数学:2.3.2《离散型随机变量的均值与方差-方差》PPT课件(新人教A版选修2-3)


2.3.2《离散型随机变量的 均值与方差-方差》

离散型随机变量的方差
复习引入 问题提出

方差定义

方差的两 个性质 本课小结

思考三

离散型随机变量的方差
前面,我们认识了数学期望. 前面,我们认识了数学期望. 数学期望: 一般地, 数学期望: 一般地,若离散型随机变量 ξ 的概率分布 列为

ξ P

x1 p1

x2 … xk … xn p2 … pk … pn

则称 Eξ = x1 p1 + x2 p2 + … + xk pk + … + xn pn 为 ξ 的数 学期望,简称期望 期望. 学期望,简称期望.数学期望是离散型随机变量的一个特征 反映了离散型随机变量取值的平均水平, 数,它反映了离散型随机变量取值的平均水平,表示了随机 变量在随机实验中取值的平均值,所以又常称为随机变量的 变量在随机实验中取值的平均值, 平均数、均值. 平均数、均值.但有时两个随机变量只用这一个特征量是无 法区别他们的。还需要对随机变量取值的稳定与波动、 法区别他们的。还需要对随机变量取值的稳定与波动、集中 与离散的程度进行刻 与离散的程度进行刻画.

问题探究: 已知甲、乙两名射手在同一条件下射击, 已知甲、乙两名射手在同一条件下射击,所得环 的分布列如下: 数ξ1、ξ2的分布列如下:
9 10 ξ1 8 P 0.2 0.6 0.2 9 10 ξ2 8 P 0.4 0.2 0.4

试比较两名射手的射击水平. 如果其他对手的射击成 试比较两名射手的射击水平 绩都在8环左右,应派哪一名选手参赛? 绩都在 环左右,应派哪一名选手参赛? 如果其他对手 环左右 的射击成绩都在9环左右 应派哪一名选手参赛? 环左右, 的射击成绩都在 环左右,应派哪一名选手参赛? 下面的分析对吗? 下面的分析对吗? 分析对吗 显然两名选 ∵ Eξ1 = 8 × 0.2 + 9 × 0.6 + 10 × 0.2 = 9 手的水平是不同 Eξ 2 = 8 × 0.4 + 9 × 0.2 + 10 × 0.4 = 9 的,这里要进一步 这里要进一步 乙两射手的射击水平相同. ∴甲、乙两射手的射击水平相同. 去分析他们的成 绩的稳定性. 绩的稳定性 你赞成 为什么?) (你赞成 吗?为什么?)

对于一组数据的稳定性的描述, 对于一组数据的稳定性的描述,我们是用方差 描述 或标准差来刻画的 刻画的. 或标准差来刻画的.
一组数据的方差: 一组数据的方差: 在一组数: 在一组数:x1,x2 ,…,xn 中,各数据的平均数为 , , 则这组数据的方差为: 则这组数据的方差为: x

1 S = [( x1 ? x )2 + ( x2 ? x )2 + L + ( xn ? x )2 ] n
2

方差反映了这组 数据的波动情况 类似于这个概念,我们可以定义随机变量的方差.. 类似于这个概念,我们可以定义随机变量的方差..

方差定义

离散型随机变量取值的方差和标准差: 离散型随机变量取值的方差和标准差: 随机变量取值的方差和标准差 一般地,若离散型随机变量ξ的概率分布列为: 一般地,若离散型随机变量ξ的概率分布列为:

ξ

x1

x2

P

p1

p2

··· ···

xi

pi

··· ···

xn

pn

Dξ = ( x1 ? Eξ )2 p1 +L+ ( xi ? Eξ )2 pi +L+ ( xn ? Eξ )2 pn 则称 n

ξ 为随机变量ξ的方差. = ∑ ( xi ? Eξ )2 pi 为随机变量ξ的方差. 称σξ = D
i =1

为随机变量ξ的标准差. 为随机变量ξ的标准差.
它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程 度的量,它们的值越小, 度的量,它们的值越小,则随机变量偏离于均值的平均 程度越小,即越集中于均值。 程度越小,即越集中于均值。

?(ξ ? Εξ )2 ? = Dξ ? 记忆方法: “三个的” 即E ? 记忆方法: 三个的”
练习一下

练习1.(课本第 练习 已知随机变量ξ 练习 课本第68练习 已知随机变量ξ的分布列 课本第 练习)已知随机变量 0 1 2 3 4 ξ P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 求Dξ和σξ. ξ ξ 解:Eξ = 0 × 0.1 + 1× 0.2 + 2 × 0.4 + 3 × 0.2 + 4 × 0.1 = 2

Dξ = (0 ? 2) × 0.1 + (1 ? 2) × 0.2 + (2 ? 2) × 0.4
2 2 2

+(3 ? 2) × 0.2 + (4 ? 2) × 0.1 = 1.2
2 2

σξ = Dξ = 1.2 ≈ 1.095
2.若随机变量ξ满足P(ξ=c)= ,其中 为常 若随机变量ξ满足 ( )=1,其中c为常 若随机变量 )= 数,求Eξ和Dξ. ξ ξ Eξ=c×1=c Dξ=( -c)2×1=0 ξ × = ξ=(c- ) =

根据期望的定义可推出下面两个重要结论 根据期望的定义 可推出下面两个重要结论: 期望的定义 可推出下面两个重要结论: 结论1: 结论 : η = aξ + b, 则 Eη = aEξ + b ; 若

结论2: 结论 :若ξ~B(n,p),则Eξ= np. , , 那么,根据方差 定义你能推出类似的什么结论: 方差的 你能推出类似的什么结论 那么,根据方差 的定义你能推出类似的什么结论 : (1) 若η = aξ + b, 则 Dη = ? ; (2)若ξ~B(n,p),则 Dξ= ?. 若 , ,

可以证明,对于方差有下面两个重要性质: 可以证明 对于方差有下面两个重要性质: 对于方差有下面两个重要性质

⑴ D(aξ + b ) = a Dξ
2

⑵ 若 ξ ~ B ( n , p ),则 D ξ = npq (其 中 q = 1 ? p )
练习一下

练习: 练习:

1.已知随机变量ξ的分布列为则E 1.已知随机变量ξ的分布列为则Eξ与Dξ的值为( D ) 已知随机变量 的值为( 0.6和 (B)1.7和 (A) 0.6和0.7 (B)1.7和0.3 0.3和 (D)1.7和 (C) 0.3和0.7 (D)1.7和0.21
ξ P 1 0.3 2 0.7

25 50 5 2.已知ξ?B(100,0.5),则Eξ=___,Dξ=____,σξ=___. 2.已知ξ?B(100,0.5),则 =___,Dξ=____,σξ=___. 已知ξ?B(100,0.5), 99 D(2ξ E(2ξ E(2ξ-1)=____, D(2ξ-1)=____, σ(2ξ-1)=_____ 100 (2ξ 10
3、有一批数量很大的商品,其中次品占1%,现 、有一批数量很大的商品,其中次品占 %, %,现 从中任意地连续取出200件商品,设其次品数为 件商品, 从中任意地连续取出 件商品 X,求EX和DX。 , 和 。 2,1.98 ,

刚才问题再思考: 问题再思考 : 已知甲、乙两名射手在同一条件下射击, 已知甲、乙两名射手在同一条件下射击,所得环 的分布列如下: 数ξ1、ξ2的分布列如下:

9 10 ξ1 8 P 0.2 0.6 0.2

9 10 ξ2 8 P 0.4 0.2 0.4

试比较两名射手的射击水平. 试比较两名射手的射击水平 如果其他对手的射击成 绩都在8环左右 应派哪一名选手参赛? 环左右, 如果其他对手 绩都在 环左右,应派哪一名选手参赛? 的射击成绩都在9环左右 应派哪一名选手参赛? 环左右, 的射击成绩都在 环左右,应派哪一名选手参赛? 解:∵ Eξ1 = 8 × 0.2 + 9 × 0.6 + 10 × 0.2 = 9 如果对手在 Eξ 2 = 8 × 0.4 + 9 × 0.2 + 10 × 0.4 = 9 8环左右 派甲 环左右,派甲 环左右 派甲. 乙两射手的射击平均水平相同. 如果对手在9 平均水平相同 ∴甲、乙两射手的射击平均水平相同. 如果对手在9 又∵ Dξ1 = 0.4, Dξ 2 = 0.8, 环左右,派乙. 环左右,派乙.
∴甲射击水平更稳定. 射击水平更稳定.

随机抛掷一枚质地均匀的子,求向上一面的 例1.随机抛掷一枚质地均匀的子 求向上一面的 点数X的均值 方差 点数 的均值,方差 和标准差 的均值 方差,和标准差

解:

抛掷子所得点数X的分布列为 抛掷子所得点数 的分布列为 X P 1
1 6

2

3

1 6

1 6

4 1 6

5

1 6

6 1 6



1 1 1 1 1 1 EX = 1× + 2 × + 3 × + 4 × + 5 × + 6 × = 3.5 6 6 6 6 6 6 1 1 2 2 DX = (1 ? 3.5) × + … ( 6 ? 3 .5) × ≈ 2.92 6 6

σX =

DX

≈ 1 . 71

有甲乙两个单位都愿意聘用你,而你能获得如下信息 例2:有甲乙两个单位都愿意聘用你 而你能获得如下信息: 有甲乙两个单位都愿意聘用你 而你能获得如下信息: 甲单位不同职位月 1200 1400 1600 1800
工资X 元 工资 1/元

获得相应职位的 概率P 概率 1
乙单位不同职位月 工资X 元 工资 2/元

0.4 1000 0.4

0.3 1400 0.3

0.2

0.1

1800 2200 0.2 0.1

获得相应职位的 概率P 概率 2

根据工资待遇的差异情况,你愿意选择哪家单位? 根据工资待遇的差异情况,你愿意选择哪家单位? , , 解:EX1 = 1400 EX2 = 1400 DX1 = 40000 DX2 = 112000
在两个单位工资的数学期望相等的情况下,如果认为自 在两个单位工资的数学期望相等的情况下 如果认为自 己能力很强,应选择工资方差大的单位 即乙单位;如果认为 应选择工资方差大的单位,即乙单位 己能力很强 应选择工资方差大的单位 即乙单位 如果认为 自己能力不强,就应选择工资方差小的单位 即甲单位. 就应选择工资方差小的单位,即甲单位 自己能力不强 就应选择工资方差小的单位 即甲单位

选做作业: 选做作业: 思维挑战: 思维挑战:

3.若随机变量ξ服从二项分布,且Eξ=6, 若随机变量ξ服从二项分布, 若随机变量 ξ ,

D ξ=4,则此二项分布 则此二项分布 是 。 设二项分布为ξ ~B(n,p) ,则 则

Eξ=np=6 ξ

Dξ=np(1-p)=4 ξ

n=18 p=1/3

四.小结 小结
1、离散型随机变量的方差 、 D X =(x1-EX)2·P1+ (x2-EX)2·P2 ( +(xn-EX)2·Pn ( 2、满足线性关系的离散型随机变量的方差 、 D( aX+ b)= a2·DX ( ) 3、服从二项分布的随机变量的方差 、 DX=q EX=n p q,( ,(q=1-p) ,( ) +…

五.课堂练习 课堂练习
教材P 教材 68 练习1,2,3 练习
1. EX=0X0.1+1X0.2+2X0.4+3X0.2+4X0.1=2
DX=(0-2)2X0.1+(1-2)2X0.2+(2-2)2X0.4+(3-2)2X0.2 +(4-2)2X0.1=1.2

σX = DX ≈1.095
2. EX=CX1=C, DX=(C-C)2X1=0 随机变量X满足 满足P(X=1)=1,其中为常数 其中为常数, 说明:随机变量 满足 其中为常数 这个分布称为单点分布


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