2018版高考数学一轮总复习第5章数列5.2等差数列及其前n项和模拟演练文


2018 版高考数学一轮总复习 第 5 章 数列 5.2 等差数列及其前 n 项 和模拟演练 文
[A 级 基础达标](时间:40 分钟) 1.已知等差数列{an}中,a4+a5=a3,a7=-2,则 a9=( A.-8 B.-6 C.-4 D.-2 答案 B
?2a1+7d=a1+2d, ? 解析 解法一: 由已知可得? ? ?a1+6d=-2,

)

解得 a1=10, d=-2, 所以 a9=10+(-

2)×8=-6,选 B. 解法二:因为 a4+a5=a3,所以 a3+a6=a3,a6=0,又 a7=-2,所以 d=-2,a9=-2 +(-2)×2=-6,选 B. 2.{an}为等差数列,Sn 为其前 n 项和,a7=5,S7=21,则 S10=( A.40 B.35 C.30 答案 A 7?a1+a7? 2 解析 由 S7= =21,所以 a1=1,又 a7=a1+6d.所以 d= ,故 S10=10a1+ 2 3 10?10-1? 2 × =40.选 A. 2 3 3 3.[2017·太原模拟]在单调递增的等差数列{an}中,若 a3=1,a2a4= ,则 a1=( 4 1 A.-1 B.0 C. 4 答案 B 解析 公差 d= 3 1 3 由题知,a2+a4=2a3=2,又∵a2a4= ,数列{an}单调递增,∴a2= ,a4= ,∴ 4 2 2 2 = , 2 1 D. 2 ) D.28 )

a4-a2 1

∴a1=a2-d=0. 4.[2017·沈阳质量监测]设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 a1=1,公差 d=2,Sn+2 -Sn=36,则 n=( 答案 D 解析 解法一:由题知 Sn=na1+
2 2

)

A.5 B.6 C.7 D.8

n?n-1? d=n+n(n-1)=n2,Sn+2=(n+2)2,由 Sn+2
2

-Sn=36,得(n+2) -n =4n+4=36,所以 n=8. 解法二:Sn+2-Sn=an+1+an+2=2a1+(2n+1)d=2+2(2n+1)=36,解得 n=8. 5.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 a1=-11,a4+a6=-6,则当 Sn 取最小值时,n 等于( ) A.6 B.7 C.8 D.9
1

答案 A 解析 设等差数列{an}的公差为 d,∵a4+a6=-6, ∴a5=-3,∴d=

a5-a1
5-1

=2,∴a6=-1<0,a7=1>0,故当等差数列{an}的前 n 项和 Sn

取得最小值时,n 等于 6. 1 6.[2017·温州模拟]在等差数列{an}中,a9= a12+6,则数列{an}的前 11 项和 S11 等于 2 ________. 答案 132 11?a1+a11? 1 1 解析 S11= =11a6, 设公差为 d, 由 a9= a12+6, 得 a6+3d= (a6+6d)+6, 2 2 2 解得 a6=12,所以 S11=11×12=132. 7. 已知等差数列{an}中, an≠0, 若 n≥2 且 an-1+an+1-an=0, S2n-1=38, 则 n 等于________. 答案 10 解析 ∵2an=an-1+an+1,又 an-1+an+1-an=0, ∴2an-an=0,即 an(2-an)=0.∵an≠0,∴an=2. ∴S2n-1=2(2n-1)=38,解得 n=10. 8.已知数列{an}中,a3=7,a7=3,且? 答案 7 3
? ?
2 2 2

1 ? ?是等差数列,则 a10=________. ?an-1?

解析 设等差数列? 则

1 ? ?的公差为 d, ?an-1?

1 1 1 1 = , = . a3-1 6 a7-1 2
?

∵? ∴ 故

1 ? ?是等差数列, ?an-1? 1 1 1 1 1 = +4d,即 = +4d,解得 d= , a7-1 a3-1 2 6 12 1

a10-1 a3-1



1

1 1 3 7 +7d= +7× = ,解得 a10= . 6 12 4 3

9.[2016·全国卷Ⅱ ]等差数列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6. (1)求{an}的通项公式; (2)设 bn=[an],求数列{bn}的前 10 项和,其中[x]表示不超过 x 的最大整数,如[0.9] =0,[2.6]=2. 解 2 (1)设数列{an}的公差为 d,由题意有 2a1+5d=4,a1+5d=3,解得 a1=1,d= , 5 2n+3 . 5

所以{an}的通项公式为 an= (2)由(1)知,bn=?

?2n+3?. ? ? 5 ?
2

2n+3 当 n=1,2,3 时,1≤ <2,bn=1; 5 2n+3 当 n=4,5 时,2< <3,bn=2; 5 2n+3 当 n=6,7,8 时,3≤ <4,bn=3; 5 2n+3 当 n=9,10 时,4< <5,bn=4. 5 所以数列{bn}的前 10 项和为 1×3+2×2+3×3+4×2=24. 10.设数列{an}的前 n 项积为 Tn,且 Tn+2an=2(n∈N ).
?1? (1)求证:数列? ?是等差数列; ?Tn?
*

(2)设 bn=(1-an)(1-an+1),求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 解 (1)证明:∵Tn+2an=2, ∴当 n=1 时,T1+2a1=2, 2 1 3 ∴T1= ,即 = . 3 T1 2 又当 n≥2 时,Tn=2-2× 2Tn-1-2Tn, 1 1 1 ∴ - = , Tn Tn-1 2
?1? 3 1 ∴数列? ?是以 为首项, 为公差的等差数列. 2 2 ?Tn? ?1? (2)由(1)知,数列? ?为等差数列, ?Tn?

Tn ,得 Tn·Tn-1= Tn-1

1 3 1 n+2 ∴ = + (n-1)= , Tn 2 2 2 2-Tn n+1 ∴an= = , 2 n+2 1 1 1 ∴bn=(1-an)(1-an+1)= = - , ?n+2??n+3? n+2 n+3

?1 1? ?1 1? ? 1 - 1 ?=1- 1 = n . ∴Sn=? - ?+? - ?+…+? ? 3 4 4 5 ? ? ? ? ?n+2 n+3? 3 n+3 3n+9
[B 级 知能提升](时间:20 分钟) 11.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a2+a4+a9=24,则 S9=( A.36 B.72 C.144 D.70 答案 B 解析 解法一:由 a2+a4+a9=24,得 3a1+12d=24(其中 d 为{an}的公差),即 a1+4d =8,即 a5=8,所以 S9= )

a1+a9
2

×9=9a5=72.

解法二:∵a1+a5=a2+a4,∴a2+a4+a9=a1+a5+a9=3a5=24,∴a5=8,∴S9=9a5=72.
3

12.若两个等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别是 Sn,Tn,已知 = A. 2 3 B. D. 27 8 21 4

Sn 7n a5 ,则 =( Tn n+3 b5

)

C.7 答案 D

9?a1+a9? 2 a5 2a5 a1+a9 S9 7×9 21 解析 = = = = = = . b5 2b5 b1+b9 9?b1+b9? T9 9+3 4 2 13.[2017·贵阳检测]等差数列{an}中,a1=20,若仅当 n=8 时,数列{an}的前 n 项和

Sn 取得最大值,则该等差数列的公差 d 的取值范围为________.
5? ? 20 答案 ?- ,- ? 7 2

?

?
所以?
?a8>0, ? ? ?a9<0,

解析 由题意知?
?a1+7d>0, ? ? ? ?a1+8d<0,

?S8>S7, ? ? ?S8>S9,

?20+7d>0, ? 即? ? ?20+8d<0,

20 5 所以- <d<- . 7 2
n+1

14.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2an-2 (1)证明:数列? n?是等差数列; ?2 ?
?an?
2

.

(2)若不等式 2n -n-3<(5-λ )an 对任意的 n∈N 恒成立,求 λ 的取值范围. 解 (1)证明:当 n=1 时,S1=2a1-2 ,得 a1=4.
n
2

*

Sn=2an-2n+1,
当 n≥2 时,Sn-1=2an-1-2 ,两式相减得

an=2an-2an-1-2n,即 an=2an-1+2n,
?an? an an-1 2an-1+2 an-1 an-1 an-1 a1 所以 n- n-1= - n-1= n-1+1- n-1=1,又 1=2,所以数列? n?是以 2 为首项, n 2 2 2 2 2 2 2 ?2 ?
n

1 为公差的等差数列. (2)由(1)知 n=n+1,即 an=n·2 +2 . 2 因为 an>0,所以不等式 2n -n-3<(5-λ )an 等价于 2n-3 5-λ > n . 2 2n-1 n+1 2n-3 1 1 bn+1 2 2n-1 b3 3 记 bn= n ,b1=- ,b2= ,当 n≥2 时, = = ,则 = ,即 b3>b2, 2 2 4 bn 2n-3 4n-6 b2 2 n 2
2

an

n

n

4

所以当 n≥3 时,

bn+1 3 37 <1,所以(bn)max=b3= ,所以 λ < . bn 8 8

5


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