专题 离散型随机变量及其分布列(三)——比赛问题-讲义


专题:离散型随机变量的概率分布(三)——比赛问题
一、甲乙二人进行乒乓球比赛,已知打一局比赛甲胜乙的概率是

2 . 3

(1)分别计算三局两胜制和五局三胜制下,甲获胜的概率并指出比赛局数对甲乙二人的影响; (2)设随机变量 X 表示三局两胜制下甲获胜的局数,求 X 的分布列及期望.

二、甲、乙两队各派 5 名选手参加围棋擂台赛,假设各队参赛选手的出场顺序确定. (1)求甲队的主将出场且甲队取得了擂台赛胜利的概率; (2)设甲队出场人数为 X,求 X 的分布列及其期望.

-1-

三、亚洲杯足球赛共有 16 支球队参赛,这 16 支球队先分成 4 个小组循环赛,每个小组 4 支 球队,根据以往战绩先选定 4 支球队为种子队,分别担任 A、B、C、D4 个小组的种子球队, 中国队没有成为种子球队. (1)求这 16 支球队分组的总方法数; (2)求中国队与日本队分在同一小组的概率(日本队是种子球队) (3)除 4 个种子球队外,中国队不希望与甲、乙、丙这 3 支球队分在同一组,设 X 表示甲、乙、 丙这三支球队与中国队分在同一组的个数,求 X 的分布列与期望.

-2-

四、6 名奥运会志愿者全部参加 A、B、C、D4 个场馆的活动,每个场馆至少有 1 人参加,任 意一人只能参加一个场馆的活动 (1)求甲乙二人在同一场馆的概率; (2)场馆 A 的活动有两名志愿者参加的概率; (3)记参加场馆 A 活动的志愿者人数为 X,求 X 的分布列.

课后拓展练习
注:此部分为老师根据本讲课程内容为大家精选的课下拓展题目,故不在课堂中讲解,请同 学们课下自己练习并对照详解进行自测. 题一 题面:某迷宫有三个通道,进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门.首次到达此门,系统会随 机(即等可能)为你打开一个通道,若是 1 号通道,则需要 1 小时走出迷宫;若是 2 号、3 号通 道,则分别需要 2 小时、3 小时返回智能门.再次到达智能门时,系统会随机打开一个你未到 .. 过 的通道,直至走完迷宫为止.令 ? 表示走出迷宫所需的时间. . (1)求 ? 的分布列; (2)求 ? 的数学期望.

题二 题面:某市某房地产公司售楼部,对最近 100 位采用分期付款的购房者进行统计,统计结果 如下表所示:

-3-

付款方式 频数

分1期 40

分2期 20

分3期 a

分4期 10

分5期 b

已知分 3 期付款的频率为 0.2,售楼部销售一套某户型的住房,顾客分 1 期付款,其利润为 10 万元;分 2 期、3 期付款其利润都为 15 万元;分 4 期、5 期付款其利润都为 20 万元,用 ? 表 示销售一套该户型住房的利润. (1)求上表中 a,b 的值; (2)若以频率分为概率,求事件 A:“购买该户型住房的 3 位顾客中,至多有 1 位采用分 3 期付 款”的概率 P(A); (3)若以频率作为概率,求 ? 的分布列及数学期望 E ? .

题三 题面:某人居住在城镇的 A 处,准备开车到单位 B 处上班,若该地各路段发生堵车事 件都是相互独立的,且在同一路段发生堵车事件最多只有一次 ,发生堵车事件的概率如图(例如 F A ? C ? D 算作两个路段:路段 AC 发生堵车事件 B E 的概率为 ,路段 CD 发生堵车事件的概率为 ).
5 8 1 1
1 10
1 6


1 3

1 2 1

1 4

1 (Ⅰ)请你为其选择一条由 A 到 B 的最短路线(即此人只 5 8 A C 选择从西向东和从南向北的路线),使得途中发生 堵车事件的概率最小; (Ⅱ)若记路线 A ? C ? F ? B 中遇到堵车次数为随机变量 ? ,求 ? 的数学期望 E? .

西
D

-4-

讲义参考答案
金题精讲
题一 答案:(1)三局两胜制下,甲获胜的概率为 因此,比赛局数越多对甲越有利 (2) X 的分布列为 X P 0 1 2

20 64 ;五局三胜制下,甲获胜的概率为 , 81 27

1 9

4 27

20 27

E(X)=

44 27

题二 答案:(1)

5 18
1 2 3 4 5

(2) X 的分布列为 X P

1 252

5 252

15 252

35 252

196 252

E(X)=

14 3
-5-

题三 答案:(1) 8870400 (2)

1 4
1 2

(3) X 的分布列为 X P 0

28 55

24 55

3 55

E(X) =

6 11

题四 答案:(1)

2 9 (2) 26 13
X P 1 2 3

(3) X 的分布列

15 26

9 26

2 26

E(X)=

39 26

详解:(1)分组情况 1、1、1、3;1、1、2、2
3 1 1 1 4 1 1 2 2 4 C6 ? C3 ? C2 ? C1 ? A4 C6 ? C5 ? C4 ? C2 ? A4 总分法: ? ? 1560 3 2 2 A3 A2 ? A2 1 1 1 1 4 2 1 1 3 C4 ? C3 ? C2 ? C1 ? A4 4 ? C4 ? C2 ? C1 ? A3 ? ? 240 3 2 A3 A2

甲乙在同一场馆的分法:

∴ 所求概率 P1=

240 2 = 1560 13
2 1 1 3 C4 ? C2 ? C1 ? A3 ? 540 2 A2

2 (2)场馆 A 有 2 人: C6 ?

∴ 所求概率 P1=

540 9 ? 1560 26

(3)X 的可取值为 1、2、3
1 C6 ?( 1 1 3 1 2 3 C5 ? C4 ? A3 C5 ? C4 ? A3 ? 2 2 A2 A2 900 15 )? ? 1560 1560 26

P(X=1)=

P(X=2)=

540 9 ? 1560 26

-6-

P(X=3)=

3 3 C6 ? A3 120 2 ? ? 1560 1560 26

X 的分布列 X P 1 2 3

15 26

9 26

2 26

E(X)=

15+18+6 39 ? 26 26

课后拓展练习
题一 答案:(1) ? 的分布列

?
p
(2)

1

3

4

6

1 3

1 6

1 6

1 3

7 2

详解:由已知: ? 可以取的值有 1,3,4,6.

1 1 1 1 1 1 1 ? p (? ? 1) ? , p (? ? 3) ? ? ? , p (? ? 4) ? ? ? 3 3 2 6 3 2 6 1 1 1 1 1 p(? ? 6) ? ? ? ? ? 3 2 3 2 3

? ? 的分布列为:

?
p

1

3

4

6

1 3

1 6

1 6
-7-

1 3

1 1 1 1 7 ? ? 的数学期望 E? ? 1 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 6 ? ? (小时). 3 6 6 3 2

题二 答案:(1) a ? 20, b ? 10 (2) P( A) ? 0.896 (3) ? 的分布列

?

P E ? =14 详解:(1)由

10 0.4

15 0.4

20 0.2

a ? 0.2 得 a ? 20 100

40 ? 20 ? a ? 10 ? b ? 100 ? b ? 10

(2)“购买该户型住房的 3 位顾客中至多有 1 位采用了 3 期付款”的概率:
1 P( A)? 0 .3 8? C 0? .2 ? ( 1 20 .? 2) 3

0.896

(3)记分期付款的期数为 ? ,则 ? =1,2,3,4,5.且有

40 ? 0.4, P(? ? 2) ? 0.2, P(? ? 3) ? 0.2 100 P(? ? 4) ? 0.1, P(? ? 5) ? 0.1 ? 的可能取值为:10,15,20 P(? ? 1) ?

P ?? ? 10 ? ? P ?? ? 1? ? 0.4

且 P ?? ? 15 ? ? P ?? ? 2 ? ? P ?? ? 3? ? 0.4

P ?? ? 20 ? ? P ?? ? 4 ? ? P ?? ? 5? ? 0.2
故? 的分布列为

?

?
10 0.4 15 0.4 20 0.2

10 0.4

15 0.4

20 0.2

P

P

? E? ? 10 ? 0.4 ? 15 ? 0.4 ? 20 ? 0.2 ? 14 (万元)

题三 答案:(Ⅰ) 路线 A ? C ? F ? B 发生堵车事件的概率最小

37 60 详解:(Ⅰ)由 A 到 B 的最短路线有 3 条,
(Ⅱ) E? ? 即为: A ? C ? D ? B , A ? C ? F ? B , A ? E ? F ? B .

4 7 2 64 P( A ? C ? D ? B) ? 1 ? ? ? ? ; 5 8 3 120 4 3 5 60 P( A ? C ? F ? B) ? 1 ? ? ? ? ; 5 4 6 120

-8-

P( A ? E ? F ? B) ? 1 ?

1 9 5 75 ? ? ? . 2 10 6 120
4 3 3 1 ? ? ? ; 5 4 6 2

故路线 A ? C ? F ? B 发生堵车事件的概率最小. (Ⅱ)路线 A ? C ? F ? B 中遇到堵车次数 ? 可取值为 0,1, 2,3 . P (? ? 0) ?

1 3 5 4 1 5 4 3 1 47 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ; 5 4 6 5 4 6 5 4 6 120 1 1 5 1 3 1 4 1 1 12 P(? ? 2) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ; 5 4 6 5 4 6 5 4 6 120 1 1 1 1 P (? ? 3) ? ? ? ? . 5 4 6 120 1 47 12 1 37 ? 2? ? 3? ? 故 E? ? 0 ? ? 1 ? . 2 120 120 120 60 P(? ? 1 )?

-9-


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