北京师范大学附中2013届高三数学一轮复习单元训练:平面向量


北京师范大学附中 2013 届高三数学一轮复习单元训练:平面向量 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 项是符合题目要求的) 1.下列物理量:①质量 A.2 个 【答案】C 2.已知 a, b 均为单位向量,它们的夹角为 60? ,那么 a ? 3b ? ( A. 【答案】A ②速度 B.3 个 ③位移 ④力 ⑤加速度 ⑥路程,其中是向量的有( D.5 个 ) 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一

C.4 个

? ?

?

?

) D.

13

B.

10

C. 4

13

3.在周长为 16 的 ?PMN 中, MN ? 6 ,则 PM ? PN 的取值范围是( ) A. [7, ??) B.(0,16) C. (7,16] D. [7,16) 【答案】D 4.在边长为 3 的等边三角形 ABC 中, CD ? 2 DB ,则 AB ? CD 等于( A. ?3 3 【答案】C 5.12、无论 a B. ?3 C. 3

???? ???? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

)

D. 3 3

? ( x1 , x2 , x3 ) , b ? ( y1 , y2 , y3 ) , c ? ( z1 , z2 , z3 ) ,是否为非零向量,下列命题中
)

恒成立的是(

A. cos ? a, b ??

x1 y1 ? x2 y2 ? x3 y3 x1 ? x2 ? x3 ? y1 ? y2 ? y3
2 2 2 2 2 2

B.若 a // b , c // b ,则 a // c C. (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) D. 【答案】D 0 6.设 e1,e2 是夹角为 45 的两个单位向量,且 a=e1+2e2,b=2e1+e2,,则|a+b|的值( A. 3 2 【答案】D 7.对于非 0 向时 a,b,“a//b”的正确是( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 【答案】A 8.已知 的夹角是( ) ) B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 B.9 C. 18 ? 9 2 D. 3 2 ? 2 )

A.

B.

C.

D.

【答案】C 9.已知向量 a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若λ 为实数,(a+λ b)∥c,则λ =( 1 1 A. B. 4 2 C.1 D.2 【答案】B 10.在 ?ABC 中, AB A.

)

? c, AC ? b 。若点 D 满足 BD ? 2 DC , 则 AD =(
B.

)

2 1 b? c 3 3
??? ?

5 2 c? b 3 3
????

C.

2 1 b? c 3 3

D.

1 2 b? c 3 3
)

【答案】A 11.已知向量 OA ? (4, 6), OB ? (3,5), 且 OC ? OA, AC // OB, 则向量 OC 等于(

??? ?

??? ???? ??? ? ?

????

4? ? 3 2? ? 2 4? ?3 2? ?2 A. ? ? , ? B. ? ? , ? C. ? ,? ? D. ? ,? ? 7 7? 7 21 ? 7 7? 7 21 ? ? ? ? ? 【答案】D 12.如图所示,已知 D 是面积为 1 的△ABC 的边 AB 上任一点,E 是边 AC 上任一点,连接 DE,F

DF ? ?3 DE , ?2 ? ?3 ? ?1 ? AE 是线段 DE 上一点, 连接 BF, AD ? ?1 AB , ? ? 2 AC , 设 且
记△BDF 的面积为 S ? f (?1 , ?2 , ?3 ) ,则 S 的最大值是( )

1 , 2

A.

1 2

B.

1 3

C.

1 1 D. 4 8
共 90 分)

【答案】D 第Ⅱ卷(非选择题
? ?

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.已知 e1 , e 2 是夹角为 的值为 【答案】 .
? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? 的两个单位向量, a ? e1 ? 2 e2 , b ? k e1 ? e2 , 若 a ? b ? 0 ,则 k 3

5 4
10,则 | b |=


14.已知向量 a, b 的夹角为 45°且 | a |? 1,| 2a ? b |? 【答案】 3

2

??? ? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? e1 , e 2 是两个不共线的向量,已知 AB ? 2e1 ? ke2 , CB ? e1 ? 3e2 , CD ? 2e1 ? e2 ,且 15.

A,B,D 三点共线,则实数 k =__________
【答案】 ?8 16.在△ABC 中,若 【答案】 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.已知 e1 , e2 是夹角为 60°的单位向量,且 a (1)求 a ? b ; (2)求 a 与 b 的夹角 ? a, b ? 。 , ,则 的值为___________.

??

?? ?

?

?? ?? ? ? ?? ?? ? ? 2e1 ? e2 , b ? ?3e1 ? 2e2 。

? ?
?

?

? ?

?? ?? ? ? ? 2 ?? ?? ?2 7 (?3e1 ? 2e2 ) =-6 e 1 + e1 ? e2 +2 e 2 = ? ; 2 ? ?? ?? ? ?? ?? 2 ? ? (2) | a |?| 2e1 ? e2 |? (2e1 ? e2 ) ? 7 ,同理得 | b |? 7 ,
【答案】 (1) a ? b =( (2e1 ? e2 ) ?

? ?

?? ?? ?

? ? ? ? ? ? ? ? a ?b 1 所以 cos ? a, b ?? ? ? ? ? ,又 ? a, b ? ?[0,180?] ,所以 ? a, b ? =120°。 2 | a || b |
18.已知 (Ⅰ)若

a ? 1, b ? 2 .

a ∥ b ,求 a ? b ; (Ⅱ)若 a 、 b 的夹角为 60?,求 a ? b ; a ? b 与 a 垂直,求当 k 为何值时, k a ? b ? a ? 2 b ?

(Ⅲ)若

?

? ?

?

【答案】 (Ⅰ) (Ⅱ)

a ? b ? ? a ? b ? ?2

a ? b ? a ? b cos 60? ? 1
2

a?b

? a

2

?a?b? b

2

?6

, ∴

a?b ? 6
2

(Ⅲ) 若 使得

a ? b 与 a 垂直 ∴ a ? b ? a =0 ∴ a ? b ? a ? b ? a ? 2 b ,只要 k a ? b ? a ? 2 b ? 0
? ?2k ? 1? a ? b ? 2 b
2

?

?

?1

?k a
2

? ?

?

?

??

?

即k a ∴k

?0

?3

?? ?? ?? ? ? ? 2 19.已知向量 a =(1,sinx) b =(sin x,cosx) , ,函数 f ( x) ? a ?b , x ? [ 0 , ] 2 (1) 求 f ( x) 的最小值;
(2) 若 f (a) ?

5 ,求 sin2 ? 的值. 6

1 ? cos 2 x sin 2x ? ? 【答案】 (1) f ( x ) ? sin x ? sin x cos x ? 2 2
2

2 sin (2 x ? 2

?
4

)?1

∵ x ? [0, ∴ 2x ? 当 2x ?

?
2

]

?
4

?[ ?

?
4

,

3? ] 4

?
4

??

?
4

,即 x = 0 时, f ( x) 有最小值 0

(2) f (a ) ? ∵ ? ?[0,

2 sin (2? ? 2

?
4

)?1

?

5 ? 2 ,得 sin (2? ? ) ? 6 4 3

?
2

] , 2? ?

?
4

?[ ?

?

3? ] 4 4 ,

又 0 ? sin (2? ?

?
4

)?

2 2 ? 3 2

∴ 2? ?

?
4

? (0,

?
4

) ,得 cos (2? ?

?
4

) ? 1? (

2 2 7 ) ? 3 3

sin 2? ? sin (2? ?
20.已知向量 a (1)求 (2)若

?

? 2 ? ? 2 ? 14 ? )? [sin ( 2? ? ) ? cos ( 2? ? )] ? 4 4 2 4 4 6

? (1, y ), b ? (1,?3), 且(2a ? b) ? b 。

?k a ? 2b?//?2a ? 4b? ,求 k 的值。
? 2,? a ? 5
? (k ? 2,2k ? 6),2a ? 4b ? (?2,16) ? k ? ?1.

a;

【答案】 (1) 2a ? b ? (3,2 y ? 3),? y (2) k a ? b

21.已知 A(3,0),B(0,3),C(cos α ,sin α ). π (1)若·=-1,求 sin?α + ?的值; 4? ? (2)]O 为坐标原点,若 OA ? OC = 13,且α ∈(0,π ),求与的夹角. 【答案】(1) AC =(cos α -3,sin α ), BC =(cos α ,sin α -3),

??? ???? ?

????
2

??? ?

???? ??? ? AC ?BC =(cos α -3)·cos α +sin α (sin α -3)=-1,
2

得 sin α +cos α -3(sin α +cos α )=-1, π 2 所以 sin?α + ?= . 4? 3 ? (2)因为 OA ? OC = 13, 所以(3-cos α ) +sin α =13, 1 所以 cos α =- , 2 因为α ∈(0,π ),所以α = 2π 3 ,sin α = , 3 2
2 2

??? ???? ?

3? ? 1 所以 C?- , ?, ? 2 2?

OC = 所以 OB?

??? ???? ?

??? ???? ? OB? OC 3 设与的夹角为θ ,则 cos ? = ??? ???? = , ? 2 OB OC
因为θ ∈(0,π ),所以θ = 22. 已知 (Ⅰ)求函数 , 向量 解析式,并求当 a>0 时, 的单调递增区间; π 为所求. 6 , , .

3 3 , 2

(Ⅱ)当 【答案】 (Ⅰ)

时,

的最大值为 5,求 a 的值.

.

.

(Ⅱ)

,当

时,

.



最大值为

,则

.



的最大值为

,则

.


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