高考数学一轮复习讲义 第28课时 数学归纳法 理


课题:数学归纳法 考纲要求: 1. 了解数学归纳法的原理. 2. 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 教材复习 1. 数学归纳法是证明一个与正整数 n 有关的命题,可按下列步骤进行: 时命题成立; ?1? (归纳奠基)证明当 n 取 * 证明当 ? 2 ? (归纳递推)假设当 n ? k ( k ? N ,k ≥ n0 )时命题成立, 有关的命题; ?1? 数学归纳法证明的对象是与 ? 2 ? 用数学归纳法证题时,两个基本步骤缺一不可 递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉. 3. 证题时要注意两凑:一凑归纳假设,二凑目标. 典例分析: 考点一 用数学归纳法证明数学命题时原理及两个步骤的考查 问题 1. ?1? 用数学归纳法证明 3 ≥ n3 (n ? N , n ≥ 3 )时,第一步应验证 n 时命题也正确. 2. 应用数学归纳法时要特别注意: B. n ? 2 C. n ? 3 D. n ? 4 2 n ?1 n?2 ? 2 ? 用数学归纳法证明 1 ? 2 ? 2 ? ? ?2 ? 2 ? 1 (n ? N? ) 的过程中,在验证 n ? 1 时,左端计算所得的项为 A. n ? 1 A. 1 B. 1 ? 2 C. 1 ? 2 ? 2 2 D. 1 ? 2 ? 22 ? 23 ? 3? ( 2012 渭南中学月考)用数学归纳法证明不等式1 ? 2 ? 4 ? ? ? 2n ?1 ? 起始值至少应取为 1 1 1 127 成立, 64 A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 立,推证 n ? k ? 1 时,左边应增加的项的项数是 ” ,由 n ? k ? k ? 1? 不等式成 ? 4 ? 用数学归纳法证明“ 1 ? 2 ? 3 ? ? ? 2n ? 1 ? n ( n ? 1 ) 1 1 1 考点二 用数学归纳法证明整除性问题 195 问题 2.求证: 49 ? 16n ? 1 能被 64 整除( n ? N * ). n 考点三 用数学归纳法证明恒等式 问题 3. n ? N ? ,求证: 1 ? 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ? ??? . 2n 2 3 4 2n ? 1 2n n ? 1 n ? 2 考点四 用数学归纳法证明不等式 问题 4.求证: 1 1 1 1 n?2 ? ? ? ??? ? n ?1 ? (n ≥ 2 ,n? N ) 2 3 4 2 2 196 考点五 用数学归纳法证明几何问题 问题 5.求证:凸 n 边形的对角线条数为 f ( n) ? 1 n ? n ? 3? ( n ? N , n ≥ 3) . 2 考点六 归纳—猜想—证明模式的考查 问题 6.在各项为正的数列 ?an ? 中,数列的前 n 项和 Sn ? 1? 1? ? an ? ? . 2? an ? ?1? 求 a1 , a2 , a3 ; ? 2 ? 由 ?1? 猜想数列 ?an ? 的通项公式,并且用数学归纳法证明你的猜 想. 课后作业: 197 1. 观察下列式子:1 ? 结论为: 1 3 1 1 5 1 1 1 7 ? , 1 ? 2 ? 2 ? , 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? , ? ,则可以猜想的 2 2 3 4 2 2 3 2 3 4 2. 用数学归纳法证明“ ? n ?1?? n ? 2? ??? ? n ? n? ? 2n ?1? 3 ??? ? 2n ?1? ” ,从“ k 到 k ? 1 ” 左端

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