【解析】上海市杨浦区2013届高三上学期学业质量调研数学文试题


杨浦区 2012 学年第一学期高三年级学业质量调研

数学试卷(文)
2.本试卷共有 23 道题,满分 150 分,考试时间 120 分钟.

2013.1.

考生注意: 1.答卷前,考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上.

一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直 接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分.
x 1. 若函数 f ? x ? ? 3 的反函数为 f

?1

? x ? ,则

f

?1

?1 ? ?



【答案】0 【解析】由 3 ? 1 得, x ? 0 ,即 f
x

?1

(1) ? 0 。
z ?

2.若复数 z ? 【答案】 2

1? i i

( i 为虚数单位) ,则

.

【解析】因为 z ? 3.抛物线 y 【答案】2
2

1? i i

?

1 i

? 1 ? ? 1 ? i ,则 z ?

2。

? 4 x 的焦点到准线的距离为

.

【解析】由抛物线的方程可知 2 p ? 4 ,所以 p ? 2 ,即抛物线的焦点到准线的距离为 2.
?1 2 1 3? ? ,则该线性方程组的解是 ? 2?

4. 若线性方程组的增广矩阵为 ? ? ?1 【答案】 ?
?x ? 1 ?y ?1



【解析】由题意可知对应的线性方程组为 ?
?x ? 1 ?y ?1

?x ? 2y ? 3 ?x ? y ? 2

,解得 ?

?x ? 1 ?y ?1

。所以该线性方程组的

解是 ?



5.若直线 l : y ? 2 x ? 1 ? 0 ,则该直线 l 的倾斜角是 【答案】 arc tan 2

.

【 解 析 】 由 y ? 2 x ? 1 ? 0 得 y ? 2 x ? 1 , 所 以 直 线 的 斜 率 为 k ? tan ? ? 2 , 所 以
? ? a r ct a n 2 ,即直线的倾斜角为 a rc tan 2 。

6. 若 ( x ? a ) 的二项展开式中, x 的系数为 7 ,则实数 a ?
7

5



【答案】 ?

3 3

【 解 析 】 二 项 展 开 式 的 通 项 公 式 为 T k ? 1 ? C 7k x 7 ? k a k , 由 7 ? k ? 5 得 k ? 2 , 所 以
1 3

T 3 ? C 7 x a ,即 x 的系数为 C 7 a ? 2 1 a ? 7 ,所以 a ?
2 5 2

5

2

2

2

2

,所以 a ? ?

3 3



7. 若圆椎的母线 l ? 10 cm ,母线与旋转轴的夹角 ? ? 30 ,则该圆椎的侧面积为
0

cm

2

.

【答案】 5 0 ?
0 【解析】因为线与旋转轴的夹角 ? ? 30 ,设底面圆的半径为 r ,则 r ? 10 sin 30
0

? 5 。所

以底面圆的周长 c ? 2 ? r ? 1 0 ? ,所以该圆锥的侧面积

1 2

lc ?
2

1 2

? 1 0 ? 1 0? ? 5 0? 。

8. 设数列 { a n } ( n ? N * )是等差数列.若 a 2 和 a 2012 是方程 4 x ? 8 x ? 3 ? 0 的两根,则数列
{ a n } 的前 2013

项的和 S 2013 ? ______________.

【答案】 2 0 1 3 【 解 析 】 由 题 意 知 a 2 ? a 2 0 1 2 ? 2 , 又 a 2 ? a 2 0 1 2 ? a 1? a
S 2013 ? 2 0 1 3( a 1 ? a 2 0 1 ) 3 2
2 2
2013

, 所 以 a1 ? a 2 0 1 3? 2 , 所 以

? 2013 。

9. 若直线 l 过点 ?1 , ? 1 ? ,且与圆 x ? y ? 1 相切,则直线 l 的方程为 【答案】 x ? 1 或 y ? ? 1



【解析】圆心为 O (0, 0 ) ,半径 r ? 1 ,当直线 l 的斜率不存在时,即 l : x ? 1 ,此时 l 与圆相切, 满足条件。若直线 l 的斜率存在时, 设直线斜率为 k ,则直线 l 的方程为 y ? ( ? 1) ? k ( x ? 1) ,
1? k 1? k
2

即 ky ? y ? 1 ? k ? 0 。若 l 与圆相切,则圆心到直线的距离

? 1 ,解得 k ? 0 ,此时

直线方程为 y ? ? 1 ,所以直线 l 的方程为 x ? 1 或 y ? ? 1 。 10.将一颗质地均匀的骰子连续投掷两次,朝上的点数依次为 b 和 c , 则 b ? 2 且 c ? 3 的概 率是____ ___ .

2

【答案】 9 【解析】一颗质地均匀的骰子连续投掷两次有 36 种结果。若 b ? 2 且 c ? 3 ,则有,
(1, 3), (1, 4 ), (1, 5), (1, 6 ), ( 2, 3), ( 2, 4 ), ( 2, 5 ), ( 2, 6 ) 共 8 种 , 所 以 b ? 2 且 c ? 3 的 概 率 是

8 36

?

2 9


x

11.若函数 f ( x ) ? log a ( 3 ? 2 ) ? 1 ( a ? 0 , a ? 1 )的图像过定点 P ,点 Q 在曲线
x
2

? y ? 2 ? 0 上运动,则线段 PQ 中点 M 轨迹方程是
2



【答案】 y ? 2 x ? 2 x 【解析】由 3 x ? 2 ? 1 ,得 3 x ? 3 ,解得 x ? 1 ,此时 y ? 1 ,所以函数 f ( x ) 过定点 P (1,1) .
2 设 M ( x , y ) , 则 Q ( 2 x ? 1, 2 y ? 1) , 因 为 Q 在 曲 线 x ? y ? 2 ? 0 上 运 动 , , 所 以

( 2 x ? 1) ? ( 2 y ? 1) ? 2 ? 0 ,整理得 y ? 2 x ? 2 x ,即 M 的轨迹方程是 y ? 2 x ? 2 x 。
2 2 2

12.如图,已知边长为 8 米的正方形钢板有一个角锈蚀, 其中 A E ? 4 米, C D ? 6 米. 为 了合理利用这块钢板,将在五边形 A B C D E 内截取一个矩形块 B N P M ,使点 P 在边
A M E P F D

DE

上. 则矩形 BNPM

面积的最大值为____

平方米 .

B

N

C

【答案】48 【解析】 M P ? x , P N ? y ,作 P Q ? A F 于 Q ,所以 P Q ? 8 ? y , E Q ? x ? 4 ,在 ? E D F 中, 设
EQ PQ EF FD
x?4 8? y 4 2
1 2 x) ? ? 1 2 1 2 (8 ? 1 0 ) ? 5 0 ? 4 8 平方
2

?

,所以

?

,即 y ? ?

1 2

x ? 1 0 , 4 ? x ? 8 。设矩形 BNPM

面积所以 S ( x ) ,

则 S ( x ) ? x y ? x (1 0 ?

( x ? 10) ? 50 , 因 为 4 ? x ? 8 , 所 以 函 数 S ( x) 在
2

4 ? x ? 8 上单调递增,所以当 x ? 8 时, S ( x ) 有最大值 S (8 ) ? ?

米。 13.设 ? ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边长分别为 a 、 b 、 c ,且 a cos B ? b cos A ? 则 tan A cot B 的值是___________.
3 5 c ,

【答案】4 【解析】由 a cos B ? b cos A ?
? 3 5 sin A co s B ? 3 5 co s A sin B , 即 2 5 3 5 s in A c o s B ? 8 5 c 得 sin A co s B ? sin B co s A ? 3 5 c o s A s in B , 所 以 sin C ? 3 5 sin ( A ? B )

s i nA c o B s c o sA s i n B

? 4 ,即

t an A cot B ? 4 。

14.已知函数 f ? x ? ? ?

? log ?? x

2 2

? x ? 1? ,

x ? 0,

? 2x , x ? 0 .

若函数 g ? x ? ? f ? x ? ? m 有 3 个零点,

则实数 m 的取值范围是___________. 【答案】 0 ? m ? 1 【解析】画出函数 f ( x ) 的图像如右, g ? x ? ? f ? x ? ? m 有 3 个零点, 即是直线 y ? m 与函数 f ( x ) 的图像有三个交点,由图可知: 0 ? m ? 1

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答题纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. “ a ? 3 ”是“函数 f ( x ) ? x ? 2 ax ? 2 在区间 ?3 , ?? ? 内单调递增”的………(
2



( A ) 充分非必要条件. (C ) 充要条件.

( B ) 必要非充分条件. ( D ) 既非充分又非必要条件.

【答案】A 【解析】若函数 f ( x ) ? x ? 2 ax ? 2 在区间 ?3 , ?? ? 内单调递增,则有 ?
2 2

?2a 2

? a ? 3 ,所以

“ a ? 3 ”是“函数 f ( x ) ? x ? 2 ax ? 2 在区间 ?3 , ?? ? 内单调递增”的充分非必要条件,所以选 A. 16.若无穷等比数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ,首项为 1 ,公比为 a ? ( n ? N * ),则复数 z ?
1 a ?i 3 2

,且 lim S n ? a ,
n? ?

在复平面上对应的点位于

………(



( A ) 第一象限.

( B ) 第二象限.

(C ) 第三象限.

( D ) 第四象限.

【答案】D

【解析】因为 lim S n ?
n? ?

a1 1? q

?

1 1 ? (a ? 3 2 )

? a ,且 0 ? a ?

3 2

? 1 ,即

3 2

? a ?

5 2

。所以解得

1 1 1 2 1 2 1 a ? 2 或 a ? (舍去)所以 a ? 2 。 。 所以 z ? 即对应坐标为 ( , ? ) , ? ? ? i, 2 a?i 2?i 5 5 5 5

所以点在第四象限,所以选 D. 17.若 F1 、 F 2 为双曲线 C :
x
2

? y

2

? 1 的左、右焦点,点 P 在双曲线 C 上,

4

∠ F1 PF 2 = 60 ? ,则 P 到 x 轴的距离为
5 5 15 5 2 15 5

………(
15 20



( A)



(B)



(C )



(D )



【答案】B 【解析】设|PF1|=r1,|PF2|=r2,则 S ? F PF ?
1 2

1 2
2

r1 r2 sin 60 ? ?

3 4

r1 r2 ,又
2

4 c ? r1 ? r2 ? 2 r1 r2 cos 60 ? ? ( r1 ? r2 ) ? 2 r1 r2 ? r1 r2 ? 4 a ? r1 r2
2 2 2

? r1 r2 ? 4 c ? 4 a ? 4 b ? 4 ,
2 2 2

∴ S ?F PF ?
1 2

3 ?

1 2

? 2 c ? | y P |?

5 | y P | ? | y P |?

15 5

.

18. 已知数 列 ? a n ? 是各项均为正 数且公比不 等于 1 的等比 数列( n ? N * ) . 对于函数
y ? f ( x ) ,若数列 ? ln f ( a n )? 为等差数列,则称函数 f ( x ) 为“保比差数列函数”. 现有

定义在 (0, ? ? ) 上的如下函数:① f ( x ) ? ④ f (x) ?
( A)

1 x



② f (x) ? x ,
2

③ f (x) ? e ,
x

x ,则为“保比差数列函数”的所有序号为

………(
( D ) ②③④ .



①②.

(B)

③④.

(C )

①②④.

【答案】C 【解析】对于①,lnf(an)= ln a1 =-lnan=-ln(a1q )=-lna1-(n-1)lnq 为等差数列,故①是,
n

n-1

(B)、(D)均错;对于④,lnf(an)= ln 故④是,(A)错,故选(C).

an

= 1 ln(a1q )= 1 lna1+ 1 (n-1)lnq 为等差数列, 2 2 2

n-1

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规

定区域内写出必要的步骤 . 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分 .
? 如图, 在三棱锥 P ? ABC 中, ? 平面 ABC ,AC ? AB ,AP ? BC ? 4 , ABC ? 30 ? , PA P D 、 E 分别是 BC 、AP 的中点,

(1)求三棱锥 P ? ABC 的体积; (2)若异面直线 AB 与 ED 所成角的大小为 ? ,求 tan ? 的值. E

A B

C

D

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分 . (文) 已知函数 f ( x ) ? c o s ( x ?
7 2
π 4 ),

(1)若 f (? ) ?

,求 sin 2? 的值;
?? ? π π? ? ,求 g ( x ) 在区间 ? ? , ? 上的最大值和最小值. 2? ? 6 3?

10

(2)设 g ( x ) ? f ? x ? ? f ? x ?
?

?

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 .

已知椭圆 C :

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 的两个焦点分别是 F1 ? ? 1 , 0 ? 、 F 2 ?1 , 0 ? ,且焦距是椭

圆 C 上一点 P 到两焦点 F1 、 F 2 距离的等差中项. (1)求椭圆 C 的方程;
N (2)设经过点 F 2 的直线交椭圆 C 于 M 、 两点,线段 M N 的垂直平分线交 y 轴于点

Q ( 0 , y 0 ) ,求 y 0 的取值范围.

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分.
1 x ? 2 1 ( x ? 0 ) 的值域为集合 A ,

已知函数 f ( x ) ?

x

(1)若全集 U ? R ,求 C U A ; (2)对任意 x ? ? 0 ,
? ? 1? ,不等式 f ? x ? ? a ? 0 恒成立,求实数 a 的范围; 2? ?

(3)设 P 是函数 f ? x ? 的图像上任意一点,过点 P 分别向直线 y ? x 和 y 轴作垂线,垂足 分别为 A 、 B ,求 PA ? PB 的值.

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 设数列 ? x n ? 满足 x n ? 0 且 x n ? 1 ( n ? N * ),前 n 项和为 S n .已知点 P1 ( x 1 , S 1 ) ,
P2 ( x 2 , S 2 ) , ? ? ? , Pn ? x n , S n ? 都在直线 y ? kx ? b 上(其中常数 b 、 且 k ? 0 , k ? 1 , k
b ? 0 ),又 y n ? log
1 2

xn .

(1)求证:数列 ? x n ? 是等比数列; (2)若 y n ? 18 ? 3 n ,求实数 k , b 的值; (3)如果存在 t 、 s ? N * , s ? t 使得点 ?t , y s ? 和点 ? s , y t ? 都在直线 y ? 2 x ? 1 上.问 n 是否存在正整数 M ,当 n ? M 时, x n ? 1 恒成立?若存在,求出 M 的最小值,若不 存在,请说明理由.

杨浦区 2012 学年度第一学期高三年级学业质量调研 2013.1.5

一.填空题:

1. 0;2.

?x ? 1 3 ? ? y ?1 2 ;3.2;4. ? 3 ;7. 50 ? (向量表示也可) ;5. arctan 2 ;6.
2

8. 2013;9.

x ?1



y ?1

; 10. 9 ;11. y ? 2 x ? 2 x
2

12. 48;13. ? 1 ;14. ( 0 , 1) 二、选择题: 15. ( A ) ;16. ( D ) ;17. ( B ) ;18. (C ) . 三、解答题 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分 . (1)由已知得, AC ? 2 , AB ? 2 3 ,
V P ? ? ABC ? 1 3 S ? ABC PA ? 8 3 3

………2 分

所以 ,体积

………5 分

(2)取 AC 中点 F ,连接 DF , EF ,则 AB // DF , 所以 ? EDF 就是异面直线 AB 与 ED 所成的角 ? . 由已知, AC ? EA ? AD ? 2 , AB ? 2 3 , PC ? 2 5 ,
? AB ? EF , ? DF ? EF

………7 分

.
5

………10 分 ,

在 Rt ? EFD 中, DF ?
tan ? ? 15 3

3 , EF ?

所以,

.

………12 分

(其他解法,可参照给分) 20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分 .
f (? ) ? c o s (? ? π 4 7 2 )? 7 2

解: (1)因为
2 (c o s ? ? s in ? ) ?

10 ,
c o s ? ? s in ? ? 7 5 .
49



2

1 0 , 所以

………3 分

平方得, sin ? ? 2 sin ? co s ? ? co s ? = 2 5 ,
2 2

………5 分

sin 2 ? ?

24 25 .

所以

………7 分

g (x) ? f

?x??

(2)因为
2

π? ? π π f ? x ? ? cos( x ? ) ? cos( x ? ) 2? ? 4 4 = 2 2 (c o s x ? s in x )

(c o s x ? s in x ) ?

= 2
1 (c o s x ? s in x )
2 2

………9 分

=2
1 cos 2 x

=2

.
? π 2π ? , ? 3 3 ? ? ? ?.
1

………11 分

? π π? x? ? , 2x ? ? 6 3? ? ? 时, 当

………12 分

所以,当 x ? 0 时, g ( x ) 的最大值为 2 ;
x ? π 3 时, g ( x ) 的最小值为 ? 1 4 .

………13 分



………14 分

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 . (1)解:设椭圆 C 的半焦距是 c .依题意,得 c ? 1 . 由题意得
2 2

………1 分

4c ? 2a , a ? 2
2

b ? a ? c ? 3.

………4 分
x
2

?

y

2

?1

故椭圆 C 的方程为 4

3

.

………6 分 ………7 分

y ? 0 (2)解:当 M N ? x 轴时,显然 0 .

当 M N 与 x 轴不垂直时,可设直线 M N 的方程为 y ? k ( x ? 1) ( k ? 0 ) .
? y ? k ( x ? 1), ? 2 2 ?3 x ? 4 y ? 12,



消去 y 整理得 ( 3 ? 4 k ) x ? 8 k x ? 4 ( k ? 3 ) ? 0 .
2 2 2 2

………9 分 设
M ( x1 , y 1 ), N ( x 2 , y 2 )
8k
2 2

,线段 M N 的中点为

Q ( x3 , y3 )





x1 ? x 2 ?

3 ? 4k

.

………10 分

所以

x3 ?

x1 ? x 2 2

?

4k

2 2

3 ? 4k



y 3 ? k ( x 3 ? 1) ?

?3k 3 ? 4k
2

.
4k
2 2

y ?

3k 3 ? 4k
2

? ?

1 k

(x ?

线段 M N 的垂直平分线方程为
y0 ?

3 ? 4k

)

.

k 3 ? 4k
2

?

1 3 k
3

在上述方程中令 x ? 0 ,得
3 ? 4k ? ?4 3

? 4k

.
? 4k ? 4 3

………12 分

当 k ? 0 时, k
? 3 12

;当 k ? 0 时, k
3 12 .

.

所以 分

? y0 ? 0

,或

0 ? y0 ?

………13

综上,

y0

[?

3 12

,

的取值范围是

] 12 .

3

………14 分

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分.
? x ? 0

f (x) ? x ?

2 x

? 2

2

(1)由已知得,
x ?

,则

………1 分

2 x 时,即 x ?

当且仅当
?

2 等号成立,

M ? 2 2 , ??

?

?
2

………3 分

所以,

CU M ? ? ? , 2

?

?

………4 分

2? ? a ? ?? x ? ? x? ? (2)由题得 2? 1? ? ? 9 y ? ?? x ? ? x ? ?0, ? ? x? 2? ? ? 函数 在 的最大值为 2
?a ? ? 9 2

………5 分

………9 分

………10



? ? 2 ? 2 ? ? ? ? ??x ? x0 ? P? x0 , x0 ? y ? ? x0 ? ? ? ? x0 ? x0 ? ? ? ? PA 的方程为 (3)设 ,则直线 ,
y ? ? x ? 2 x0 ? 2 x0





………11 分

?y ? x ? 2 ? y ? ? x ? 2 x0 ? ? x0 由?

A(x0 ?

1 x0

, x0 ?

1 x0

)



………13


? 2 ? ? B ? 0, x 0 ? ? x0 ? ?, 又 ?
PA ? ( 1 x0 ,? 1 x0 ) PA ? PB ? 1 x0 (? x0 ) ? ?1

………14 分

所以 分



PB ? ( ? x 0 , 0 )

,故

………16

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. (1)因为点
Pn , Pn ? 1

都在直线 y ? kx ? b 上,

S n ?1 ? S n

所以

x n ?1 ? x n
1 1? k

? k

,得
? 0

( k ? 1) x n ?1 ? kx n



………2 分

其中

x1 ?


x n ?1 ? k k ?1

………3 分

x 因为常数 k ? 0 ,且 k ? 1 ,所以 n

为非零常数. ………4 分

所以数列

?x n ? 是等比数列.
1 2

y n ? log

xn

xn

(2)由
k ? 8

,得
k ? 8 7 .

?1? ? ? ? ?2?

yn

? 8

n?6



………7 分

所以 k ? 1 由
Pn

,得

………8 分 ,
8
?5

在直线上,得
b ? S1 ?

S n ? kx n ? b
1 7

………9 分

8 7

令n ? 1得

x1 ? ?

x1 ? ?

7 .

………10 分

y n ? log

1 2

xn

(3)由



xn ? 1

恒成立等价于

yn ? 0



* ?t , y s ? 和点 ? s , y t ? 都在直线 y ? 2 x ? 1 上. n 因为存在 t 、 s ? N , s ? t 使得点

由 分

y s ? 2t ? 1



yt ? 2s ? 1

做差得:

y s ? y t ? 2 (t ? s )



………12

易证

? y n ? 是等差数列,设其公差为 d ,则有 y s

? y t ? (s ? t )d

,因为 s ? t ,

y ? y t ? 2 (t ? s ) ? 2 所以 d ? ? 2 ? 0 ,又由 s ,



y s ? y t ? y 1 ? ( s ? 1)( ? 2 ) ? y 1 ? ( t ? 1)( ? 2 ) ? 2 y 1 ? 2 ( s ? t ) ? 4

得 2 y1 ? 2 ( s ? t ) ? 4 ? 2 (t ? s ) ? 2 得 y1 ? 2 ( s ? t ) ? 1 ? 0 即:数列是首项为正,公差为负的等差数列,所以一定存在一个最小自然数 M , ………16 分
?yM ? 0 ? y ? 0 使, ? M ? 1 ,
?

? 2 ( s ? t ) ? 1 ? ( M ? 1 )( ? 2 ) ? 0 1 1 ? s?t? ? M ? s?t? 2(s ? t) ? 1 ? M (?2) ? 0 2 2 即? 解得

因为 M ? N ,所以 M ? s ? t , 即存在自然数 M ,其最小值为 s ? t ,使得当 n ? M (其它解法可参考给分) 时,
xn ? 1

恒成立. ………18 分


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