数列知识点练习题讲解


一、等差数列的有关概念:
1、等差数列的判断方法:定义法 an?1 ? an ? d (d为常数) 或 an?1 ? an ? an ? an?1 (n ? 2) 。 2、等差数列的通项: an ? a1 ? (n ?1)d 或 an ? am ? (n ? m)d 。 3、等差数列的前 n 和: S n ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) d。 , S n ? na1 ? 2 2
a?b 。 2

4、等差中项:若 a, A, b 成等差数列,则 A 叫做 a 与 b 的等差中项,且 A ?

提醒: (1)等差数列的通项公式及前 n 和公式中,涉及到 5 个元素: a1 、 d 、 n 、 an 及 其中 a1 、d 称作为基本元素。 只要已知这 5 个元素中的任意 3 个, 便可求出其余 2 个, Sn , 即知 3 求 2。 (2)为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等差,可设为?, ;偶数个数成等差,可设为?, a ? 2d , a ? d , a, a ? d , a ? 2d ? ( 公 差 为 d )

a ? 3d , a ? d , a ? d , a ? 3d ,?(公差为 2 d )
5、等差数列的性质: (1)当公差 d ? 0 时,等差数列的通项公式 an ? a1 ? (n ?1)d ? dn ? a1 ? d 是关于 n 的一 次函数,且斜率为公差 d ;前 n 和 S n ? na1 ?

n(n ? 1) d d d ? n 2 ? (a1 ? )n 是关于 n 的二次 2 2 2

函数且常数项为 0. (2) 若公差 d ? 0 , 则为递增等差数列, 若公差 d ? 0 , 则为递减等差数列, 若公差 d ? 0 , 则为常数列。 ( 3 )当 m ? n ? p ? q 时 , 则有 am ? an ? a p ? aq ,特别地,当 m ? n ? 2 p 时,则有

am ? an ? 2 a p .
(4) 若 {an } 、 {bn } 是 等 差 数 列 , 则 {kan } 、 {kan ? pbn } ( k 、 p 是 非 零 常 数 ) 、
a ?也成等差数列, 而 {a n } 成等比数列; 若 {an } Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n , {ap?nq }( p, q ? N * ) 、

是等比数列,且 an ? 0 ,则 {lg an } 是等差数列. (5) 在等差数列 {an } 中, 当项数为偶数 2 n 时,S偶-S奇 ? nd ; 项数为奇数 2n ? 1 时, ; S奇:S偶 ? n : ?n - 1?。 S奇 ? S偶 ? a中 , S2n?1 ? (2n ?1) ? a中 (这里 a中 即 an ) . ( 6 ) 若 等 差 数 列 {an } 、 {bn } 的 前 n 和 分 别 为 An 、 Bn , 且

An ? f ( n) , 则 Bn

an (2n ? 1)an A2 n ?1 ? ? ? f (2n ? 1) . bn (2n ? 1)bn B2 n ?1
(7)“首正”的递减等差数列中,前 n 项和的最大值是所有非负项之和; “首负”的递增 等差数列中,前 n 项和的最小值是所有非正项之和。法一:由不等式组
?an ? 0 ? ?an ? 0 ? 确定出前多少项为非负(或非正) ;法二:因等差数列前 n 项是关于 ? 或? ? ? ? ? ?an ?1 ? 0? ?an ?1 ? 0 ?

n 的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性 n ? N * 。上述两种
方法是运用了哪种数学思想?(函数思想) ,由此你能求一般数列中的最大或最小项吗? (8)如果两等差数列有公共项,那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列, 且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意:公共项仅是公共的项,其项数不一定相同,即研究 an ? bm .

二、等比数列的有关概念:
1 、 等比数列的判断方法: 定义法

an ?1 a a ,其中 q ? 0, an ? 0 或 n?1 ? n ? q(q为常数) an an an?1

(n ? 2) 。
2、等比数列的通项: an ? a1qn?1 或 an ? amqn?m 。 3、 等比数列的前 n 和: 当 q ? 1 时,Sn ? na1 ; 当 q ? 1 时,Sn ?

a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ? 。 1? q 1? q

特别提醒:等比数列前 n 项和公式有两种形式,为此在求等比数列前 n 项和时,首先要 判断公比 q 是否为 1,再由 q 的情况选择求和公式的形式,当不能判断公比 q 是否为 1 时, 要对 q 分 q ? 1 和 q ? 1 两种情形讨论求解。 4、等比中项:若 a, A, b 成等比数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等比中项。提醒:不是任何 两数都有等比中项,只有同号两数才存在等比中项,且有两个 ? ab 。如已知两个正数

a, b(a ? b) 的等差中项为 A,等比中项为 B,则 A 与 B 的大小关系为______(答:A>B)
提醒: (1)等比数列的通项公式及前 n 和公式中,涉及到 5 个元素: a1 、 q 、 n 、 an 及

Sn ,其中 a1 、q 称作为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个,便可求出其余 2 个,
即知 3 求 2; (2) 为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等比,可设为?,

a a a a , , a, aq, aq 2 ?(公比为 q ) ;但偶数个数成等比时,不能设为? 3 , , aq, aq3 ,?, 2 q q q q
因公比不一定为正数,只有公比为正时才可如此设,且公比为 q 。如有四个数,其中前三
2

个数成等差数列,后三个成等比数列,且第一个数与第四个数的和是 16,第二个数与第三 个数的和为 12,求此四个数。 (答:15,,9,3,1 或 0,4,8,16) 5.等比数列的性质: ( 1 )当 m ? n ? p ? q时,则 有 am an ? a p aq ,特别地, 当 m ? n ? 2 p 时,则 有

am an ? ap 2 .
(2) 若 {an } 是等比数列,则 {| an |} 、 {ap?nq }( p, q ? N ) 、 {kan } 成等比数列;若
*

a 则 {anbn } 、 且公比 q ? ?1 , { n } 成等比数列; 若 {an } 是等比数列, {an }、 {bn } 成等比数列, bn
则 数 列 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n , ? 也 是 等 比 数 列 。 当 q ? ?1 , 且 n 为 偶 数 时 , 数 列

Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ,?是常数数列 0,它不是等比数列.
(3) 若 a1 ? 0, q ? 1 ,则 {an } 为递增数列;若 a1 ? 0, q ? 1 , 则 {an } 为递减数列;若 则 {an } 为递减数列; 若 a1 ? 0,0 ? q ? 1 , 则 {an } 为递增数列; 若q ? 0, a1 ? 0,0 ? q ? 1 , 则 {an } 为摆动数列;若 q ? 1 ,则 {an } 为常数列. (4) 当 q ? 1 时, S n ?

? a1 n a q ? 1 ? aqn ? b ,这里 a ? b ? 0 ,但 a ? 0, b ? 0 , 1? q 1? q

是等比数列前 n 项和公式的一个特征, 据此很容易根据 Sn , 判断数列 {an } 是否为等比数列。 (5) Sm?n ? Sm ? qm Sn ? Sn ? qn Sm .如设等比数列 {an } 的公比为 q ,前 n 项和为 Sn , 若 Sn?1 , Sn , Sn?2 成等差数列,则 q 的值为_____(答:-2) (6) 在等比数列 {an } 中,当项数为偶数 2 n 时, S偶 ? qS奇 ;项数为奇数 2n ? 1 时,

S奇 ? a1 ? qS偶 .
(7)如果数列 {an } 既成等差数列又成等比数列,那么数列 {an } 是非零常数数列,故常数 数列 {an } 仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。

等差数列 1.设 {an } 是等差数列, 求证: 以 bn= 等差数列。 2.1 等差数列 {an } 中, a10 ? 30 , a20 ? 50 ,则通项 an ? 2.1 答: 2 n ? 10 ; 2.2 首项为-24 的等差数列,从第 10 项起开始为正数,则公差的取值范围是______ 2.2(答:

a1 ? a 2 ? ? ? a n n

n ? N * 为通项公式的数列 {bn } 为

8 ? d ?3) 3
3 1 15 (n ? 2, n ? N * ) , an ? ,前 n 项和 Sn ? ? ,则 a1 2 2 2

3.1 数列 {an } 中, an ? an ?1 ? = _, n =_

3.1(答: a1 ? ?3 , n ? 10 ); 3.2 已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 12n ? n2 ,求数列 {| an |} 的前 n 项和 Tn 3.2(答: Tn ? ?
2 * ? ?12n ? n (n ? 6, n ? N ) ). 2 * n ? 12 n ? 72( n ? 6, n ? N ) ? ?

5.1 等差数列 {an } 中, Sn ? 18, an ? an?1 ? an?2 ? 3, S3 ? 1 ,则 n =____ 5.1(答:27) ; 5.2 等差数列的前 n 项和为 25,前 2n 项和为 100,则它的前 3n 和为 5.2(答:225) 5.3 在等差数列中,S11=22,则 a6 =______ 5.3(答:2) ; 5.4 项数为奇数的等差数列 {an } 中,奇数项和为 80,偶数项和为 75,求此数列的中间 项与项数 5.4(答:5;31) 5.7 设{ an }与{ bn }是两个等差数列, 它们的前 n 项和分别为 S n 和 Tn , 若 。

Sn 3n ? 1 , ? Tn 4n ? 3

那么

an ? ___________ bn
6n ? 2 ) 8n ? 7

5.7(答:

5.8 等差数列 {an } 中, a1 ? 25 , S9 ? S17 ,问此数列前多少项和最大?并求此最大值。 5.8(答:前 13 项和最大,最大值为 169) ;

5.9 若 {an } 是等差数列, 首项 a1 ? 0, a2003 ? a2004 ? 0 , 则使前 n 项和 Sn ? 0 a2003 ? a2004 ? 0 , 成立的最大正整数 n 是 5.9(答:4006) 5.10 在等差数列 ?an ? 中,a10 ? 0, a11 ? 0 , 且 a1 ?| 1 则 ( a | ,S n 是其前 n 项和, 0 A、 S1 , S2 B、 S1 , S2 C、 S1 , S2 D、 S1 , S2 )

S10 都小于 0, S11 , S12 S19 都小于 0, S20 , S21 S5 都小于 0, S6 , S7 S20 都小于 0, S21 , S22

都大于 0 都大于 0 都大于 0 都大于 0

5.10(答:B)

等比数列: 1.1.一个等比数列{ an }共有 2n ? 1 项, 奇数项之积为 100, 偶数项之积为 120, 则 an ?1 为 ____ 1.1(答:

5 ) ; 6

1.2 数列 {an } 中, Sn =4 an ?1 +1 ( n ? 2 )且 a1 =1,若 bn ? an?1 ? 2an ,求证:数列{ bn } 是等比数列。 2.等比数列 {an } 中, a1 ? an ? 66 , a2 an?1 ? 128 ,前 n 项和 Sn =126,求 n 和 q . 2.(答: n ? 6 , q ?

1 或 2) 2

3.1 等比数列中, q =2,S99=77,求 a3 ? a6 ? ? ? a99 3.1(答:44) ; 3.2

? (? C
n ?1 k ?0

10

n

k n

) 的值为__________

3.2(答:2046) ; 5.1 在等比数列 {an } 中, a3 ? a8 ? 124, a4 a7 ? ?512 ,公比 q 是整数,则 a10 =___ 5.1(答:512) ; 5.2 各项均为正数的等比数列 {an } 中,若 a5 ? a6 ? 9 ,则 log 3 a log 3 a 1 ? 2 ? 5.2(答:10) 。 5.3 已 知 a ? 0 且 a ? 1 , 设 数 列 {xn } 满 足 l o g 1 a xn ?1 ? ?

? log

3 1 0

a ?

lo xg n(n ? N * ), 且 a

x1 ? x2 ?

? x100 ? 100 ,则 x101 ? x102 ?

? x200 ?

.

5.3(答: 100a100 ) ; 5.4 在等比数列 {an } 中,S n 为其前 n 项和,若 S30 ? 13S10 , S10 ? S30 ? 140 ,则 S 20 的 值为______ 5.4(答:40) 5.5 若 {an } 是等比数列,且 Sn ? 3 n ? r ,则 r = 5.5(答:-1) 5.6 设数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ( n ? N ) , 关于数列 ? an ? 有下列三个命题:①若

a n ? a n?1

(n ? N) ,则 ? an ? 既是等差数列又是等比数列;②若 S n ? a n 2 ? b n ? a 、 b?R ? ,
n

则 ? an ? 是等差数列;③若 S n ? 1 ? ? ? 1 ? ,则 ? an ? 是等比数列。这些命题中,真命题的序 号是 5.6(答:②③)


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