1.1.3 两角和与差的正切公式教案(高教版拓展模块)


1.1.3 两角和与差的正切公式
一、教学目标
⒈掌握两角和与差的正切公式的推导过程; ⒉培养学生利用公式求值、化简的分析、转化、推理能力; ⒊发展学生的正、逆向思维能力,构建良好的思维品质。

二、教学重、难点
1. 教学重点:两角和与差的正切公式的应用; 2. 教学难点:公式的的逆用

三、教学设想:
(一)复习式导入: 大家首先回顾一下两角和与差的正弦和余弦公式:

cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?



cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?



sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? .
这是两角和与差的余弦和正弦公式, 下面大家思考一下两角和与差的正切公式是怎样的呢? (二)探讨过程: 在前面我们学习了同角三角函数之间的关系,其中就有 tan? ? 由同角三角函数之间的关系,知

sin ? cos ?

tan ?? ? ? ? ?

cos ?? ? ? ?

sin ?? ? ? ?

?

sin ? cos ? ? cos ? sin ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?

通过什么途径可以把上面的式子化成只含有 tan ? 、 tan ? 的形式呢?(分式分子、分 母同时除以 cos ? cos ? ,得到 tan ?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? . 1 ? tan ? tan ?

注意: ? ? ? ?

?
2

? k? ,? ?

?
2

? k? , ? ?

?
2

? k? (k ? z )

为什么要限制它们的范围?思考. 以上我们得到两角和的正切公式,我们能否推倒出两角差的正切公式呢?

tan ?? ? ? ? ? tan ? ?? ? ? ? ? ? ? ??
注意: ? ? ? ? k? ?

1 ? tan ? tan ? ? ? ?

tan ? ? tan ? ? ? ?

?

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

?
2

, ? ? k? ?

?
2

, ? ? k? ?

?
2

?k ? Z ? .

为什么要限制它们的范围?思考.

1

tan ?? ? ? ? ? tan ?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

让学生观察并记忆两角和与差正切公式,并学会逆用以及变形。 (三)例题讲解 例 1、利用和、差角正切公式求 tan75 , tan15 的值. 解:分析:把 75 ,15 构造成两个特殊角的和、差.
? ?

?

?

tan30? ? tan45? tan75 ? tan ? 30 ? 45 ? ? ? 1 ? tan30? ? tan45?
? ? ?

3 ?1 3? 3 3 ? ? 2? 3 3 3? 3 1? ?1 3 3 3 ? 3? 3 ? 2? 3 3 3? 3 1 ? 1? 3 1?

tan45? ? tan30? tan75? ? tan ? 45? ? 30? ? ? ? 1 ? tan45? ? tan30?

点评:把一个具体角构造成两个角的和、差形式,有很多种构造方法,例如:

tan15? ? tan ? 60? ? 45? ? ,要学会灵活运用.
例 2、求下列各式的值: (1)

tan25? ? tan35? ; 1 ? tan25? ? tan35?

(2)

1 ? tan15? 1 ? tan15?
?

分析: (1)可以逆用两角和的正切公式; (2)可以利用 tan 45 ? 1 进行转换。

解: (1)

tan25? ? tan35? ? tan ? 25? ? 35? ? ? tan 60? ? 3 ? ? 1 ? tan25 ? tan35 1 ? tan15? tan45? ? tan15? ? ? tan ? 45? ? 15? ? ? tan 60? ? 3 1 ? tan15? 1 ? tan45? ? tan15?

(2)

点评:考虑逆向思维以及 1 的代换。 例 3、 (07 高考)已知 tan ? 、tan ? 是方程 x ? 1 ? 3 x ? 3 ? 0 的两根,求 tan ?? ? ? ?
2

?

?

的值 分析:利用根与系数之间的关系;因为两角和的正切公式刚好有两个之和与两个之积,这样 可以简化计算。 解: tan ? ? tan ? ? 1 ? 3; tan ? tan ? ? 3
2

tan ?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? 1 ? 3 ? ? ?2 ? 3 1 ? tan ? tan ? 1 ? 3

点评:熟记两角和的正切公式的结构特征。 (四)练习: 1.求

3 ? tan15? 的值; 1 ? 3tan15?

2.教材 P6 面练习 1.1.3 1、2、3 题 (五)小结: 两角和与差的正切公式,首先要认识公式结构的特征,了解公式的推导过程。在解题过 程中注意角 ? 和的象限,也就是符号问题,学会灵活运用. 考虑逆向思维。 (1)牢记公式 (2)在“给值求值”题型中,要能灵活处理已、未知关系. (3)在解题时逆向使用公式往往很重要。 (六)作业: 1.教材 P8 面习题 1.1 1(5) (6) 2.已知 tan ? ?

1 3 , tan ? ? ,且 ? , ? 都是锐角,求 ? ? ? 的值。 7 4

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