第一章 导数及其应用 小结与复习(20)


第一章 导数及其应用小结与复习(1) 一、 【教学目标】
重点:1.通过例题讲解复习导数及其应用的知识点,总结各种题型的解法. 2.理解导函数与函数单调性、函数的极值与最值的关系. 难点:1.可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件会求一些实际问题的最大和最小值. 2.导数在解决问题中的应用,学生自己对综合题的分析和解决. 能力点:导数在研究恒成立与能成立问题中的应用.培养学生的数形结合、计算能力、归纳、转化与划归 能力、分析问题与解决问题的能力. 教育点:提高学生的认知水平,培养学生自己解决问题的能力及综合解题能力,为学生塑造良好的数学认 识结构. 自主探究点:在掌握导数相关概念的基础上进一步探究例题及变式的解题思路,总结相关的解题方法进一 步链接高考. 易错点:1.在利用导数研究函数的单调性时学生容易忽略定义域. 2.对于含参问题分类讨论的标准选择及讨论的完备性. 拓展点:导数在实际生活中的应用,进一步掌握导数解决实际问题的方法和步骤.

二、 【知识梳理】
(一)全章知识结构 函数的瞬时变化率 导数的概念 运动的瞬时速度 导数的几何意义 基本初等函数求导 导数 导数的运算 导数的四则运算法则 简单复合函数的导数 函数的单调性研究 函数的极值与最值 导数的应用 曲线的切线 平均变化率 平均速度 曲线的割线斜率

微 积 分

最优化问题 曲边梯形的面积 定积分概念 定积分 变速直线运动的路程

微积分基本定理 定积分在几何、物理中的应用 (二)知识梳理 1.导数的定义及利用导数的几何意义求曲线的切线方程(注意在这点和过这点的区别):

(1)切点处的导数等于切线的斜率. (2)切点既在曲线上又在切线上. 2.利用导数研究函数的单调性与极值、最值: (1) (单调性的充分条件)设函数 y ? f ( x) 在某个区间内可导,如果 f ?( x) ? 0 ,则 y ? f ( x) 为增函数; 如 果 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x ) 为减函数. (2) (单调性的必要条件) 设函数 y ? f ( x) 在某个区间内可导,如果 y ? f ( x) 在该区间上单调递增(或递 减),则在该区间内 f ?( x) ? 0 (或 f ?( x) ? 0 ). 3.利用导数解决恒成立问题: (1)分离变量,然后转化为函数最值问题(有时要构造新函数); (2)利用图像,特别是二次函数问题. 4.利用导数证明不等式:首先要构造新函数,然后研究函数的单调性,进而转换为函数的最值.

三、 【范例导航】
题型一:导数的几何意义及其应用 【考点分析】: 1. 题型既有选择题、填空题,也有解答题.主要考察利用导数的几何意义求切线方程导数 的有关计算,尤其是简单的复合函数求导导数与解析几何相结合. 2. 解决此类问题应熟练掌握基本初等函数的导数及导数的四则运算.求切线时,应明确求曲线在点 P 处的 切线与求过点 P 的切线有区别. 例 1. (1)若曲线 y ? kx ? ln x 在点 (1, k ) 的切线方程平行于 x 轴,则 k ? ________. (2)若直线 y ? 2 x ? m 是曲线 y ? x ln x 的切线,则实数 m 的值为________. (3) 在平面直角坐标系 xOy 中, 点 P 在曲线 C : y ? x3 ? 10 x ? 3 上, 且在第二象限内, 已知曲线 C 在点 P 处的切线斜率为 2 ,则点 P 的坐标为________. 【分析】 : (1)本题是已知切线的斜率求参数,直接对 y ? kx ? ln x 求导,把点 (1, k ) 代入即可. (2)本题是已知切线方程不知切点因此首先设出切点,代入导函数,求解切点坐标,把切点坐标代入切线方 程即可. (3)本题是已知切线的斜率求切点坐标,注意有条件限制.

1 ? k ? 1 ? 0, 解得 k ? ?1 . x 1 (2) 设切点为 ( x0 , x0 ln x0 ) ,由 y ? ? ( x ln x)? ? ln x ? x ? ? ln x ? 1 ,得切线的斜率 k ? ln x0 ? 1 ,故切线 x
【解答】 : (1)由斜率 k ? y? |x?1 ? 0 ,即当 x ? 1 时, k ? 的方程为 y ? x0 ln x0 ? (ln x0 ? 1)( x ? x0 ) ,整理得 y ? (ln x0 ? 1) x ? x0 ,与 y ? 2 x ? m 比较得 x0 ? e , 故 m ? ?e . (3)由曲线 C : y ? x ? 10 x ? 3 ,得 y? ? 3x ? 10 ,根据导数的几何意义,得 y? ? 3x ? 10 ? 2 ,所以
3 2 2

x ? ?2 ,即: 点 P 的坐标为 (?2,15) .
【点评】:此例题为考查导数几何意义的简单应用,属于比较基本的题型.
x ' 变式训练 1:已知 f ( x) ? xe ? 1 ,若 f ( x0 ) ? 1 ,则 f ( x ) 在点 ( x0 , y0 ) 处的切线方程.

2.已知曲线 y ?

1 3 4 x ? . 3 3

(1)求曲线在点 P (2, 4) 处的切线方程; (2)求曲线过点 P (2, 4) 处的切线方程; (3)求斜率为 4 的曲线的切线方程. 3.求曲线 y ? e?2 x ? 1在点 (0, 2) 处的切线与直线 y ? 0 和 y ? x 围成的三角形的面积. 【分析】 :1.本题是一道简单的已知切线斜率坐标和切线方程的题目. 2.求曲线在点 P 处的切线与求过点 P 的切线有区别.在点 P 处的切线,点 P 必为切点求过点 P 的切线, 点 P 未必是切点.应注意概念的区别,其求法也有所不同. 3.本题是利用导数几何意义结合数形结合方法求面积,侧重基础知识的落实. 【解答】 :1.由 f ( x) ? xe x ? 1 ,所以 f ' ( x) ? e x ? xe x .由 f ' ( x0 ) ? 1 ,得 x0 ? 0, y0 ? 1 ,所以 f ( x ) 在点

(0,1) 处的切线方程为 x ? y ? 1 ? 0 .
2.(1)因为 P (2, 4) 在曲线 y ?

1 3 4 x ? 上,且 y? ? x 2 ,所以,在点 P(2, 4) 处的切线的斜率 k ? y? |x?2 ? 4 . 3 3

所以,曲线在点 P (2, 4) 处的切线方程为 y ? 4 ? 4( x ? 2) ,即: 4 x ? y ? 4 ? 0 . (2)设曲线 y ?

1 3 4 1 4 x ? 与过点 P(2, 4) 的切线相切于点 A( x0 , x03 ? ) , 3 3 3 3
2

则切线的斜率 k ? y? |x? x0 ? x0 . 所以,切线方程为 y ? ( x0 ? ) ? x0 ( x ? x0 ) ,即 y ? x0 ? x ?
3 2 2

1 3

4 3

2 3 4 x0 ? 3 3

因为点 P (2, 4) 在切线上,所以 4 ? x0 ? 2 ?
2

2 3 4 2 2 2 x0 ? ,即 x03 ? 3x0 ? 4x0 ? 4 ? 0, ? 4 ? 0 , x03 ? x0 3 3

x02 ( x0 ? 1) ? 4( x0 ? 1)( x0 ?1) ? 0 ,所以 ( x0 ? 1)( x0 ? 2)2 ? 0 ,解得 x0 ? ?1, x0 ? 2.
故所求切线方程为 4 x ? y ? 4 ? 0 或 x ? y ? 2 ? 0 .
2 (3)设切点为 ( x0 , y0 ) ,则切线的斜率 k ? x0 ? 4 ,即 x0 ? ?2 .所以,切点为 (2, 4) 或 ( ?2, ? ) .

4 3

即:切线方程为 4 x ? y ? 4 ? 0 或 12 x ? 3 y ? 20 ? 0 . 3. 所求三角形面积为: S ?

1 . 3

【点评】通过第 2 题让学生正确区分“在点 P ”与“过点 P ”的不同.进一步加深对导数几何意义的理解; 此处两个练习为考查曲线的切线的题目,属于对导数几何意义理解的题型. 题型二: 利用导数判断函数的单调性 【考点分析】: 1. 在解决导数问题时,首先要确定函数的定义域,对于书写单调区间时可以用“和”或“,” 隔开,绝对不能用“ ? ”连接. 2. 借助导数研究函数的单调性,尤其是研究含有 ln x, e x 等线性函数(或复合函数)的单调性,是近几年高考

的重点.其特点是导数 f ?( x) 的符号一般由二次函数来确定;经常同一元二次方程、一元二次不等式结合, 融分类讨论,数形结合于一体. 例 2.已知 a ? R ,函数 f (x)=( ? x2 +ax)ex ( x ? R , e 为自然对数的底数). (1)当 a ? 2 时,求函数 f (x) 的单调递增区间; (2)若函数 f (x) 在 (?1,1) 上单调递增,求 a 的取值范围; (3)函数 f (x) 是否为 R 上的单调函数,若是,求出 a 的取值范围,若不是,请说明理由. 【分析】 : (1)重点考查了用导数求单调区间的步骤(2) (3)中要转化为 f ' ( x) ? 0 或 f ' ( x) ? 0 恒成立问 题,并注意讨论. 【解答】 : f ' ( x) ? (? x2 ? ax ? 2x ? a)e x .
' 2 x ' (1)当 a ? 2 时, f ( x) ? (2 ? x )e .令 f ( x) ? 0 得, ? 2 ? x ?

2,

所以 f ( x ) 单调增区间是 (? 2, 2) . (2)因为函数 f (x) 在 (?1,1) 上单调递增, 所以 f ' ( x) ? 0 在 (?1,1) 上恒成立,即 ? x ? ax ? 2 x ? a ? 0 在 (?1,1) 上恒成立
2

(分离变量法) a ? 令 g ( x) ?

x2 ? 2 x 在 (?1,1) 上恒成立. x ?1

x 2 ? 2 x ( x ? 1)2 ? 1 1 ? ? ( x ? 1) ? ,(构造新函数) x ?1 x ?1 x ?1
3 3 ,故 a ? . 2 2

则 g ( x) 是单调增函数.所以 g ( x ) ? g (1) ?

' ' (3)假设 f (x) 为 R 上的单调函数,则 f ( x) ? 0 或 f ( x) ? 0 在 R 上恒成立.

又 h( x) ? ? x2 ? (a ? 2) x ? a 得二次项系数为负数,故只需 ? ? 0 即可. 而 ? ? a ? 4 ? 0 ,所以不存在 a 使得 f (x) 为 R 上的单调函数.
2

【点评】:求单调区间时只需 f (x)>0 或 f (x)<0 ,而在已知单调性求参数范围一般要保证 f ( x) ? 0 或
' ' '

f ' ( x) ? 0 对于(2)中的恒成立问题也可以选择不分离变量或者是数形结合,要注意引导学生比较几种方
法的优劣,主动选择. 变式训练: (2010 山东)已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ?

1? a ? 1(a ? R). x

(1)当 a ? ?1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程; (2)当 a ?

1 时,讨论 f ( x ) 的单调性. 2

【答案提示】:(1) x ? y ? ln 2 ? 0 (2)当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 在 (0,1) 上单调递减,在 (1, ??) 上单调递增,

当a ?

1 时,函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递减, 2 1 1 1 时,函数 f ( x ) 在 (0,1) 上单调递减,在 (1, ? 1) 上单调递增,在 ( ? 1, ?? ) 上单调递减. 2 a a

当0 ? a ?

题型三: 利用导数研究函数的极值和最值 【考点分析】: 1.题型既有选择题、填空题,也有解答题,属于中档或中档偏难的题目,常与函数单调性、函 数的图象等融合在一起,研究方程根的情况、不等式的证明等. 2. 极值与最值是两个迥然不同的概念 ,前者是函数的局部性质,后者是函数的整体性质.函数的极值可以 有多个,但最值只有一个,极值只能在区间内取得,而最值还可以在端点处取得,最值只要不在端点处,必是 一个极值. 3.判断极值是否存在,务必把握以下原则: (1)确定函数 f ( x ) 的定义域.(2)解方程 f ?( x) ? 0 的根.(3)验证 f ?( x) ? 0 的根两侧的符号: 若左正右负,则 f ( x ) 在此根处取得极大值; 若左负右正,则 f ( x ) 在此根处取得极小值;即:导数为零的点 未必是极值点,这一点是解题时的主要失分点,学习时务必引起注意. 例 3.已知函数 f ( x) ? x3 ? 3ax2 ? 9a2 x ? a3 . (1)设 a ? 1 ,求 f ( x ) 的极值;

1 ,且当 x ? [1, 4a] 时, | f ?( x) |? 12a 恒成立,试确定 a 的取值范围. 4 【分析】 : (1)这一步是简单的求极值问题,把 a ? 1 代入求导即可; (2)含参数问题,注意参数的取值范围.
(2)若 a ?
3 2 2 【解答】 : (1)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? 3x ? 9 x ? 1 ,且 f ?( x) ? 3x ? 6 x ? 9 .

由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ?1 或 x ? 3 .当 x ? ?1 时, f ?( x) ? 0 ;当 ?1 ? x ? 3 时, f ?( x) ? 0 ; 因此 x ? ?1 是函数的极大值点,极大值为 f (?1) ? 6 当 ?1 ? x ? 3 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 3 时, f ?( x) ? 0 ; 因此 x ? 3 是函数的极小值点,极小值为 f (3) ? ?26
2 2 (2) f ?( x) ? 3x ? 6ax ? 9a 的图象是一条开口向上且对称轴为 x ? a 的抛物线,

因此,若

1 ? a ? 1 ,则 f ?( x) 在 [1, 4a] 上单调递增, 4

2 2 所以 f ?( x) 在 [1, 4a] 上的最小值为 f ?(1) ? 3 ? 6a ? 9a ;最大值为 f ?(4a) ? 15a .

由 | f ?( x) |? 12a 得 ?12a ? 3x ? 6ax ? 9a ? 12a ,于是 3 ? 6a ? 9a ? ?12a 且15a ? 12a .
2 2 2 2

由于

1 1 4 ? a ? 1 ,解得 ? a ? . 4 4 5

2 若 a ? 1 ,则 f ?(a) ? 12a ? 12a ,故当 x ? [1, 4a] 时, | f ?( x) |? 12a 不成立.

所以, 当 x ? [1, 4a] 时, | f ?( x) |? 12a 恒成立时 a 的取值范围为 ( , ] . 【点评】: (1)明确极值点存在的充要条件; (2)分类讨论参数一要切合题意,二要不重不漏. 变式训练:1.设 a 为实数,函数 f ( x) ? ex ? 2x ? 2a, x ? R . (1)求 f ( x ) 的单调区间与极值 (2)求证:当 a ? ln 2 ? 1且 x ? 0 时, e ? x ? 2ax ? 1. 1? a 2.已知函数 f ( x) ? x ? a ln x , g ( x) ? ? , (a ? R). x
x 2

1 4 4 5

(1)若 a ? 1 ,求函数 f ( x ) 的极值; (2)设函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,求函数 h( x ) 的单调区间; (3)若在 ?1,e? ( e ? 2.718... )上存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求 a 的取值范围. 【分析】 :这两题主要考察了了函数单调性、极值的求法,利用导数证明单调性;含参数的函数单调区间 的求解,对于含字母参数的不等式进行了必要的分类讨论,特别强调重视定义域在解题中的重要作用. 【解答】 :1.递减区间 (??,ln 2) ,递增区间 (ln 2, ??) ,极小值 f (ln 2) ? 2(1 ? ln 2 ? a) . 具体过程: (1)由 f ( x) ? ex ? 2x ? 2a, x ? R ,知 f ?( x) ? ex ? 2, x ? R .令 f ?( x ) =0,得 x ? ln 2 . 于是当 x 变化时, f ?( x ) , f ( x ) 的变化情况如下表:

极小值 单调递增 单调递减 故 f ( x ) 的单调递减区间是 (??,ln 2) ,单调递增区间是 (ln 2, ??) ,

x f ?( x ) f ( x)

(??,ln 2)


ln 2
0

(ln 2, ??)


f ( x) 在 x ? ln 2 处取得极小值,极小值为 f (ln 2)=eln 2 ? 2ln 2 ? 2a = 2(1 ? ln 2 ? a) . x 2 x (2)证明:设 f ( x) ? e ? x ? 2ax ?1, x ? R .于是 g ?( x) ? e ? 2x ? 2a, x ? R . 由(1)知当 a ? ln 2 ? 1 时, g ?( x ) 最小值为 g ?(ln 2) ? 2(1 ? ln 2 ? a) ? 0 . 于是对任意 x ? R ,都有 g ?( x) ? 0 ,所以 g ( x) 在 R 内单调递增, 于是当 a ? ln 2 ? 1时,对任意 x ? (0, ??) ,都有 g ( x) ? g (0) .
而 g (0) ? 0 ,从而对任意 x ? (0, ??) ,都有 g ( x) ? 0 ,即 e ? x ? 2ax ? 1 ? 0 ,故 e ? x ? 2ax ? 1.
x 2 x 2

2. (1) f ( x) 的定义域为 (0, ??) ,当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? ln x , f ?( x) ? 1 ?

1 x ?1 ? , x x

x
f ?( x ) f ( x)

(0,1)


1 0 极小值

(1, ??)
+

所以 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极小值1 . (2) h( x) ? x ?

1? a 1 ? a a x2 ? ax ? (1 ? a) ( x ? 1)[ x ? (1 ? a)] ? a ln x , h?( x) ? 1 ? 2 ? ? ? x x x2 x2 x

①当 a ? 1 ? 0 时,即 a ? ?1 时,在 (0,1 ? a) 上 h?( x) ? 0 ,在 (1 ? a, ??) 上 h?( x) ? 0 ,

所以 h( x) 在 (0,1 ? a) 上单调递减,在 (1 ? a, ??) 上单调递增. ②当 1 ? a ? 0 ,即 a ? ?1 时,在 (0, ??) 上 h?( x) ? 0 , 所以,函数 h( x) 在 (0, ??) 上单调递增. (3)在 ?1,e? 上存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,即 在 ?1,e? 上存在一点 x0 ,使得 h( x0 ) ? 0 ,即 函数 h( x) ? x ? 由(2)可知 ①即 1 ? a ? e ,即 a ? e ? 1 时, h( x) 在 ?1,e? 上单调递减, 所以 h( x) 的最小值为 h(e) ,由 h(e) ? e ? 因为

1? a ? a ln x 在 ?1,e? 上的最小值小于零. x

e2 ? 1 1? a , ? a ? 0 可得 a ? e e ?1

e2 ? 1 e2 ? 1 . ? e ? 1 ,所以 a ? e ?1 e ?1

②当 1 ? a ? 1 ,即 a ? 0 时, h( x) 在 ?1, e? 上单调递增, 所以 h( x) 最小值为 h(1) ,由 h(1) ? 1 ? 1 ? a ? 0 可得 a ? ?2 . ③当 1 ? 1 ? a ? e ,即 0 ? a ? e ? 1 时, 可得 h( x) 最小值为 h(1 ? a) , 因为 0 ? ln(1 ? a) ? 1 ,所以, 0 ? a ln(1 ? a) ? a , h(1 ? a) ? 2 ? a ? a ln(1 ? a) ? 2 此时, h(1 ? a) ? 0 不成立. 综上讨论可得所求 a 的范围是: a ?

e2 ? 1 或 a ? ?2 . e ?1

四、 【解法小结】
1.导数法是求解函数单调性、极值、最值、参数等问题的有效方法,应用导数求单调区间关键是求解不等 式的解集 2.最值问题关键在于比较极值与端点函数值的大小 3.参数问题涉及的有最值恒成立的问题、单调性的逆向应用等,求解时注意分类讨论思想的应用. 【设计意图】 通过师生共同反思, 优化学生的认知结构, 并让学生按这一模式进行小结, 培养学生学习—— 总结——学习——反思的良好习惯.

五、 【布置作业】
必做题: 1.若曲线 y ? x4 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则 l 的方程为( )

A . 4x ? y ? 3 ? 0 C . 4x ? y ? 3 ? 0

B . x ? 4y ? 5 ? 0 D . x ? 4y ? 3 ? 0

2.已知直线 y ? kx 与曲线 y ? ln x 有公共点,则 k 的最大值为





A .e
3.若 f ( x) ? ?

B . ?e

C.

1 e

D. ?

1 e
( )

1 2 x ? b ln( x ? 2)在(-1,+?)上是减函数,则 b 的取值范围是 2
B . (?1, ??)

A . [?1, ??)

C . (??, ?1]

D. (??, ?1) )

4.设函数 f ( x ) 在定义域内可导, y ? f ( x) 的图象如图所示,则导函数 y ? f ?( x) 可能为( y y x y x y x y O O C O D x y=f(x) x

O A

O B

5. 若函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? 2 x ? 5 在区间 ( , ) 上既不是单调递增函数,也不是单调递减函数,则实数 a 的取值范围是___________.

1 1 3 2

a ln x .(1)讨论 f ( x ) 的单调性(2)求 f ( x ) 在区间 [a, 2a] 上的最小值. x 5 5 3. C 4. D 5. ( , ) 必做题答案:1. A 2. C 4 2 1 ? ln x 1? n l x (a ? 0) , x) ? a. 0 ? , 6. (1)函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) ,f ?( x) ? a. 由 f ?( 得0 ? x ? e 2 x x2 由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? e .故 f ( x ) 在 (0, e) 上单调递增,在 (e, ??) 上单调递减. (2)∵ f ( x ) 在 (0, e) 上单调递增,在 (e, ??) 上单调递减,
6.设 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ∴ f ( x ) 在 [a, 2a] 上的最小值 [ f ( x)]min = min ? f (a), f (2a)? . ∵ f (a ) ? f (2a ) ? 选做题: 1.已知 f (3) ? 2, f ' (3) ? ?2 ,则 lim
x ?3

1 a ln(2 a ) ln ,∴当 0 ? a ? 2 时, [ f ( x)]min = ln a 当 a ? 2 时, [ f ( x)]min = . 2 2 2 2 x ? 3 f ( x) 的值为( x?3
C. 8
'

) .

A. ? 4

B. 0

D.不存在

2.设函数 f ( x ) 在上 R 可导,其导函数为 f (x) ,且函数 y =(1 ? x) ? f ' (x) 的图像如图所示,则下列结论中 一定成立的是 ( ) y

A.函数 f ( x ) 有极大值 f (2) 和极小值 f (1) B.函数 f ( x ) 有极大值 f (?2) 和极小值 f (1) C.函数 f ( x ) 有极大值 f (2) 和极小值 f (?2) D.函数 f ( x ) 有极大值 f (?2) 和极小值 f (2) -2

o

1

2

x

' 3. f ( x ) 是定义在 (0,+? ) 上的非负可导函数,且满足 xf ( x) ? f ( x) ? 0. 对任意正数 a , b ,若 a ? b 则必有





A. a ? f (b) ? f (b) C. a ? f (b) ? b ? f (a) 4. 设函数 f ( x) ? ln(2 x ? 3) ? x2 , (Ⅰ)讨论 f ( x ) 的单调性;

B. b ? f (b) ? f (a) D. b ? f (a) ? a ? f (b)

(Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 ? ? , ? 的最大值和最小值. 4 4 5.已知 x ? 3是函数f ( x) ? a ln( 1 ? x) ? x 2 ? 10x 的一个极值点. (I)求 a 的值; (II)求函数 f ( x) 的单调区间; (III)当直线 y ? b与函数y ? f ( x) 的图象有 3 个交点,求 b 的取值范围. 选做题答案: 1. C 2. D 3. C

? 3 1? ? ?

4.解: f ( x ) 的定义域为 ? ? , ? ∞? .

? 3 ? 2

? ?

(Ⅰ) f ?( x) ? 当?

2 4 x 2 ? 6 x ? 2 2(2 x ? 1)( x ? 1) ? 2x ? ? . 2x ? 3 2x ? 3 2x ? 3

3 1 1 ? x ? ?1 时, f ?( x) ? 0 ;当 ?1 ? x ? ? 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? ? 时, f ?( x) ? 0 . 2 2 2

从而, f ( x ) 分别在区间 ? ? , ? 1? , ? ? , ? ∞? 单调增加,在区间 ? ?1 , ?

? 3 ? 2

? ?

? 1 ? 2

? ?

? ?

1? ? 单调减少. 2?

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x ) 在区间 ? ? , ? 的最小值为 f ? ? ? ? ln 2 ? . 4 4 2 4 又 f ? ? ? ? f ? ? ? ln

? 3 1? ? ?

? 1? ? ?

1

? 3? ? 4?

?1? ?4?

3 9 7 1 3 1 1? 49 ? ? ? ln ? ? ln ? ? ?1 ? ln ? ? 0 . 2 16 2 16 7 2 2? 6 ? ?1? 1 7

所以 f ( x ) 在区间 ? ? , ? 的最大值为 f ? ? ? ? ln . 2 ? 4 4? ? 4 ? 16 5.解:(Ⅰ) f ?( x ) ?

? 3 1?

a ? 2 x ? 10 ,∵ x ? 3 是函数 f ( x) 的一个极值点, 1? x a ∴ f ?(3) ? 0 ,即 ? 6 ? 10 ? 0 ,因此 a ? 16 4
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ? x ? ? 16ln ?1 ? x ? ? x ?10x ,定义域为 (?1,??)
2

f ?( x) ?

2( x 2 ? 4 x ? 3) 2( x ? 1)(x ? 3) ? ,∵ x ? ?1 ,∴ x ? 1 ? 0 恒成立, 1? x x ?1

∴当 ? 1 ? x ? 1 或 x ? 3 时, f ?( x) ? 0 ,当 1 ? x ? 3 时, f ?( x) ? 0 , 从而 f ( x) 在 (?1,1) , (3,??) 上为增函数,在 (1,3) 上为减函数. ∴ f ( x) 的单调增区间为 (?1,1) , (3,??) ,单调减区间为 (1,3) (Ⅲ)由(Ⅱ)知, f ? x ? 在 ? ?1,1? 内单调递增,在 ?1,3? 内单调递减,在 ? 3, ?? ? 上单调递增, 所 以 f ? x ? 的极大值为 f ?1? ? 16ln 2 ? 9 ,极小值为 f ?3? ? 32ln 2 ? 21 下面画出原函数的草图:
y

16 ln 2 ? 9

y=b

32 ln 2 ? 21
?1 O
1 3 x

由图可知:在 f ? x ? 的三个单调区间 ? ?1,1? , ?1,3? , ?3, ??? 内,直线 y ? b 与 y ? f ? x ? 的图象各有一 个交点,当且仅当 f ? 3? ? b ? f ?1? , 因此, b 的取值范围为 ? 32ln 2 ? 21,16ln 2 ? 9? 【设计意图】体现了分层、有梯度的教学,学生动手练习,加强学生的应用意识,选做题可以让有余力的 学生开拓思路,提升综合能力.

六、 【教后反思】
这部分内容是章末复习总结,知识点比较多,除了要复习巩固之前的基本问题,还要有所拓展提高.建议 大家在使用时提前做好导学案,知识点方面可以更丰富细致一些,题目上也可以根据学情把握,变式题大 家可以选用.因为所选题难度综合性等都有所提高,所以分为两部分,利用两节课来完成,这部分主要针 对导数的基本问题,下部分针对导数的应用及微积分部分.

七、 【板书设计】
复习课:导数及其应用 一、知识梳理 二、范例导航 题型一:导数的几何意义及其应用 题型二: 利用导数判断函数的单调性 必做题: 题型三: 利用导数研究函数的极值和最值 变式训练 1: 1.知识: 三、解法小结 四、布置作业 选做题:


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