两点画图,一线传情——数形结合在二次函数中的应用


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5 4 ?  

数 学教 育研 究 

2 0 1 2 年第 5 期 

两 点 画图 , 一 线 传情 
数形 结合 在 二 次 函数 中的应 用 
系艳 清  ( 湖北省武汉市钢城第十二中学 4 3 0 0 8 0 )  
二次函数历来 是 中考数 学必 考 内容之 一 , 并 且 考  查 的 方 式 比较 灵 活 . 它既可 以把实 际问题作 为载体 , 也  可 以独 立 的 出现 在 综 合 题 中 . 尤 其 是 在 考 查 二 次 函 数  的过程 中, 还 能 够 检 验 学 生 对 初 中 数 学 常 用 知 识 和 技  能掌握的程度 , 例 如 图象 的平移 、 旋 转变 换 , 数 形 结 合 
的思想方法等.   但对于初 中阶段 的学 生来 说 , 数 学 这 一 科 最 难 学  的知 识 版 块 当首 推 函数 , 而 二 次 函 数 又 可 以说 是 “ 老 大 



组得

仨  二 …… 式 为  
\   y   l   ’





÷ ( z 一 ÷ )   + 警  

难” . 为什 么 学 生 学 不 好 二 次 函 数 ?究 其 原 因 , 还 是 在  于 没有 掌握 学 习 函 数 的 根 本 方 法 —— 数 形 结 合 .   我 国著 名 数 学 家 华 罗 庚 曾 说 过 : “ 数 形 结 合 百 般  好, 隔裂分家万事 非” . 数 形 结 合 就 是 把 抽 象 的 数 学 语  言、 数量关系 与直观 的几 何 图形 、 位置 关 系结合 起来 ,   通 过“ 以形 助 数 ” 或“ 以数解 形” , 可 以 使 复 杂 问 题 简 单  化, 抽 象 问题 具 体 化 , 从 而 起 到 优 化 解 题 途 径 的 目的 .   具 体 到 二 次 函数 的 学 习 , 我们 可 以用“ 两 点画 图 , ~ 线  传情” 来 总结数形结合这种数学思想方法的应用.   所谓“ 两点 画 图 ” , 就 是“ 以数解形 ” , 意 指 我 们 只 需  通过抛物线上顶 点 和除顶 点之 外 的任意 一点 的 坐标 ,   就 可 以确 定 它 所 对 应 的 二 次 函 数 的 解 析 式 , 从 而 进 一  步 得 出抛 物 线 的全 貌 . 但是在具 体的解题 过程 中 , 我 们  可 能 无 法 直 接 写 出顶 点 的 坐 标 . 因此 , 学 生 必 须 学 会 读  题, 审题 , 尽 量 从 题 目给 的 信 息 中 找 到 或 求 出 顶 点 的 坐  标. 这 其 中常 见 的类 型 如 下 :   类型一 : 已知抛物线的对称轴方程 z —h和 函数 最  值 Y —k时 , 顶 点 的坐 标 就 是 ( ^ ,   ) .   例l   已 知 抛 物 线 c经 过 原 点 , 它 的 对 称 轴 方 程  为- z = 一2 , 且 图象 上 最 高 点 的 纵 坐 标 为 2 , 求 抛 物 线 的 
解析式.  

挖 掘出顶点的信息 , 再巧设解析式.   例 3 如图 1 , 抛 物 线  一口   + 
6 z一2与 z轴 交 于 A( 一 1, 0 ) , B( m,   O ) 两点 , 与 Y轴 交 于 C 点 , 且  AC B   一9 0 。 , 求 抛 物 线 的解 析 式 .   略 解 :由 抛 物 线 的 解 析 式 可 知 
。 .

图 1   C( 0。 一 2) .   ’   ACB 一 90 。 , Rt / kAOCc /  ̄ Rt / XCO B 
’ . .

oC 一 OA ?O B 

又。 . ‘OC= 2, Ol A一1 , . ’ .0B一 4 ,. ’ .B( 4, O )  

将 点  , B 的坐标代入 Y   口 z   十  一 2 , 解 得 

f 。 一  

l   所 求抛物 线的 解析 式为   一 寺 一号z 一 2   6 一 一号 
。 , .




类型四 : 若求 已知 抛 物 线经 过 旋 转 , 平移 , 对 称 等 变  换 后 对应 的抛 物 线解 析 式 , 只需 求 出 原 抛 物 线 的 顶 点 在  变 换之 后 的对 应 点 ( 该点 也 即 新 抛 物 线 的顶 点 ) , 并把 握  住 变 换 之后 抛 物 线 的 开 口方 向 , 即可 求 出解 析 式 .   例 4 ① 已知 抛 物 线  一 ( z 一1 )  一4 , 沿 直线 z 一 

翻折 , 得 到一 个 新 的 抛 物 线 , 求 新 抛 物 线 的解 析 式 .  

略 解 :由题 可 知 , 抛 物 线 的顶 点 为 ( 一2 , 2 )   设 抛 物 线 的解 析式 为 Y 一Ⅱ (  +2 )   +2 , 代 入 原 
‘ . .

略解 : 原抛物线 的顶点 是 ( 1 , 一4 ) , 沿直 线 z=÷ 

点 ( o , o ) , 求 得 口 一 一 ÷ ,  
‘ . .

f  
翻折后的对应点设 为(  ,  ) , 则 h , k满 足 :  
解 得 
1   —— 一  
。 .

二三  .
2   2,  

I  一一4  
. .  

所 求的抛物线解析式为  一一÷ ( z +2 ) 。 +2  

类 型 二 :已知 抛 物 线 上 纵 坐 标 相 同 的 两 点 A( z   ,   ) , B( x   ,  ) 和 另 一 点 C( m,  ) 时, 先 求 出顶 点 的 坐 标 为 

。抛 物 线 沿 直线 z 一   0翻 折 后 , 开 口大 小 和 方 I " 1  

。 .新 抛 物 线 的 解 析 式 为  一 ( z 一2 )   ~4   ( 丑 {  ,   ) , 设 出 解 析 式   — n ( z 一 丑  )   + 女 , 再   不 变 ,. 代人点 C ( m,  ) 和 A或 B 中的任一 点 , 即 可 求 出 未 知  数 n的值 .   例 2 已知 二次 函数 的 图象 与 z轴 交于 A( 一2 , O ) , B   ( 3 , 0 ) , 且 与 Y轴 交 于点 c ( o , 3 ) , 求二 次 函数 的解析 式 .   略解 : 设 二 次 函 数 的解 析 式 为 Y—n ( z —h )   +k ,  
由题 可 知 ^一— -  2 +3 一  1



② 已知 抛 物 线 C   :   一2 x一 3 , 将 c  绕 点 ( o ,   2 ) 旋转 1 8 0 。 得抛物线 C 2 , 求 C  的解 析 式 .   略解 : 抛物 线 C 。 : Y =  一 2 x一 3的 顶 点 为 ( 1 , 一   4 ) , 设它绕点 ( O , 一2 ) 旋转 1 8 0 。 的对 应 点 为 ( ^ , k ) , 则 h ,  

f h — + — l —n  

将 A( 一2 , O ) , C ( 0 , 3 ) 及 ^ 一 

满 足 : {   I 三   , 解 得 {   三  .   T 一一 
。抛 物 线 C   : y— z   一2 x一 3绕 点 ( 0 , 一2 ) 旋 转  1 8 0 。 后, 开 口方 向相 反 , 大 小 不 变 ,- . .C z的解 析 式 为 Y  
. ‘

÷ 代人 y =a ( x -  )   + 

f n ( 一 z 一  )   +   — o  






( z+ 1 )  

告   一 。  

这里 列举 的 四 种 类 型 并 不 能 包 罗 万 象 , 并 且 有 些  求 解 析 式 的题 目不 需 要 求 出 顶 点 的 坐 标 , 直 接 利 用 待 

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定 系数法 , 设 为一般式 Y —a x   +b x +c , 代 入 题 目所 给  的条件即可. 但无 论怎样给条件 , 我 们 都 应 该 正 确 理 解  题意 , 将所 给的条件转换成抛 物线上 的点 的坐标 , 再 选  择最合适 的解 析 式形 式 , 用 待定 系 数法 求 解 , 以 达 到  “ 以数 解 形 ” 的 目的 .   所谓“ 一线传情 ” , 是 指 在 利 用 二 次 函 数 的 图 象 或  性 质解决实际问题时 , “ 以形助数” , 用 一 条 平 行 于 z轴  的直线分割抛物 线 , 从 而 在 抛 物 线 上 直 观 地 表 达 出 不  等关 系 , 以帮 助 我 们 解 决 实 际 问 题 .   例5 ( 武汉 市 2 0 0 9年 中 考 第 2 3题 ) 某 商 品 的 进  价为 每件 4 O元 , 售价 为每件 5 O元 , 每个月 可卖 出 2 1 0   件; 如 果 每 件 商 品 的售 价 每 上涨 1元 , 则每 个月少卖 1 O   件( 每件售价不能高于 6 5元 ) . 设 每 件 商 品 的 售 价 上 涨  z元 ( z为 正 整 数 ) , 每 个 月 的 销 售 利 润 为 y元 .   ( 1 )求 y与 z 的 函 数 关 系 式 并 直 接 写 出 自变 量 z   的取 值 范 围 ;   ( 2 )每 件 商 品 的售 价 定 为 多少 元 时 , 每 个 月 可 获 得 
最 大 利 润 ?最 大 的 月 利 润 是 多 少 元 ?  

问题 具 体 化 , 充 分 体 现 了“ 以 形示 数 ” 的数 学 解 题 思 想.   例6  ( 武 汉 市  2 0 1 2年 中 考 第 2 3   题) 如 图 2 , 小 河 上  有 一拱 桥, 拱 桥 及  河 道 的 截 面 轮 廓 线  由抛 物 线 的 一 部 分 
ACB和 矩 形 的 三 边  AE, ED, DB 组 成 ,   已 知 河 底 ED 是 水  平 的, ED = 1 6米 ,  

图 2  

AE = 8米 , 抛 物 线 的顶 点 C到 E D 的距离 是 l 1 米, 以  E D 所 在 直线 为 X轴 , 抛 物 线 的 对 称 轴 为 Y轴 建 立 平 面  直 角 坐 标 系.   ( 1 )求 抛 物 线 h的 解 析 式 ;   ( 2 )已知 从 某 时刻 开始 4 O小 时 内 , 水 面 与 河底 ED   的距 离 , l ( 单位 : 米) 随 时 间 ( 单位 : 时) 的 变 化 满 足 函 数 
1  

( 3 )每 件 商 品 的 售 价 定 为 多少 元 时 , 每 个 月 的利 润  恰为 2 2 0 0 元 ?根据以上结论 , 请 你 直 接 写 出 售 价 在 什  么 范 围时 , 每个月的利润不低于 2 2 0 0元 ?   析 题 :( 1 )由于 每 月 的 销售 利 润 一单 件 商 品销 售 利  润 ×月 销售 量 , 且 此 题 中单 件 商 品 销 售 利 润 是  的一 次  函数 , 月 销售 量 也 是 X 的一 次 函数 , 所 以 每 月 的 销 售 利  润 是 z的 二 次 函数 . 至 于 求 z的 取 值 范 围 , 可 从 题 目 中  的“ 每 件 售 价 不能 高 于 6 5 元” 和“ z为 正整 数 ” 求得 ;   ( 2 )求 月 最 大 利 润 , 也 就是 在 自变 量 的 取 值 范 围 内  求 二 次 函数 的最 值 , 通 过 二 次 函数 的 图象 和性 质 可 得 ;   ( 3 )“ 每件商品 的售价定 为多 少元 时, 每 个 月 的 利  润恰为 2 2 0 0 元” 可通 过 解方 程得 出 X的值 , 再 换 算 成  售价 ; 而对 于 “ 售 价 在什 么范 围 时, 每 个 月 的 利 润 不 低  于 2 2 0 0元 ” , 由 于 初 中 阶 段 学 生 没 有 学 习 解 一 元 二 次  不等式 , 所 以应 该 结合 二 次 函 数 的 图 象 来 解 答 .   以下的解答过程重在第 ( 3 ) 问, 前 两 问 只 简 单 写 出  结论 .  
解 :( 1 )   一( 5 0 —4 0 + ) ( 2 1 0 —1 0 x) : 一1 0 x   +  1 1 0 x +2 1 0 0 , 其 中 X 的取 值 范 围 是 O <z ≤1 5 , 且 z为 正  整 数 
( 2 )  .   +2 4 0 2 . 5,  


关系 h 一一  

( t 一1 9 )   +8 ( 0 ≤f ≤4 0 ) , 且 当水 面 到 顶 

16o 

点 c的 距 离 不 大 于 5米 时 , 需禁止船 只通行. 请 通 过 计  算说 明 : 在 这 一 时段 内 , 需 多 少 时禁 止 船 只 通 行 ?   析 题 :( 1 )求 抛 物 线 h的 解 析 式 时 , 只 需 根 据 图  形, 将 A, C点 的 坐标 写 出 来 , 将 抛 物 线解 析 式 设 为 顶 点  式 即可 ;   ( 2 )求 “ 当 水 面 到 顶 点 C 的距 离 不 大 于 5米 时 , 需  多少时禁止船 只通行 ” 也 就 是 求 当 水 面 到 顶 点 C 的 距  离 h满 足 1 1 一^ ≤ 5时 , 自变 量 t 的取值区间长. 所 以 问  题转 化为 : 当 函数 值 ^ ≥6 , 且O ≤£ ≤4 0时 , 求时间 t .   略 解 :( 1 )依 题 意 可 得 , 顶 点 C的坐标 为 ( 0 , 1 1 ) .   设 抛 物线 解 析 式 为  —a x   +1 1 .   由抛物线的对称性可得 , B( 8 , 8 ) , . . .8 —6 4 a +1 1 ,  


解得 n 一一丽 O   .  
?
. .

抛 物 线 的 解 析 式 为   一 一 矗 z   + 1 1 .  

( 2 )画 出  =一 1 ( £ 一1 9 ) 。 +8 ( o ≤£ ≤4 o ) 的 图 像 
如下 :   当 水 面 到  顶 点 C 的 距 离  不 大 于 5米 时 ,   即 1 1 一h ≤ 5,h  
≥6 .   当 h : 6   图 3  

一 一1 0 x   +l 1 O z+ 2 1 0 0一 一 1 0 ( z一 5 . 5 )  

. .






1 O <0 , 又‘ . ‘O <z ≤1 5 , 且 z为 正 整 数 ,   当z 一5或 6时 , j , t ★  一2 4 0 0 , 此 时 每 件 商 品 的 


售价 为 5 5或 5 6 .  

( 3 ) 当 y一 2 2 0 0时 , 解 方程 一 1 0 ( z一 5 . 5 )  +  2 4 0 2 . 5 =2 2 0 0 得 z 1 —1 , z 2 —1 0 ,   又‘ . ‘ O <  ≤1 5 , 且 z为正整 数 , ^ 当 每 件 商 品 的  售价为 5 1或 6 O时 , 每个月的利润恰好为 2 2 0 0 元.   作 出二 次 函数 j , 一一1 0 x   +1 1 0 x +2 1 0 0的 草 图 如  下, 由图 象 可 知 :当 Y ≥2 2 0 0时 , 1 ≤X ≤1 0 , 此时 5 1 ≤  每 件 商 品售 价 ≤ 6 O .   答: 当每件商品的售价 为 5 1或 6 O时 , 每 个 月 的利 
润恰好 为 2 2 0 0元 .  

时, 解 得 t   一 
3 5, t 2— 3.  



由图 像 的变 化 趋 势 得 , 禁 止船 只通行 的时 间为 I t   t 2   l 一3 2 ( 时) .   答: 禁 止 船 只 通 行 的时 间为 3 2小 时 .   通 过 以上 几 个 例 题 , 我们可 以清楚 地看到 : 巧 妙 利 

用数 形结 合 的思 想 方 法 学 习 二 次 函数 , 可 以使 抽 象 的 数 
学 问题 直 观 化 、 生动化 , 能够变抽象思维 为形象思维 , 有  助 于把 握 数 学 问 题 的 本 质 ; 另外 , 由 于 使 用 了数 形 结 合 

当5 1 ≤每件商 品售价≤6 O时 , 每 个 月 的利 润 不 低 
于 2 2 0 0元 .  

回顾 此题 的解 答 过 程 , 当我 们 在 解 答 第 ( 3 ) 问“ 售 价  在什么范围时, 每个 月 的 利 润 不低 于 2 2 0 0元” 时, 借 助 二  次 函数 的 图象 , 将 求 解 不 等 关 系 转 换 为求 位 于 直 线  一  2 2 0 0之 上 的抛 物 线 的 图 象 所 对 应 的 自变 量 z的 取 值 范  围. 我们 通 过 分 析 抛 物 线 的 几 何 意 义 , 并 从 图形 中 找 到  解 题 的思 路 , 优 化 了解 题 途 径 , 使复杂 问题简单化 , 抽 象 

的方法 , 很 多 问题 便 迎 刃 而 解 , 且 解 法 简捷 . 尤 其 当 学 生  进 入更 高一 个 层 次 学 习 时 , 更 加 能 领 略 到 这 种 方 法 的好   处. 数学教学不只是 简单 的数学 知识教 学, 这 其 中 也 包 
含 了数 学 思 想 , 数 学能力 , 数学 思维 的教学. 只有 这样 ,   学生 才 能 具 有 创 新 能 力 和 开 拓 能 力 , 将 所学的数学知识 

运用到生活中, 工作中.  

[ 责 任编 校  王  蓓]  


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