高中数学知识点总结之平面向量与空间解析几何(经典必看)


56. 你对向量的有关概念清楚吗? (1)向量——既有大小又有方向的量。

( 2 )向量的模——有向线段的长度,| a |

?

(3)单位向量| a 0 | ? 1, a 0 ?
(4 )零向量 0 ,| 0| ? 0
? ?

?

?

?

a
?

| a|

?长度相等 ? ? (5)相等的向量 ? ? a?b 方向相同 ?

在此规定下向量可以在平面(或空间)平行移动而不改变。 (6)并线向量(平行向量)——方向相同或相反的向量。 规定零向量与任意向量平行。
?

b ∥ a ( b ? 0 ) ? 存在唯一实数?,使 b ? ? a

?

?

?

?

?

(7)向量的加、减法如图:

? ? ? OA ? OB ? OC ? ? ? OA ? OB ? BA

(8)平面向量基本定理(向量的分解定理)
?

e 1 , e 2 是平面内的两个不共线向量, a 为该平面任一向量,则存在唯一
1

?

?

实数对? 1 、? 2 ,使得 a ? ? 1 e 1 ? ? 2 e 2 , e 1 、 e 2 叫做表示这一平面内所有向量

?

?

?

?

?

的一组基底。 (9)向量的坐标表示

?

i , j 是一对互相垂直的单位向量,则有且只有一对实数x,y,使得
? ? ?

?

?

a ? x i ? y j ,称( x,y) 为向量 a 的坐标,记作: a ? ?x,y?,即为向量的坐标

?

表示。
设 a ? ?x1 ,y1 ?, b ? ?x 2 ,y 2 ? 则 a ? b ? ?x1 ,y1 ? ? ?y1 ,y 2 ? ? ?x1 ? y1 ,x 2 ? y 2 ? ? a ? ??x1 ,y1 ? ? ??x1 ,?y1 ?
? ? ? ? ?

若A?x1,y1 ?,B?x 2 ,y 2 ?
? 则 AB ? ?x 2 ? x1 ,y 2 ? y1 ? ? | AB| ?

?x 2 ? x1 ?2 ? ?y 2 ? y1 ?2 ,A、B两点间距离公式
? ? ? ? ? ?

57. 平面向量的数量积
(1) a · b ?| a | ·| b|cos?叫做向量 a 与 b 的数量积(或内积)。

?为向量 a 与 b 的夹角,? ??0,??
? b ?
B

?

?

O

? a
D
2

A

数量积的几何意义:
?

a · b 等于| a | 与 b 在 a 的方向上的射影| b|cos?的乘积。

?

?

?

?

(2)数量积的运算法则
①a ·b ? b·a
? ? ? ? ? ? ? ?

②( a ? b ) c ? a · c ? b · c
? ?

?

?

?

③ a · b ? ?x1 ,y1 ?·?x 2 ,y 2 ? ? x1 x 2 ? y1 y 2
注意:数量积不满足结合律 ( a · b ) · c ? a · ( b · c )
? ? ? ? ? ?

(3)重要性质:设 a ? ? x1 ,y1 ?, b ? ?x 2 ,y 2 ?
① a ⊥ b ? a · b ? 0 ? x 1 ·x 2 ? y1 ·y 2 ? 0 ② a ∥ b ? a · b ?| a | ·| b| 或 a · b ? ?| a | ·| b| ? a ? ? b ( b ? 0,?惟一确定)
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

?

?

? x1 y 2 ? x 2 y1 ? 0
2 2 ③ a ?| a |2 ? x1 ? y1 ,| a · b| ?| a | ·| b| ?2 ? ? ? ? ?

?

④ cos ? ?

a·b

? ?

| a | ·| b|

?

?

x1 x 2 ? y1 y 2
2 x ? y1 · x 2 ? y 2 2 2 2 1

[练习]
? ? ? ? ? ? (1)已知正方形ABCD,边长为1, AB ? a , BC ? b , AC ? c ,则

| a ? b ? c| ?

?

?

?

答案: 2 2

(2)若向量 a ? ?x,1?, b ? ?4,x?,当x ?

?

?

时 a 与 b 共线且方向相同

?

?

答案:2

3

(3)已知 a 、 b 均为单位向量,它们的夹角为60o ,那么| a ? 3 b| ?

?

?

?

?

答案: 13 58. 线段的定比分点

设P1 ?x1,y1 ?,P2 ?x2 ,y2 ?,分点P?x,y?,设P1、P2 是直线 l 上两点,P点在
? ? l 上且不同于P1 、P2 ,若存在一实数 ?,使 P1 P ? ? PP2 ,则 ? 叫做P分有向线段 ? P1 P2 所成的比(? ? 0,P在线段P1 P2 内,? ? 0,P在P1 P2 外),且

x 1 ? ?x 2 x1 ? x 2 ? ? ?x ? 1 ? ? ?x ? ? ? 2 ,P为P1 P2 中点时, ? ? ?y ? y 1 ? ?y 2 ?y ? y 1 ? y 2 ? ? 1? ? 2 ? ?

如:?ABC,A?x1,y1 ?,B?x2 ,y2 ?,C?x3 ,y3 ?
y ? y2 ? y3 ? ? x ? x2 ? x3 则?ABC重心G的坐标是? 1 , 1 ? ? ? 3 3

※. 你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗? 59. 立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗? 平行垂直的证明主要利用线面关系的转化:
线∥线 ? ? 线∥面 ? ? 面∥面 ? ? 判定 性质 ? ??? 线⊥线 ? ? 线⊥面 ? ? 面⊥面 ???? ? ? 线∥线 ? ? 线⊥面 ? ? 面∥面 ? ?

线面平行的判定:
a∥b,b ? 面?,a ? ? ? a∥面?

a b

??

4

线面平行的性质:
?∥面?,? ? 面?,? ? ? ? b ? a∥b

三垂线定理(及逆定理):
PA⊥面?,AO为PO在?内射影,a ? 面?,则 a⊥OA ? a⊥PO;a⊥PO ? a⊥AO
P

??
O a

线面垂直:
a⊥b,a⊥c,b,c ? ?,b ? c ? O ? a⊥?
a

α

b

O c

面面垂直:
a⊥面?,a ? 面? ? ?⊥? 面?⊥面?,? ? ? ? l,a ? ?,a⊥l ? a⊥?

α

a

l
β

a⊥面?,b⊥面? ? a∥b

面?⊥a,面?⊥a ? ?∥?

5

a

b

??

60. 三类角的定义及求法 (1)异面直线所成的角θ ,0°<θ ≤90°

(2)直线与平面所成的角θ ,0°≤θ ≤90°
?=0o 时,b∥?或b ? ?

(3)二面角:二面角? ? l ? ?的平面角?,0o ? ? ? 180o

(三垂线定理法:A∈α 作或证 AB⊥β 于 B,作 BO⊥棱于 O, 连 AO,则 AO⊥棱 l,∴∠AOB 为所求。)
6

三类角的求法: ①找出或作出有关的角。 ②证明其符合定义,并指出所求作的角。 ③计算大小(解直角三角形,或用余弦定理)。 [练习] (1)如图,OA 为α 的斜线 OB 为其在α 内射影,OC 为α 内过 O 点任一直线。
证明: cos ? ? cos ?· cos?
A

α B β ????????????????????????C? D O θ

(?为线面成角,∠AOC = ?,∠BOC = ?)

(2)如图,正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中对角线 BD1=8,BD1 与侧面 B1BCC1 所成的为 30°。 ①求 BD1 和底面 ABCD 所成的角; ②求异面直线 BD1 和 AD 所成的角; ③求二面角 C1—BD1—B1 的大小。

7

D1 A1 B1

C1

H G D A B C

3 6 (① arcsin ;②60o ;③ arcsin ) 4 3

(3)如图 ABCD 为菱形,∠DAB=60°,PD⊥面 ABCD,且 PD=AD,求面 PAB 与面 PCD 所成的锐二面角的大小。
P F

D

C

A

E

B

(∵AB∥DC,P 为面 PAB 与面 PCD 的公共点,作 PF∥AB, 则 PF 为面 PCD 与面 PAB 的交线……) 61. 空间有几种距离?如何求距离? 点与点,点与线,点与面,线与线,线与面,面与面间距离。 将空间距离转化为两点的距离, 构造三角形, 解三角形求线段的 长(如:三垂线定理法,或者用等积转化法)。 如:正方形 ABCD—A1B1C1D1 中,棱长为 a,则: (1)点 C 到面 AB1C1 的距离为___________; (2)点 B 到面 ACB1 的距离为____________;
8

(3)直线 A1D1 到面 AB1C1 的距离为____________; (4)面 AB1C 与面 A1DC1 的距离为____________; (5)点 B 到直线 A1C1 的距离为_____________。
D A B C

D1 A1 B1

C1

62. 你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质? 正棱柱——底面为正多边形的直棱柱 正棱锥——底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面的中心。

正棱锥的计算集中在四个直角三角形中:
Rt?SOB,Rt?SOE,Rt?BOE和Rt?SBE

它们各包含哪些元素?
S 正棱锥侧 ? V锥 ? 1 C·h' (C——底面周长,h' 为斜高) 2

1 底面积×高 3

63. 球有哪些性质?
(1)球心和截面圆心的连线垂直于截面r ? R 2 ? d 2

(2)球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此,
9

要找球心角! (3)如图,θ 为纬度角,它是线面成角;α 为经度角,它是面 面成角。

( 4 )S 球 ? 4 ?R 2 ,V球 ?

4 ?R 3 3

(5)球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半 径 R 与内切球半径 r 之比为 R:r=3:1。

如:一正四面体的棱长均为 2,四个顶点都在同一球面上,则此球的表面

积为(
A. 3?


B. 4? C. 3 3? D. 6?

答案:A 64. 熟记下列公式了吗?
(1)l 直线的倾斜角? ??0,??,k ? tan ? ? y 2 ? y1 ? ? ? ? ? ? ,x1 ? x 2 ? ? x 2 ? x1 ? 2
?

P1 ?x1 ,y1 ?,P2 ?x 2 ,y 2 ?是l 上两点,直线l 的方向向量 a ? ?1,k?

(2)直线方程:
点斜式:y ? y 0 ? k?x ? x 0 ? (k存在)
斜截式:y ? kx ? b
截距式: x y ? ?1 a b

一般式:Ax ? By ? C ? 0 (A、B不同时为零)
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(3)点P?x 0 ,y 0 ?到直线l :Ax ? By ? C ? 0的距离 d ?
(4 )l1 到l2 的到角公式: tan ? ? k 2 ? k1 1 ? k 1k 2

Ax 0 ? By 0 ? C A 2 ? B2

l1 与l2 的夹角公式: tan ? ?

k 2 ? k1 1 ? k1k 2

65. 如何判断两直线平行、垂直?
A 1 B2 ? A 2 B1 ? ? ? l1 ∥l2 A 1 C 2 ? A 2 C1 ?
k 1 ? k 2 ? l1 ∥l 2 (反之不一定成立) A1A 2 ? B1 B2 ? 0 ? l1 ⊥l2

k 1·k 2 ? ?1 ? l1⊥l2

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