2014《步步高》高考数学第一轮复习12 随机事件的概率


§ 12.1
2014 高考会这样考

随机事件的概率

1.考查随机事件的概率,以选择或填空题形式出现;2.考查互斥事件、

对立事件的概率;3.和统计知识相结合,考查概率与统计的综合应用. 复习备考要这样做 1.理解随机事件、互斥事件、对立事件的关系;2.理解频率和概率的含

义;3.熟练掌握概率运算公式,并能根据事件特点灵活应用.

1. 随机事件和确定事件 (1)在条件 S 下,一定会发生的事件,叫做相对于条件 S 的必然事件. (2)在条件 S 下,一定不会发生的事件,叫做相对于条件 S 的不可能事件. (3)必然事件与不可能事件统称为相对于条件 S 的确定事件. (4)在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件,叫做相对于条件 S 的随机事件. (5)确定事件和随机事件统称为事件,一般用大写字母 A,B,C?表示. 2. 频率与概率 (1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验, 观察某一事件 A 是否出现, n 次试验中事件 A 出 称 nA 现的次数 nA 为事件 A 出现的频数, 称事件 A 出现的比例 fn(A)= 为事件 A 出现的频率. n (2)对于给定的随机事件 A,如果随着试验次数的增加,事件 A 发生的频率 fn(A)稳定在某 个常数上,把这个常数记作 P(A),称为事件 A 的概率,简称为 A 的概率. 3. 事件的关系与运算 定义 包含关系 相等关系 并事件 如果事件 A 发生,则事件 B 一定发生,这时称 事件 B 包含事件 A(或称事件 A 包含于事件 B) 若 B?A 且 A?B 若某事件发生当且仅当事件 A 发生或事件 B 发 B?A(或 A?B) A=B A∪B(或 A+B) 符号表示

(和事件)

生,称此事件为事件 A 与事件 B 的并事件(或和 事件)

交事件 (积事件) 互斥事件

若某事件发生当且仅当事件 A 发生且事件 B 发 生,则称此事件为事件 A 与事件 B 的交事件(或 积事件) 若 A∩B 为不可能事件, 则事件 A 与事件 B 互斥 若 A∩B 为不可能事件,A∪B 为必然事件,那 么称事件 A 与事件 B 互为对立事件 A∩B=? A∩B=? P(A∪B)= P(A)+P(B)=1 A∩B(或 AB)

对立事件

4. 概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围:0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率 P(E)=1. (3)不可能事件的概率 P(F)=0. (4)互斥事件概率的加法公式 ①如果事件 A 与事件 B 互斥,则 P(A∪B)=P(A)+P(B). ②若事件 B 与事件 A 互为对立事件,则 P(A)=1-P(B). [难点正本 疑点清源] 1. 频率和概率 (1)频率与概率有本质的区别,不可混为一谈.频率随着试验次数的改变而变化,概率却 是一个常数,它是频率的科学抽象.当试验次数越来越多时,频率向概率靠近,只要次 数足够多,所得频率就可以近似地当作随机事件的概率. (2)概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小;概率的定义实际上也是求一个事 件的概率的基本方法. 2. 互斥事件与对立事件 互斥事件与对立事件都是两个事件的关系,互斥事件是不可能同时发生的两个事件,而 对立事件除要求这两个事件不同时发生外,还要求二者之一必须有一个发生,因此,对 立事件是互斥事件的特殊情况,而互斥事件未必是对立事件,即“互斥”是“对立”的 必要但不充分条件,而“对立”则是“互斥”的充分但不必要条件.

1. 对飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹.设 A={两次都击中飞机},B={两次都没击 中飞机},C={恰有一弹击中飞机},D={至少有一弹击中飞机},其中彼此互斥的事件 是________,互为对立事件的是________. 答案 A 与 B,A 与 C,B 与 C,B 与 D B 与 D 解析 设 I 为对飞机连续射击两次所发生的所有情况,因为 A∩B=?,A∩C=?,B∩C

=?,B∩D=?. 故 A 与 B,A 与 C,B 与 C,B 与 D 为彼此互斥事件,而 B∩D=?,B∪D=I,故 B 与 D 互为对立事件. 2. 给出下列三个命题,其中正确命题有________个. ①有一大批产品,已知次品率为 10%,从中任取 100 件,必有 10 件是次品;②做 7 次 抛硬币的试验,结果 3 次出现正面, 3 因此正面出现的概率是 ;③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率. 7 答案 0 3 解析 ①错,不一定是 10 件次品;②错, 是频率而非概率;③错,频率不等于概率, 7 这是两个不同的概念. m m 3. 在 n 次重复进行的试验中, 事件 A 发生的频率为 , n 很大时, 当 P(A)与 的关系是( n n m A.P(A)≈ n m C.P(A)> n 答案 A 解析 在 n 次重复进行的试验中,试验次数很大时,频率可近似当作随机事件的概率. 4. 从装有 5 个红球和 3 个白球的口袋内任取 3 个球,那么互斥而不对立的事件是( A.至少有一个红球与都是红球 B.至少有一个红球与都是白球 C.至少有一个红球与至少有一个白球 D.恰有一个红球与恰有两个红球 答案 D 5. 某射手的一次射击中,射中 10 环、9 环、8 环的概率分别为 0.2、0.3、0.1,则此射手在 一次射击中不超过 8 环的概率为 A.0.5 答案 A 解析 依题设知,此射手在一次射击中不超过 8 环的概率为 1-(0.2+0.3)=0.5. B.0.3 C.0.6 D.0.9 ( ) ) m B.P(A)< n m D.P(A)= n )

题型一 事件的关系及运算 例1 判断下列给出的每对事件, 是互斥事件还是对立事件, 并说明理由. 40 张扑克牌(红 从

桃、黑桃、方块、梅花点数从 1~10 各 10 张)中,任取一张. (1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”; (2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”; (3)“抽出的牌点数为 5 的倍数”与“抽出的牌点数大于 9”. 思维启迪:判断事件之间的关系可以紧扣事件的分类,结合互斥事件,对立事件的定义 进行分析. 解 (1)是互斥事件,不是对立事件.

原因: 40 张扑克牌中任意抽取 1 张, 从 “抽出红桃”与“抽出黑桃”是不可能同时发生 的,所以是互斥事件,但是,不能保证其中必有一个发生,这是由于还有可能抽出“方 块”或者“梅花”,因此,二者不是对立事件. (2)既是互斥事件,又是对立事件. 原因:从 40 张扑克牌中,任意抽取 1 张.“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不 可能同时发生,但其中必有一个发生,所以它们既是互斥事件,又是对立事件. (3)既不是互斥事件,也不是对立事件. 原因: 40 张扑克牌中任意抽取 1 张. 从 “抽出的牌点数为 5 的倍数”与“抽出的牌点数 大于 9”这两个事件可能同时发生,如抽得点数为 10,因此,二者不是互斥事件,当然 不可能是对立事件. 某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅,记事件 A 为“只订甲报纸”,事件 B 为“至少订一种报纸”,事件 C 为“至多订一种报纸”,事件 D 为“不订甲报纸”, 事件 E 为“一种报纸也不订”.判断下列每对事件是不是互斥事件;如果是,再判断它 们是不是对立事件. (1)A 与 C;(2)B 与 E;(3)B 与 C;(4)C 与 E. 解 (1)由于事件 C“至多订一种报纸”中有可能“只订甲报纸”, 即事件 A 与事件 C 有

可能同时发生,故 A 与 C 不是互斥事件. (2)事件 B“至少订一种报纸”与事件 E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的,故 B 与 E 是互斥事件. 由于事件 B 不发生可导致事件 E 一定发生, 且事件 E 不发生会导致事 件 B 一定发生,故 B 与 E 还是对立事件. (3)事件 B“至少订一种报纸”中有这些可能:“只订甲报纸”、“只订乙报纸”、“订 甲、乙两种报纸”,事件 C“至多订一种报纸”中有这些可能:“一种报纸也不订”、 “只订甲报纸”、“只订乙报纸”,由于这两个事件可能同时发生,故 B 与 C 不是互斥 事件. (4)由(3)的分析,事件 E“一种报纸也不订”是事件 C 的一种可能,即事件 C 与事件 E 有可能同时发生,故 C 与 E 不是互斥事件. 题型二 随机事件的频率与概率

例2

某企业生产的乒乓球被 2012 年伦敦奥运会指定为乒乓球比赛专用球,目前有关部门

对某批产品进行了抽样检测,检查结果如下表所示: 抽取球数 n 优等品数 m m 优等品频率 n (1)计算表中乒乓球优等品的频率; (2)从这批乒乓球产品中任取一个, 质量检查为优等品的概率是多少?(结果保留到小数点 后三位) 思维启迪:可以利用公式计算频率,在试验次数很大时,用频率来估计概率. 解 (1) 依 据 公 式 f = m ,计算出表中乒乓球优等品的频率依次是 n 50 45 100 92 200 194 500 470 1 000 954 2 000 1 902

0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951. (2)由(1)知,抽取的球数 n 不同,计算得到的频率值不同,但随着抽取球数的增多,频率 在常数 0.950 的附近摆动,所以质量检查为优等品的概率约为 0.950. 探究提高 频率是个不确定的数,在一定程度上频率可以反映事件发生的可能性大小, 但无法从根本上刻画事件发生的可能性大小.但从大量重复试验中发现,随着试验次数 的增多,事件发生的频率就会稳定于某一固定的值,该值就是概率. 某市统计的 2009~2012 年新生婴儿数及其中男婴数(单位:人)见下表: 时间 新生婴儿数 男婴数 2009 年 21 840 11 453 2010 年 23 070 12 031 2011 年 20 094 10 297 2012 年 19 982 10 242

(1)试计算男婴各年的出生频率(精确到 0.001); (2)该市男婴出生的概率约是多少? 解 nA 11 453 (1)2009 年男婴出生的频率为 fn(A)= = n 21 840

≈0.524. 同理可求得 2010 年、2011 年和 2012 年男婴出生的频率分别约为 0.521、0.512、0.513. (2)由以上计算可知,各年男婴出生的频率在 0.51~0.53 之间,所以该市男婴出生的概率 约为 0.52. 题型三 互斥事件、对立事件的概率 例3 某商场有奖销售中,购满 100 元商品得 1 张奖券,多购多得.1 000 张奖券为一个开奖 单位,设特等奖 1 个,一等奖 10 个,二等奖 50 个.设 1 张奖券中特等奖、一等奖、二 等奖的事件分别为 A、B、C,求: (1)P(A),P(B),P(C);

(2)1 张奖券的中奖概率; (3)1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率. 思维启迪:明确事件的特征、分析事件间的关系,根据互斥事件或对立事件求解. 解 (1)P(A)= 1 10 1 ,P(B)= = , 1 000 1 000 100

P(C)=

50 1 = . 1 000 20

1 1 1 故事件 A,B,C 的概率分别为 , , . 1 000 100 20 (2)1 张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖.设“1 张奖券中奖”这个事件为 M, 则 M=A∪B∪C. ∵A、B、C 两两互斥, ∴P(M)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C) = 1+10+50 61 = . 1 000 1 000 61 . 1 000

故 1 张奖券的中奖概率为

(3)设“1 张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件 N,则事件 N 与“1 张奖券中特等奖 或中一等奖”为对立事件, 1 1 989 ∴P(N)=1-P(A∪B)=1-?1 000+100?= ? ? 1 000. 989 故 1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为 . 1 000 探究提高 (1)解决此类问题,首先应结合互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥

事件或对立事件,再选择概率公式进行计算. (2)求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法:一是直接求解法,将所求事件的概率分解 为一些彼此互斥的事件的概率的和,运用互斥事件的求和公式计算;二是间接求法,先 求此事件的对立事件的概率,再用公式 P(A)=1-P( A )计算. 某医院一天派出医生下乡医疗,派出医生人数及其概率如下: 医生人数 概率 0 0.1 1 0.16 2 x 3 y 4 0.2 5 人及以上 z

(1)若派出医生不超过 2 人的概率为 0.56,求 x 的值; (2)若派出医生最多 4 人的概率为 0.96,最少 3 人的概率为 0.44,求 y、z 的值. 解 (1)由派出医生不超过 2 人的概率为 0.56,得

0.1+0.16+x=0.56, ∴x=0.3.

(2)由派出医生最多 4 人的概率为 0.96,得 0.96+z=1,∴z=0.04. 由派出医生最少 3 人的概率为 0.44,得 y+0.2+0.04=0.44, ∴y=0.44-0.2-0.04=0.2.

高考中的随机事件问题

典例:(12 分)(2011· 陕西)如图,A 地到火车站共有两条路径 L1 和 L2, 现随机抽取 100 位从 A 地到达火车站的人进行调查,调查结果 如下: 所用时间(分钟) 选择 L1 的人数 选择 L2 的人数 10~20 6 0 20~30 12 4 30~40 18 16 40~50 12 16 50~60 12 4

(1)试估计 40 分钟内不能赶到火车站的概率; .. (2)分别求通过路径 L1 和 L2 所用时间落在上表中各时间段内的频率; (3)现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许 的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径. 考点分析 本题考查了随机事件的频率、概率的含义及计算,考查了实际应用能力. 解题策略 (1)读懂所给表格,确定不能赶到火车站的人数所在的区间,用相应的频率作

为所求概率的估计值;(2)根据频率的计算公式计算;(3)计算选择不同的路径,在允许的 时间内赶往火车站的概率,通过比较概率的大小确定选择的最佳路径. 规范解答 解 (1)由已知共调查了 100 人,其中 40 分钟内不能赶到火车站的有 12+12+16+4=

44(人), ∴用频率估计相应的概率为 0.44.[3 分] (2)选择 L1 的有 60 人,选择 L2 的有 40 人, 故由调查结果得频率为 所用时间(分钟) L1 的频率 L2 的频率 10~20 0.1 0 20~30 0.2 0.1 30~40 0.3 0.4 40~50 0.2 0.4 50~60 0.2 0.1 [6 分] (3)设 A1,A2 分别表示甲选择 L1 和 L2 时,在 40 分钟内赶到火车站;B1,B2 分别表示乙

选择 L1 和 L2 时,在 50 分钟内赶到火车站.由(2)知 P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6, P(A2)=0.1+0.4=0.5,[10 分] ∵P(A1)>P(A2),∴甲应选择 L1. 同理,P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8, P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9, ∵P(B1)<P(B2),∴乙应选择 L2.[12 分] 解后反思 (1)在求解随机事件问题时,要注意频率、概率的区别.

(2)对复杂事件概率的计算,可以先把事件转化为几个互斥事件的和.

方法与技巧 1. 对于给定的随机事件 A,由于事件 A 发生的频率 fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率 P(A),因此可以用频率 fn(A)来估计概率 P(A). 2. 从集合角度理解互斥和对立事件 从集合的角度看,几个事件彼此互斥,是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交 集为空集,事件 A 的对立事件 A 所含的结果组成的集合,是全集中由事件 A 所含的结 果组成的集合的补集. 失误与防范 1. 正确认识互斥事件与对立事件的关系:对立事件是互斥事件,是互斥中的特殊情况,但 互斥事件不一定是对立事件,“互斥”是“对立”的必要不充分条件. 2. 需准确理解题意, 特别留心“至多??”,“至少??”, “不少于??”等语句的含义.

A 组 专项基础训练 (时间:35 分钟,满分:57 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1. 若在同等条件下进行 n 次重复试验得到某个事件 A 发生的频率 f(n),则随着 n 的逐渐增 加,有 A.f(n)与某个常数相等 B.f(n)与某个常数的差逐渐减小 C.f(n)与某个常数差的绝对值逐渐减小 D.f(n)在某个常数附近摆动并趋于稳定 ( )

答案 D 解析 随着 n 的增大,频率 f(n)会在概率附近摆动并趋于稳定,这也是频率与概率的关 系. 2. 一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数字 1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷 1 次, 设事件 A 表示向上的一面出现奇数点,事件 B 表示向上的一面出现的点数不超过 3,事 件 C 表示向上的一面出现的点数不小于 4,则 A.A 与 B 是互斥而非对立事件 B.A 与 B 是对立事件 C.B 与 C 是互斥而非对立事件 D.B 与 C 是对立事件 答案 D 解析 根据互斥与对立的意义作答,A∩B={出现点数 1 或 3},事件 A,B 不互斥更不 对立;B∩C=?,B∪C=Ω(Ω 为基本事件的集合),故事件 B,C 是对立事件. 3. 从一篮子鸡蛋中任取 1 个,如果其重量小于 30 克的概率为 0.3,重量在[30,40]克的概率 为 0.5,那么重量不小于 30 克的概率为 A.0.3 答案 D 解析 由互斥事件概率加法公式知:重量在(40,+∞)的概率为 1-0.3-0.5=0.2,∵0.5 +0.2=0.7,∴重量不小于 30 克的概率为 0.7. 4. 袋中装有 3 个白球,4 个黑球,从中任取 3 个球,则 ①恰有 1 个白球和全是白球; ②至少有 1 个白球和全是黑球; ③至少有 1 个白球和至少有 2 个白球; ④至少有 1 个白球和至少有 1 个黑球. 在上述事件中,是对立事件的为 A.① 答案 B 解析 因为至少有 1 个白球和全是黑球不可能同时发生,且必有一个发生,属于对立事 件. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 5. 口袋内装有一些大小相同的红球、 白球和黑球, 从中摸出 1 个球, 摸出红球的概率为 0.42, 摸出白球的概率为 0.28,若红球有 21 个,则黑球有________个. 答案 15 解析 1-0.42-0.28=0.30,21÷ 0.42=50, B.② C.③ D.④ ( ) B.0.5 C.0.8 D.0.7 ( ) ( )

50×0.30=15. 6. 非空集合 A、B 满足 A?B,在此条件下给出以下四个命题: ①任取 x∈A,则 x∈B 是必然事件; ②若 xD∈/A,则 x∈B 是不可能事件; ③任取 x∈B,则 x∈A 是随机事件; ④若 xD∈/B,则 xD∈/A 是必然事件. 上述命题中正确命题的序号是________. 答案 ①③④ 解析 由 A?B 可知存在 x0∈B 而 x0D∈/A, 所以, xD∈/A, x∈B 是不可能事件” “若 则 是假命题;命题①③④都是真命题. 7. 已知某台纺纱机在 1 小时内发生 0 次、1 次、2 次断头的概率分别是 0.8、0.12、0.05,则 这台纺纱机在 1 小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为 __________,________. 答案 0.97 0.03 解析 断头不超过两次的概率 P1=0.8+0.12+0.05=0.97. 于是,断头超过两次的概率 P2=1-P1=1-0.97=0.03. 三、解答题(共 22 分) 8. (10 分)袋中有 12 个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,得到红球的 1 5 5 概率是 ,黑球或黄球的概率是 ,绿球或黄球的概率也是 .求从中任取一球,得到黑 3 12 12 球、黄球和绿球的概率分别是多少? 解 从袋中任取一球,记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分

5 别为 A,B,C,D,则事件 A,B,C,D 彼此互斥,所以有 P(B+C)=P(B)+P(C)= , 12 5 1 2 P(D+C)=P(D)+P(C)= ,P(B+C+D)=P(B)+P(C)+P(D)=1-P(A)=1- = , 12 3 3 1 1 1 解得 P(B)= ,P(C)= ,P(D)= . 4 6 4 1 1 1 故从中任取一球,得到黑球、黄球和绿球的概率分别是 , , . 4 6 4 9. (12 分)我国已经正式加入 WTO, 包括汽车在内的进口商品将最多把关税全部降低到世贸 组织所要求的水平,其中有 21%的进口商品恰好 5 年关税达到要求,18%的进口商品恰 好 4 年达到要求,其余的进口商品将在 3 年或 3 年内达到要求,求进口汽车在不超过 4 年的时间内关税达到要求的概率. 解 方法一 设“进口汽车恰好 4 年关税达到要求”为事件 A,“不到 4 年达到要求”

为事件 B,则“进口汽车不超过 4 年的时间内关税达到要求”就是事件 A+B,显然 A 与 B 是互斥事件,所以 P(A+B)=P(A)+P(B)=18%+(1-21%-18%)=79%. 方法二 设“进口汽车在不超过 4 年的时间内关税达到要求”为事件 M,则 M 为“进 口汽车 5 年关税达到要求”, 所以 P(M)=1-P( M )=1-21%=79%. B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟,满分:43 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 15 分) 1. 甲:A1、A2 是互斥事件;乙:A1、A2 是对立事件.那么 A.甲是乙的充分但不必要条件 B.甲是乙的必要但不充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件 答案 B 解析 根据互斥事件和对立事件的概念可知互斥事件不一定是对立事件,对立事件一定 是互斥事件. 1 1 2. 已知甲、乙两人下棋,和棋的概率为 ,乙胜的概率为 ,则甲胜的概率和甲不输的概率 2 3 分别为 1 1 A. , 6 6 答案 C 1 1 1 解析 “甲胜”是“和棋或乙胜”的对立事件,所以“甲胜”的概率为 1- - = . 2 3 6 设“甲不输”为事件 A,可看做是“甲胜”与“和棋”这两个互斥事件的和事件,所以 1 1 2 P(A)= + = .(或设“甲不输”为事件 A, 可看做是“乙胜”的对立事件, 所以 P(A)=1 6 2 3 1 2 - = ) 3 3 3. 在一次随机试验中,彼此互斥的事件 A、B、C、D 的概率分别是 0.2、0.2、0.3、0.3,则 下列说法正确的是 A.A+B 与 C 是互斥事件,也是对立事件 B.B+C 与 D 是互斥事件,也是对立事件 C.A+C 与 B+D 是互斥事件,但不是对立事件 D.A 与 B+C+D 是互斥事件,也是对立事件 答案 D ( ) 1 2 B. , 2 3 1 2 C. , 6 3 2 1 D. , 3 2 ( ) ( )

解析 由于 A,B,C,D 彼此互斥,且 A+B+C+D 是一个必然事件, 故其事件的关系可由如图所示的 Venn 图表示,由图可知,任何一个事 件与其余 3 个事件的和事件必然是对立事件,任何两个事件的和事件与 其余两个事件的和事件也是对立事件.故选 D. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 4. 某学校成立了数学、英语、音乐 3 个课外兴趣小组,3 个小组分别 有 39、32、33 个成员,一些成员参加了不止一个小组,具体情况 如图所示. 现随机选取一个成员,他属于至少 2 个小组的概率是________,他 属于不超过 2 个小组的概率是________. 答案 3 13 5 15

解析 “至少 2 个小组”包含“2 个小组”和“3 个小组”两种情况,故他属于至少 2 个小组的概率为 11+10+7+8 3 P= = . 6+7+8+8+10+10+11 5 “不超过 2 个小组”包含“1 个小组”和“2 个小组”,其对立事件是“3 个小组”. 故他属于不超过 2 个小组的概率是 8 13 P=1- = . 6+7+8+8+10+10+11 15 5. (2012· 江苏)现有 10 个数,它们能构成一个以 1 为首项,-3 为公比的等比数列,若从这 10 个数中随机抽取一个数,则它小于 8 的概率是________. 答案 3 5

解析 这 10 个数分别为 1,-3,9,-27,81,?,(-3)8,(-3)9,小于 8 的数有 6 个, 6 3 所以 P(小于 8)= = . 10 5 6. 某中学部分学生参加全国高中数学竞赛取得了优异成绩,指导老师统计了所有参赛同学 的成绩(成绩都为整数,试题满分 120 分),并且绘制了条形统计图(如下图所示),则该中 学参加本次数学竞赛的人数为________,如果 90 分以上(含 90 分)获奖,那么获奖的概 率大约是________.

答案 32 0.437 5 解析 由题图可知, 参加本次竞赛的人数为 4+6+8+7+5+2=32; 分以上的人数为 90 14 7+5+2=14,所以获奖的频率为 =0.437 5,即本次竞赛获奖的概率大约是 0.437 5. 32 三、解答题 7. (13 分)小明打算从 A 种和 B 种两种花样滑冰动作中选择一种参加比赛.已知小明选择 A 种动作的概率是选择 B 种动作的概率的 3 倍, 若小明选择 A 种动作并正常发挥可获得 10 分, 没有正常发挥只能获得 6 分; 若小明选择 B 种动作则一定能正确发挥并获得 8 分. 据 平时训练成绩统计,小明能正常发挥 A 种动作的概率是 0.8. (1)求小明选择 A 种动作的概率; (2)求小明比赛时获得的分数不低于 8 分的概率. 解 (1)设小明选择 A 种动作的概率为 P(A), 选择 B 种动作的概率为 P(B), 由题意知 P(A)

=3P(B),P(A)+P(B)=1,解得 P(A)=0.75. (2)依题意知:小明比赛时可能的得分为 6 分、8 分、10 分. 小明得 8 分的概率为 P1=0.25,得 10 分的概率为 P2=0.75×0.8=0.6. 因此小明比赛时获得的分数不低于 8 分的概率 P=P1+P2=0.25+0.6=0.85.


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