.0 B. C .1 D.2

5. (2016?东城区二模)已知函数 g(x)=f(x)﹣x 是偶函数,且 f(3)=4,则 f(﹣3)=( A.﹣4 B.﹣2 C.0 D.4



6. (2016?广州模拟)已知 f(x)在 R 上是奇函数,且满足 f(x+4)=f(x) ,当 x∈(0,2)时,f(x)=2x ,则 f(7) =( )

2

A.2 B.﹣2 C.﹣98 D.98 7. (2016?广州模拟)已知 f(x)在 R 上是奇函数,且满足 f(x+4)=f(x) ,当 x∈(0,2)时,f(x)=2x ,则 f(7) =( )
2

A.2 B.﹣2 C.﹣98 D.98 8. (2016?浙江模拟)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+1)=2f(x) ,且当 0≤x≤1 时,f(x)=x ﹣x,则 ( A. ) B. C. D.
2

=

9. (2016?镇江一模)设 f(x)=

,若 f(x)=9,则 x=(



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A.﹣12

B.±3 C.﹣12 或±3

D.﹣12 或 3 ,则下列函

10. (2016?长沙一模)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+1)=﹣f(x) ,且 f(x)= 数值为 1 的是( A.f(2.5) ) B.f(f(2.5) ) C.f(f(1.5) ) D.f(2)

11. (2016?陕西一模)设函数 f(x)=

则 f[f(﹣8)]=(



A.4 B.﹣4 C.2

D.﹣2
2

12. (2016?新余三模)若 f(x)=x +2(a﹣1)x+2 在区间(4,+∞)上是增函数,那么实数 a 的取值范围是( A.a≥3 B.a≥﹣3 C.a≤﹣3 D.a≤5



二.解答题(共 18 小题) 13. (2016?衡阳校级模拟)已知二次函数 f(x)满足条件 f(0)=1 和 f(x+1)﹣f(x)=2x. (1)求 f(x) ; (2)求 f(x)在区间[﹣1,1]上的最大值和最小值.

14. (2016?嘉定区一模)设函数 f(x)=k?a ﹣a (a>0 且 a≠1)是奇函数. (1)求常数 k 的值; (2)设 a>1,试判断函数 y=f(x)在 R 上的单调性,并解关于 x 的不等式 f(x )+f(2x﹣1)<0.
2

x

﹣x

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15. (2016?岳阳校级三模)已知函数 (1)求 f(x)的定义域与值域; (2)判断 f(x)的奇偶性并证明; (3)研究 f(x)的单调性.

16. (2016?江西模拟)已知函数 f(x)的定义域为(0,+∞) ,且对任意的正实数 x,y 都有 f(xy)=f(x)+f(y) ,且 当 x>1 时,f(x)>0,f(4)=1, (1)求证:f(1)=0; (2)求 f( ) ;

(3)解不等式 f(x)+f(x﹣3)≤1.

17. (2016?江西模拟)已知 f(x)=x +2(a﹣2)x+4, (1)如果对一切 x∈R,f(x)>0 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)如果对 x∈[﹣3,1],f(x)>0 恒成立,求实数 a 的取值范围.

2

18. (2016 春?高安市校级期末)已知:f(x)=ax +(b﹣8)x﹣a﹣ab,当 x∈(﹣3,2)时,f(x)>0;x∈(﹣∞, ﹣3)∪(2,+∞)时,f(x)<0 (1)求 y=f(x)的解析式; (2)c 为何值时,ax +bx+c≤0 的解集为 R.
2

2

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19. (2016 春?泉州期中)已知函数 f(x)=a﹣ (1)求 a 的值;

是定义在(﹣1,1)上的奇函数.

(2)试判断函数 f(x)在(﹣1,1)上的单调性并证明; (3)若 f(x﹣1)+f(x)<0,求 x 的取值集合.

20. (2016 春?杭锦后旗校级期中)设常数 a≥0,函数 f(x)= (1)求 a 的值; (2)求 f(x)>3 成立的 x 的取值范围.

是奇函数.

21. (2016 春?保山校级期中)定义在实数集上的函数 y=f(x)是偶函数,当 x≥0 时,f(x)=﹣x +4x. (1)求 f(x)在 R 上的表达式; (2)求 y=f(x)的最大值,并写出 f(x)在 R 上的单调区间(不必证明) .

2

22. (2016 春?临沂期中)已知函数 f(x)=



(1)求 f(2)+f( ) ,f(3)+f( )的值; (2)归纳猜想一般性结; (3)求值:f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2016)+f( )+f( )+…+f(
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) .

23. (2015 秋?甘谷县校级期末)设函数 y=f (x) ,对任意实数 x,y 都有 f (x+y)=f (x)+f (y)+2xy. (1)求 f (0)的值; (2)若 f (1)=1,求 f (2) ,f (3) ,f (4)的值; (3)在(2)的条件下,猜想 f (n) (n∈N )的表达式.
*

24. (2015 秋?丰台区期中)已知 f(x)= (1)证明 f(x)是奇函数; (2)证明 f(x)是增函数.



25. (2015 秋?北京校级期中)已知 (Ⅰ)求 f(﹣1) ,f(1)的值; (Ⅱ)求 f(a)+f(﹣a)的值; (Ⅲ)判别并证明函数 f(x)的单调性.

26. (2015 秋?双鸭山校级期中)已知 f(x)是定义在实数集 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x ﹣4x+3, (Ⅰ)求 f[f(﹣1)]的值; (Ⅱ)求函数 f(x)的解析式.

2

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27. (2014?中山市校级三模)已知函数 f(x)在定义域(0,+∞)上为增函数,且满足 f(xy)=f(x)+f(y) ,f(3) =1 (1)求 f(9) ,f(27)的值 (2)解不等式 f(x)+f(x﹣8)<2.

28. (2014 秋?珠海期末)已知函数 (1)求证:不论 a 为何实数 f(x)总是为增函数; (2)确定 a 的值,使 f(x)为奇函数.



29. (2014 秋?广州期末)已知函数 f(x)=a + (1)求 a 的值; (2)判定 f(x)的奇偶性,并说明理由;

x

,且 f(1)=



(3)令函数 g(x)=f(x)﹣5,且 g(a)=8,求 g(﹣a)的值.

30. (2013 秋?沙坪坝区校级期末)已知二次函数 y=f(x)满足 f(0)=f(1)=1,且 (Ⅰ)f(x)的解析式; (Ⅱ)f(x)在(0,1)上的值域.

,求:

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1.3 函数的基本性质专题训练-解答题
参考答案与试题解析

一.选择题(共 12 小题) 1. (2016?蚌埠一模)在定义域内既是奇函数又是减函数的是( A.y= B.y=﹣x+ )

C.y=﹣x|x| D.y=

【解答】解:A. B. 时,y=

在定义域内没有单调性,∴该选项错误; ,x=1 时,y=0;

∴该函数在定义域内不是减函数,∴该选项错误; C.y=﹣x|x|的定义域为 R,且﹣(﹣x)|﹣x|=x|x|=﹣(﹣x|x|) ; ∴该函数为奇函数; ; ∴该函数在[0,+∞) , (﹣∞,0)上都是减函数,且﹣0 =0 ; ∴该函数在定义域 R 上为减函数,∴该选项正确; D. ∵﹣0+1>﹣0﹣1; ∴该函数在定义域 R 上不是减函数,∴该选项错误. 故选:C. ;
2 2

2. (2016?昆明校级模拟)已知函数 f(x)为奇函数,且在(0,+∞)上单调递增,则以下结论正确的是( A.函数|f(x)|为偶函数,且在(﹣∞,0)上单调递增 B.函数|f(x)|为奇函数,且在(﹣∞,0)上单调递增 C.函数 f(|x|)为奇函数,且在(0,+∞)上单调递增 D.函数 f(|x|)为偶函数,且在(0,+∞)上单调递增 【解答】解:函数 f(x)为奇函数,且在(0,+∞)上单调递增,
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不妨令 f(x)=x,则|f(x)|=|x|,f(|x|)=|x|; ∴函数|f(x)|为偶函数,且在(﹣∞,0)上单调递减,∴命题 A、B 错误; 函数 f(|x|)为偶函数,且在(0,+∞)上单调递增,∴命题 C 错误、D 正确. 故选:D.

3. (2016?北海一模)若函数 f(x)=ln(x+ A.﹣1 B.0 C .1 D.﹣1 或 1

)为奇函数,则 a=(



【解答】解:函数 f(x)=ln(x+ 成立,解得 a=1, 故选:C.

)为奇函数,f(﹣x)+f(x)=ln(﹣x+

)+ln(x+

)=lna=0 恒

4. (2016?昆明一模)若函数 f(x)= A.0 B. C .1 D.2

为奇函数,则实数 a=(



【解答】解:由函数 f(x)= 故选:C.

为奇函数,可得 f(0)=

=0,求得 a=1,

5. (2016?东城区二模)已知函数 g(x)=f(x)﹣x 是偶函数,且 f(3)=4,则 f(﹣3)=( A.﹣4 B.﹣2 C.0 D.4



【解答】解:函数 g(x)=f(x)﹣x 是偶函数, 可知 g(3)=g(﹣3) , 可得 f(3)﹣3=f(﹣3)+3, 即 4﹣3=f(﹣3)+3, f(﹣3)=﹣2. 故选:B.

6. (2016?广州模拟)已知 f(x)在 R 上是奇函数,且满足 f(x+4)=f(x) ,当 x∈(0,2)时,f(x)=2x ,则 f(7) =( A.2 ) B.﹣2 C.﹣98 D.98

2

【解答】解:∵f(x+4)=f(x) ,
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∴函数的周期是 4, ∵f(x)在 R 上是奇函数,且当 x∈(0,2)时,f(x)=2x , ∴f(7)=f(7﹣8)=f(﹣1)=﹣f(1)=﹣2, 故选:B
2

7. (2016?广州模拟)已知 f(x)在 R 上是奇函数,且满足 f(x+4)=f(x) ,当 x∈(0,2)时,f(x)=2x ,则 f(7) =( A.2 ) B.﹣2 C.﹣98 D.98

2

【解答】解:∵f(x)在 R 上是奇函数,且满足 f(x+4)=f(x) , 当 x∈(0,2)时,f(x)=2x , ∴f(7)=f(﹣1)=﹣f(1)=﹣2. 故选:B.
2

8. (2016?浙江模拟)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+1)=2f(x) ,且当 0≤x≤1 时,f(x)=x ﹣x,则 ( A. ) B. C. D.
2

2

=

【解答】解:∵定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+1)=2f(x) ,且当 0≤x≤1 时,f(x)=x ﹣x, 当﹣2≤x≤﹣1 时,0≤x+2≤1, 由题意 f(x)= f(x+1)= f(x+2)= (x+2)[(x+2)﹣1], ∴f(﹣ )= 故选:D. =﹣ .

9. (2016?镇江一模)设 f(x)=

,若 f(x)=9,则 x=(



A.﹣12 B.±3 C.﹣12 或±3

D.﹣12 或 3

【解答】解:∵f(x)=

,f(x)=9,

∴当 x≤﹣1 时,﹣x﹣3=9,解得 x=﹣12; 当﹣1<x<2 时,x =9,解得 x=±3,不成立;
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2

当 x≥2 时,3x=9,解得 x=3. ∴x=﹣12 或 x=3. 故选:D.

10. (2016?长沙一模)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+1)=﹣f(x) ,且 f(x)= 数值为 1 的是( )

,则下列函

A.f(2.5) B.f(f(2.5) ) C.f(f(1.5) ) D.f(2) 【解答】解:由 f(x+1)=﹣f(x) ,得 f(x+2)=﹣f(x+1)=f(x) , 则函数的周期是 2, 则 f(2.5)=f(2+0.5)=f(0.5)=﹣1, f(f(2.5) )=f(﹣1)=f(﹣1+2)=f(1)=﹣1 f(f(1.5) )=f(f(2﹣0.5) )=f(f(﹣0.5) )=f(1)=﹣1, f(2)=f(0)=1, 即列函数值为 1 的 f(2) , 故选:D.

11. (2016?陕西一模)设函数 f(x)=

则 f[f(﹣8)]=(



A.4

B.﹣4 C.2

D.﹣2

【解答】解:∵f(x)=



∴f(﹣8)=﹣(﹣8)

=2,

f[f(﹣8)]=2+ ﹣7=﹣4. 故选:B.

12. (2016?新余三模)若 f(x)=x +2(a﹣1)x+2 在区间(4,+∞)上是增函数,那么实数 a 的取值范围是( A.a≥3 B.a≥﹣3 C.a≤﹣3
2

2



D.a≤5

【解答】解:二次函数 f(x)=x +2(a﹣1)x+2 是开口向上的二次函数, 对称轴为 x=1﹣a,
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∴二次函数 f(x)=x +2(a﹣1)x+2 在[1﹣a,+∞)上是增函数, ∵在区间(4,+∞)上是增函数, ∴1﹣a≤4, 解得:a≥﹣3. 故选 B.

2

二.解答题(共 18 小题) 13. (2016?衡阳校级模拟)已知二次函数 f(x)满足条件 f(0)=1 和 f(x+1)﹣f(x)=2x. (1)求 f(x) ; (2)求 f(x)在区间[﹣1,1]上的最大值和最小值. 【解答】解: (1)设 f(x)=ax +bx+c, 则 f(x+1)﹣f(x)=a(x+1) +b(x+1)+c﹣(ax +bx+c)=2ax+a+b ∴由题 恒成立
2 2 2



∴f(x)=x ﹣x+1 (2)f(x)=x ﹣x+1= ∴
2

2

在[﹣1, ]单调递减,在[ ,1]单调递增 ,f(x)max=f(﹣1)=3

14. (2016?嘉定区一模)设函数 f(x)=k?a ﹣a (a>0 且 a≠1)是奇函数. (1)求常数 k 的值; (2)设 a>1,试判断函数 y=f(x)在 R 上的单调性,并解关于 x 的不等式 f(x )+f(2x﹣1)<0. 【解答】解: (1)函数 f(x)的定义域为 R,f(x)是奇函数; ∴f(0)=k﹣1=0; ∴k=1; (2)由(1) ,f(x)=a ﹣a ,设 x1,x2∈R,且 x1<x2,则: ;
x
﹣x

x

﹣x

2

∵a>1,x1<x2;

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,又



∴f(x1)﹣f(x2)<0; 即 f(x1)<f(x2) ; ∴函数 f(x)在 R 上是单调递增函数; 由 f(x )+f(2x﹣1)<0,得 f(x )<﹣f(2x﹣1) ; 即 f(x )<f(1﹣2x) ; f(x)在 R 上单调递增; ∴x <1﹣2x,即 x +2x﹣1<0; 解得 ∴原不等式的解为 ; .
2 2 2 2 2

15. (2016?岳阳校级三模)已知函数 (1)求 f(x)的定义域与值域; (2)判断 f(x)的奇偶性并证明; (3)研究 f(x)的单调性. 【解答】解:原函数化为:
x



(1)令分母 4 +1≠0,该不等式恒成立,故定义域为 R 函数的解析式可以变为 故 0< <2, ,由于 4 +1>1,故 0<
x

<1

∴f(x)的值域是(﹣1,1) (2)函数是一个奇函数,证明如下 ,故是一个奇函数. (3)f(x)在(﹣∞,+∞)是一个增函数,证明如下 由于 故 ,在(﹣∞,+∞)上,2 +1 递增且函数值大于 0, 在(﹣∞,+∞)上是增函数.
x

在(﹣∞,+∞)上是减函数,

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16. (2016?江西模拟)已知函数 f(x)的定义域为(0,+∞) ,且对任意的正实数 x,y 都有 f(xy)=f(x)+f(y) ,且 当 x>1 时,f(x)>0,f(4)=1, (1)求证:f(1)=0; (2)求 f( ) ;

(3)解不等式 f(x)+f(x﹣3)≤1. 【解答】解: (1)证明:令 x=4,y=1,则 f(4)=f(4×1)=f(4)+f(1) . ∴f(1)=0. (2)f(16)=f(4×4)=f(4)+f(4)=2,f(1)=f( 故 f( )=﹣2. ×16)=f( )+f(16)=0,

(3)设 x1,x2>0 且 x1>x2,于是 f(

)>0,

∴f(x1)=f(

×x2)=f(

)+f(x2)>f(x2) .

∴f(x)为 x∈(0,+∞)上的增函数. 又∵f(x)+f(x﹣3)=f[x(x﹣3)]≤1=f(4) ,



? 3<x≤4.

∴原不等式的解集为{x|3<x≤4}.

17. (2016?江西模拟)已知 f(x)=x +2(a﹣2)x+4, (1)如果对一切 x∈R,f(x)>0 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)如果对 x∈[﹣3,1],f(x)>0 恒成立,求实数 a 的取值范围. 【解答】解: (1)∵对一切 x∈R,f(x)>0 恒成立, 根据二次函数的图象和性质可得 △=4(a﹣2) ﹣16<0? 0<a<4; (2)∵对 x∈[﹣3,1],f(x)>0 恒成立, ∴讨论对称轴与区间[﹣3,1]的位置关系得 或 或 ,
2

2

解得 a∈? 或 1≤a<4 或

,∴a 的取值范围为
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18. (2016 春?高安市校级期末)已知:f(x)=ax +(b﹣8)x﹣a﹣ab,当 x∈(﹣3,2)时,f(x)>0; x∈(﹣∞,﹣3)∪(2,+∞)时,f(x)<0 (1)求 y=f(x)的解析式; (2)c 为何值时,ax +bx+c≤0 的解集为 R. 【解答】解: (1)∵不等式 f(x)>0 的解集为 x∈(﹣3,2) , ∴﹣3,2 是方程 ax +(b﹣8)x﹣a﹣ab=0 的两根,
2 2

2



,且 a<0,可得



∴f(x)=﹣3x ﹣3x+18. (2)由 a<0,知二次函数 y=ax +bx+c 的图象开口向下,要使不等式﹣3x +5x+c≤0 的解集为 R,只需△≤0, 即 25+12c≤0,故 c≤﹣ ∴当 c≤﹣ .
2 2 2

2

时,不等式 ax +bx+c≤0 的解集为 R.

19. (2016 春?泉州期中)已知函数 f(x)=a﹣ (1)求 a 的值;

是定义在(﹣1,1)上的奇函数.

(2)试判断函数 f(x)在(﹣1,1)上的单调性并证明; (3)若 f(x﹣1)+f(x)<0,求 x 的取值集合. 【解答】解: (1)由题意得 (2)由(1)可知 证明如下: 设﹣1<x1<x2<1,则: f (x1)﹣f (x2) = ; ,函数 f (x)在区间(﹣1,1)上为增函数;

=

=



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∵﹣1<x1<x2<1; ∴ ∴f(x1)<f(x2) ; ∴f(x)在(﹣1,1)上为增函数; (3)f(x﹣1)+f(x)<0?f(x﹣1)<﹣f(x) 因为 f(x)为奇函数,所以﹣f(x)=f(﹣x) ; 则不等式可变形为 f(x﹣1)<f(﹣x) ,因为 f(x)在(﹣1,1)上为增函数; ;

所以



解得

; .

∴x 的取值集合为

20. (2016 春?杭锦后旗校级期中)设常数 a≥0,函数 f(x)= (1)求 a 的值; (2)求 f(x)>3 成立的 x 的取值范围. 【解答】解: (1)∵f(x)为奇函数, ∴f(﹣x)=﹣f(x) ,∴ ∴a=1(﹣1 舍去) ; (2)f(x)>3,即 ∴1<2 <2, 解得 0<x<1.
x

是奇函数.

=﹣



>3,

21. (2016 春?保山校级期中)定义在实数集上的函数 y=f(x)是偶函数,当 x≥0 时,f(x)=﹣x +4x. (1)求 f(x)在 R 上的表达式; (2)求 y=f(x)的最大值,并写出 f(x)在 R 上的单调区间(不必证明) . 【解答】解: (1)∵定义在实数集上的函数 y=f(x)是偶函数, 当 x≥0 时,f(x)=﹣x +4x=﹣(x﹣2) +4,
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2 2

2

设 x<0 时,则﹣x>0, 故 f(x)=f(﹣x)=﹣(﹣x) +4(﹣x)=﹣x ﹣4x=﹣(x+2) , 综上可得,f(x)= .
2 2 2

(2)根据函数的解析式可得,当 x=±2 时,y=f(x)取得最大值为 4, 结合 f(x)的图象写出 f(x)在 R 上的单调增区间为(﹣∞,﹣2]、[0,2]; 减区间为[﹣2,0]、[2,+∞) .

22. (2016 春?临沂期中)已知函数 f(x)=



(1)求 f(2)+f( ) ,f(3)+f( )的值; (2)归纳猜想一般性结论,并给出证明; (3)求值:f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2016)+f( )+f( )+…+f( ) .

【解答】解 (1)∵f(x)=



∴f(2)+f( )=

=

=1,…(2 分)

f(3)+f( )=

+

=

+

=1.…(4 分)

(2)由(1)猜想 f(x)+f( )=1,…(6 分)

证明:f(x)+f( )=

+

=

+

=1.…(8 分)

(3)由(2)可得, 原式=f(1)+[f(1)+f( )]+[f(3)+f( )]+…+[f(2016)+f( =f(1)+2015= = .…(12 分) )]

23. (2015 秋?甘谷县校级期末)设函数 y=f (x) ,对任意实数 x,y 都有 f (x+y)=f (x)+f (y)+2xy.
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(1)求 f (0)的值; (2)若 f (1)=1,求 f (2) ,f (3) ,f (4)的值; (3)在(2)的条件下,猜想 f (n) (n∈N )的表达式并用数学归纳法证明. 【解答】解: (1)令 x=y=0,得 f(0+0)=f(0)+f(0)+2×0×0,得 f(0)=0.…(2 分) (2)由 f(1)=1,得 f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)+2×1×1=4. f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)+2×2×1=9.f(4)=f(3+1)=f(3)+f(1)+2×3×1=16.…(5 分) (3)由(2)可猜想 f(n)=n ,…(7 分) 用数学归纳法证明: (i)当 n=1 时,f(1)=1 =1 显然成立.…(8 分) (ii)假设当 n=k 时,命题成立,即 f(k)=k ,…(10 分) 则当 n=k+1 时,f(k+1)=f(k)+f(1)+2×k×1=k +1+2k=(k+1) , 故当 n=k+1 时命题也成立,…(12 分) 由(i) , (ii)可得,对一切 n∈N 都有 f(n)=n 成立.…(14 分)
* 2 2 2 2 2 2 *

24. (2015 秋?丰台区期中)已知 f(x)= (1)证明 f(x)是奇函数; (2)证明 f(x)是增函数. 【解答】解: (1)证明:任取 x∈R,都有:



=﹣f(x) ,

∴f(x)是定义域 R 上的奇函数; (2)证明:令 x1<x2, 则 ∵x1<x2, ∴ ∴ , , ,

则 f(x1)<f(x2) , ∴f(x)在 R 上是增函数.
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25. (2015 秋?北京校级期中)已知 (Ⅰ)求 f(﹣1) ,f(1)的值; (Ⅱ)求 f(a)+f(﹣a)的值; (Ⅲ)判别并证明函数 f(x)的单调性. 【解答】解: (Ⅰ)∵ ,

∴f(﹣1)=

= ,f(1)=

= ;

(Ⅱ)f(a)+f(﹣a)=

+

=

+

=1;

(Ⅲ)函数 f(x)是定义域 R 上的单调增函数, 证明如下:任取 x1、x2∈R,且 x1<x2, ∴ < , (1+ ) (1+ )>0,

∴f(x1)﹣f(x2)= 即 f(x1)<f(x2) ,



=

>0,

∴函数 f(x)是定义域 R 上的单调增函数.

26. (2015 秋?双鸭山校级期中)已知 f(x)是定义在实数集 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x ﹣4x+3, (Ⅰ)求 f[f(﹣1)]的值; (Ⅱ)求函数 f(x)的解析式. 【解答】解: (Ⅰ)因为 f(x)是定义在实数集 R 上的奇函数,f(0)=0, 当 x>0 时,f(x)=x ﹣4x+3, f[f(﹣1)]=f[﹣f(1)]=f(0)=0…4′ (Ⅱ)因为 f(x)是定义在实数集 R 上的奇函数,∴f(0)=0, 且当 x>0 时,f(x)=x ﹣4x+3, x<0 时 f(x)=﹣f(﹣x)=﹣(x +4x+3) =﹣x ﹣4x﹣3
2 2 2 2

2

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…12

27. (2014?中山市校级三模)已知函数 f(x)在定义域(0,+∞)上为增函数,且满足 f(xy)=f(x)+f(y) ,f(3) =1 (1)求 f(9) ,f(27)的值 (2)解不等式 f(x)+f(x﹣8)<2. 【解答】解: (1)f(9)=f(3)+f(3)=2, f(27)=f(9)+f(3)=3 (2)∵f(x)+f(x﹣8)=f[x(x﹣8)]<f(9) 而函数 f(x)是定义在(0,+∞)上为增函数,



即原不等式的解集为(8,9)

28. (2014 秋?珠海期末)已知函数 (1)求证:不论 a 为何实数 f(x)总是为增函数; (2)确定 a 的值,使 f(x)为奇函数. 【解答】解: (1)∵f(x)的定义域为 R, 设 x1<x2, 则 =



(4 分)

∵x1<x2,∴ ∴f(x1)﹣f(x2)<0, (6 分)



即 f(x1)<f(x2) ,所以不论 a 为何实数 f(x)总为增函数. (7 分) (2)∵f(x)为奇函数,∴f(﹣x)=﹣f(x) , 即 解得: .∴ , . (12 分)

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29. (2014 秋?广州期末)已知函数 f(x)=a + (1)求 a 的值; (2)判定 f(x)的奇偶性,并说明理由;

x

,且 f(1)=



(3)令函数 g(x)=f(x)﹣5,且 g(a)=8,求 g(﹣a)的值. 【解答】解: (1)因为 所以 a=3; (2)由(1)得 , ,所以 ,

所以 f(x)的定义域为(﹣∞,+∞) , , 所以 f(x)=f(﹣x) , 所以 f(x)为偶函数; (3)因为 g(x)=f(x)﹣5,g(a)=8, 所以 f(x)=g(x)+5, 所以 f(a)=g(a)+5=13 因为 f(x)为偶函数, 所以 f(﹣a)=g(﹣a)+5=13, 所以 g(﹣a)=8.

30. (2013 秋?沙坪坝区校级期末)已知二次函数 y=f(x)满足 f(0)=f(1)=1,且 (Ⅰ)f(x)的解析式; (Ⅱ)f(x)在(0,1)上的值域. 【解答】解: (Ⅰ)设 f(x)的一般式 y=ax +bx+c, ∵f(0)=f(1)=1,且 ,
2

,求:



解得

∴f(x)=x ﹣x+1…..…(6 分)
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2

(Ⅱ)f(x)=x ﹣x+1 的解析式可化为: ; 当 时, ;当 x=1 时,f(1)=1, …(13 分)

2

综上,f(x)在(0,1)上的值域是

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