江苏省盐城市2016届高三年级第三次模拟考试数学试卷


盐城市 2016 届高三年级第三次模拟考试 数 学 试 题
(总分 160 分,考试时间 120 分钟)
参考公式 1.锥体的体积公式: V ?

1 Sh ,其中 S 为底面积, h 为高. 3

2. 样本数据 x1 , x2 , ???, xn 的方差 s 2 ?

1 n 1 n 2 2 , 标准差为 , 其中 ( x ? x ) x ? s ? i ? xi . n i ?1 n i ?1

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 不需写出解答过程,请把答案写在 答题纸的指定位置上) 1.已知集合 A ? {1, 2,3, 4,5} , B ? {1,3,5,7,9} , C ? A ? B ,则集合 C 的子集的个数 为 ▲ . ▲ .

2.若复数 z 满足 (2 ? i) z ? 4 ? 3i ( i 为虚数单位) ,则 | z |?

3.甲、乙两盒中各有除颜色外完全相同的 2 个红球和 1 个白球,现从两盒中随机各取一个 球,则至少有一个红球的概率为 ▲ . S←0 4.已知一组数据 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 的方差是 2 ,则数据 2 x1 , 2 x2 , 2 x3 , 2 x4 , 2 x5 i←1 的标准差为 ▲ . While S≤20 5.如图所示,该伪代码运行的结果为 ▲ . S←S+i x2 y 2 6.以双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点 F 为圆心,a 为半径的圆恰 i←i+2 a b End While 好与双曲线的两条渐近线相切,则该双曲线的离心率为 ▲ . Print i 7. 设 M , N 分别为三棱锥 P ? ABC 的棱 AB, PC 的中点, 三棱锥 P ? ABC 的体积记为 V1 ,三棱锥 P ? AMN 的体积记为 V2 ,则

V2 = V1



.

第 5 题图

?x ? 1 2 y ?1 ? 8 . 已 知 实 数 x, y 满 足 约 束 条 件 ? x ? y ? 5 , 则 的最大值为 2 x ? 3 ? x ? y ? ?2 ?
▲ . 9.若 f ( x) ? 3 sin( x ? ? ) ? cos( x ? ?)( ?

?

??

? ? ? ) 是定义在 R 上的偶函数,则 2 2

?



.

? ? ? ? ? ? ? ? 10. 已知向量 a, b 满足 a ? (4, ?3) , 则向量 a, b 的夹角为 ▲ . | b |? 1 , | a ? b |? 21 , ??? ? ??? ? 11. 已知线段 AB 的长为 2 , 动点 C 满足 CA ? CB ? ?( ? 为常数) , 且点 C 总不在以点 B 为 1 圆心, 为半径的圆内,则负数 ? 的最大值是 ▲ . 2

x 3 12. 若函数 f ( x) ? e ? x ?

1 m 3 x ? 1 的图象上有且只有两点 P 使 得 函数 g ( x ) ? x + 1, P 2, 2 x 的图象上存在 两 点 Q1 , Q2 , 且 P1 与 Q1 、 P2 与 Q2 分 别 关 于 坐 标 原 点 对 称 , 则 实
数 m 的取值集合是 ▲ .

13.若数列 ?an ? 满足:对任意的 n ? N ? ,只有有限个正整数 m 使得 am<n 成立,记这样的 列 ?bn ? 是 0,1, 2, ???, n ? 1, ??? . 现已知数列 ?an ? 是等比数列,且 a2 ? 2, a5 ? 16 ,则数列

m 的个数为 bn ,则得到一个新数列 ?bn ? .例如,若数列 ?an ? 是 1, 2,3, ???, n, ??? ,则数
▲ .

?bn ? 中满足 bi ? 2016 的正整数 i 的个数为
b2 ? a 2 ? ac ,则

14 .在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,若 ?ABC 为锐角三角形,且满足

1 1 ? 的取值范围是 tan A tan B



.

二、 解答题 (本大题共 6 小题, 计 90 分.解答应写出必要的文字说明, 证明过程或演算步骤, 请把答案写在答题纸的指定区域内) 15.(本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,已知 B ? 60 , a ? c ? 4 . (1)当 a , b, c 成等差数列时,求 ?ABC 的面积;
?

(2)设 D 为 AC 边的中点,求线段 BD 长的最小值.

16.(本小题满分 14 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, AB ? 2 AD , PD ? 底面 ABCD , E , F 分别为棱 AB, PC 的中点. P (1)求证: EF // 平面 PAD ; (2)求证:平面 PDE ? 平面 PEC . D A E 第 16 题图 17.(本小题满分 14 分) 一位创业青年租用了一块边长为 1 百米的正方形田地 ABCD 来养蜂、产蜜与售蜜,他 在正方形的边 BC , CD 上分别取点 E , F (不与正方形的顶点重合) , 连接 AE, EF , FA , 使得 ?EAF ? 45? . 现拟将图中阴影部分规划为蜂源植物生长区, ?AEF 部分规划为 蜂巢区,?CEF 部分规划为蜂蜜交易区. 若蜂源植物生长区的投入约为 2 ?10 元/百米
5

F C B

,蜂巢区与蜂蜜交易区的投入约为 10 元/百米 2,则这三个区域的总投入最少需要多 少元?
2

5

D

F

C E

18.(本小题满分 16 分)

x2 y 2 ? ? 1 的左顶点为 A , 右焦点为 F , P, Q 4 3 为椭圆 C 上两点,圆 O : x2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) . (1)若 PF ? x 轴,且满足直线 AP 与圆 O 相切,求圆 O 的方程; 3 (2)若圆 O 的半径为 3 ,点 P, Q 满足 kOP ? kOQ ? ? ,求直线 PQ 被圆 O 截得弦长 4
在平面直角坐标系 xOy 中, 已知椭圆 C : 的最大值.

19.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? m ln x ( m ? R ). (1)若函数 y ? f ( x) ? x 的最小值为 0 ,求 m 的值; (2)设函数 g ( x) ? f ( x) ? mx ? (m ? 2) x ,试求 g ( x) 的单调区间;
2 2

(3) 试给出一个实数 m 的值,使得函数 y ? f ( x) 与 h( x) ?

x ?1 ( x ? 0) 的图象有且只 2x

有一条公切线,并说明此时两函数图象有且只有一条公切线的理由.

20.(本小题满分 16 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? m ,an ?1 ? ?

(1)当 m 与 r 满足什么关系时,对任意的 n ? N * ,数列 ?an ? 都满足 an ? 2 ? an ? 等比数列?若存在,请求出 p, q 满足的条件;若不存在,请说明理由; (3)当 m ? r ? 1 时,若对任意的 n ? N * ,都有 Sn ? ? an ,求实数 ? 的最大值.

?2an , n ? 2k ? 1 (k ? N * , r ? R) ,其前 n 项和为 Sn . ?an ? r , n ? 2k

(2)对任意实数 m, r ,是否存在实数 p 与 q ,使得 ?a2n +1 ? p? 与 ?a2 n ? q? 是同一个

盐城市 2016 届高三年级第三次模拟考试
数学附加题部分
(本部分满分 40 分,考试时间 30 分钟)
21.[选做题](在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,计 20 分.请把答案写在 答题纸的指定区域内) A.(选修 4—1:几何证明选讲) 如图, AB 是圆 O 的直径,弦 CA, BD 的延长线相交于点 E , EF 垂直 BA 的延长线于 点 F ,连结 FD . 求证: ?DEA ? ?DFA . F E A D 第 21 题(A)图 C O ·

B

B.(选修 4—2:矩阵与变换)
已知矩阵 M ? ?

? 2 m? ?1 ? ?0 ? ?1 ? 2 的两个特征向量 ?1 ? ? ? , ? 2 ? ? ? ,若 ? ? ? ? ,求 M ? . ? ?1 ? ?2? ?n 1 ? ?0?

C. (选修 4—4:坐标系与参数方程)

t ? ?x ? 1? 已知直线 l 的参数方程为 ? 2 ,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4sin ? ,试判断直线 ? ?y ? t l 与曲线 C 的位置关系.

D.(选修 4—5:不等式选讲)
已知正数 x, y, z 满足 x ? 2 y ? 3z ? 1,求

1 2 3 ? ? 的最小值. x y z

[必做题](第 22、23 题,每小题 10 分,计 20 分.请把答案写在答题纸的指定区域内) 22. (本小题满分 10 分) 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时, 负的一方在下一局当裁判,假设每局比赛中,甲胜乙的概率为 概率都为

1 ,甲胜丙、乙胜丙的 2

2 ,各局比赛的结果都相互独立,第 1 局甲当裁判. 3 (1)求第 3 局甲当裁判的概率; (2)记前 4 局中乙当裁判的次数为 X ,求 X 的概率分布与数学期望.

23. (本小题满分 10 分)
2 2 2 2 记 f (n) ? (3n ? 2) (C2 ? C3 ? C4 ? ?? Cn )(n ? 2, n ? N * ) .

(1)求 f (2), f (3), f (4) 的值; (2)当 n ? 2, n ? N 时,试猜想所有 f ( n) 的最大公约数,并证明.
*

盐城市 2016 届高三年级第三次模拟考试 数学参考答案
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 1 .8 8. 9. ? 2.

5

3.

8 9

4. 2 2

5. 11

6.

2

7.

1 4

?
3

7 5
10.

? (或 60 ? ) 3

11. ?

3 4

12. {

e?2 } 2e

13. 2

2015

14.

(1,

2 3 ) 3

二、 解答题: 本大题共 6 小题, 计 90 分.解答应写出必要的文字说明, 证明过程或演算步骤, 请把答案写在答题纸的指定区域内. 15.解: (1)因为 a , b, c 成等差数列,所以 b ?

a?c ?2, …………2 分 2 2 2 2 2 由 余 弦 定 理 , 得 b ? a ? c ? 2ac cos B ? (a ? c) ? 3ac ? 16 ? 3ac ? 4 , 解 得 ac ? 4 , ……6 分
从而 S?ABC ?

1 3 ac sin B ? 2 ? ? 3. 2 2

…………8 分

(2)方法一:因为 D 为 AC 边的中点,所以 BD ? 则 BD ?

??? ?

? ??? ? ?2 ??? ? ??? ? ??? ?2 1 ??? 1 ??? ( BA ? BC ) 2 ? ( BA ? 2 BA ? BC ? BC ) 4 4 1 2 1 ? (c ? 2ac cos B ? a 2 ) ? ((a ? c) 2 ? ac) 4 4 1 ? 4 ? ac …………12 分 4 1 a?c 2 ? 4? ( ) ? 3 ,当且仅当 a ? c 时取等号, 4 2 所以线段 BD 长的最小值为 3 . …………14 分 方法二:因为 D 为 AC 边的中点,所以可设 AD ? CD ? d ,
由 cos ?ADB ? cos ?CDB ? 0 ,得 即 BD ?
2

??? ?2

? ??? ? 1 ??? ( BA ? BC ) , ………10 分 2

BD 2 ? d 2 ? c 2 BD 2 ? d 2 ? a 2 ? ?0, 2d ? BD 2d ? BD
…………10 分

a2 ? c2 ? d 2 ? 8 ? ac ? d 2 , 2 2 2 2 2 又因为 b ? a ? c ? 2ac cos B ? (a ? c) ? 3ac ? 16 ? 3ac , 3 2 2 即 4d ? 16 ? 3ac ,所以 d ? 4 ? ac , 4

…………12 分

1 1 a?c 2 ac ? 4 ? ( ) ? 3 ,当且仅当 a ? c 时取等号, 4 4 2 所以线段 BD 长的最小值为 3 . …………14 分 G PD 16.证明: (1)取 的中点 ,连接 AG, FG . ..............2 分 P 因为 F , G 分别是 PC , PD 的中点, F 1 G 所以 GF // DC ,且 GF ? DC , 2 D 1 又 E 是 AB 的中点,所以 AE // DC ,且 AE ? DC , 2 所以 GF // AE ,且 GF ? AE , A B E 所以 AEFG 是平行四边形,故 EF // AG . ...............4 分 第 16 题图 1 又 EF ? 平面 PAD , AG ? 平面 PAD , 所以 EF // 平面 PAD . ...............6 分 P (说明:也可以取 DC 中点,用面面平行来证线面平行) (2)因为 PD ? 底面 ABCD , EC ? 底面 ABCD , F 所以 CE ? PD . ...............8 分 H 取 DC 中点 H ,连接 EH . D 因为 ABCD 是矩形,且 AB ? 2 AD , 所以 ADHE, BCHE 都是正方形, A B E 所以 ?DEH ? ?CEH ? 45? ,即 CE ? DE . ...............10 分 第 16 题图 2 又 PD, DE 是平面 PDE 内的两条相交直线, 所以 CE ? 平面 PDE . ...............12 分 而 CE ? 平面 PEC ,所以平面 PDE ? 平面 PEC . ...............14 分 17.解:解法一:设阴影部分面积为 S ,三个区域的总投入为 T . 则 T ? 2 ?105 ? S ? 105 ? (1 ? S ) ? 105 ? (S ? 1) ,从而只要求 S 的最小值. ..............2 分 设 ?EAB ? ? (0? ? ? ? 45?) , 在 ?ABE 中, 因为 AB ? 1, ?B ? 90? , 所以 BE ? tan ? , 1 1 则 S ?ABE ? AB ? BE ? tan ? ; ...............4 分 2 2 1 又 ?DAF ? 45? ? ? ,所以 S ?ADF ? tan(45? ? ? ) , ...............6 分 2 1 1 1 ? tan ? ), 所以 S ? (tan ? ? tan(45? ? ? )) ? (tan ? ? ...............8 分 2 2 1 ? tan ? 1 1? x 1 x ?1 1 2 ) ? (x ? ) ? (x ? ? 1) .......10 分 令 x ? tan ? ? (0,1) ,则 S ? ( x ? 2 1? x 2 x ?1 2 x ?1 1 2 1 ? [( x ? 1) ? ? 2] ? [2 2 ? 2] ? 2 ? 1 , 2 x ?1 2 2 当且仅当 x ? 1 ? ,即 x ? 2 ? 1 时取等号. ...............12 分 x ?1 5 从而三个区域的总投入 T 的最小值约为 2 ? 10 元. ...............14 分 (说明:这里 S 的最小值也可以用导数来求解:
2 故 BD ? 4 ?

C

C

( x ? ( 2 ? 1))( x ? ( 2 ? 1)) ,则由 S ? ? 0 ,得 x ? 2 ? 1 . 2(1 ? x)2 当 x ? (0, 2 ?1) 时, S ? ? 0 , S 递减;当 x ? ( 2 ?1,1) 时, S ? ? 0 , S 递增.
因为 S ? ?

2 ? 1 时, S 取得最小值为 ( 2 ?1) .) 解法二:设阴影部分面积为 S ,三个区域的总投入为 T .
所以当 x ? 则 T ? 2 ?105 ? S ? 105 ? (1 ? S ) ? 105 ? (S ? 1) , 从而只要求 S 的最小值. ...............2 分 如图,以点 A 为坐标原点, AB 所在直线为 x 轴, 建立平面直角坐标系. 设直线 AE 的方程为 y ? kx(0 ? k ? 1) , 即 k ? tan ?EAB ,因为 ?EAF ? 45? , 所以直线 AF 的斜率为 tan(?EAB ? 45?) ? 从而直线 AF 方程为 y ? D y F C E

1? k x. 1? k

1? k , 1? k
...............6 分

A

B

x

1 1 AB ? BE ? k ; 2 2 1? k 1? k 1 1 1? k x 中,令 y ? 1 ,得 F ( ,1 ) ,所以 S?ADF ? AD ? DF ? ? 在方程 y ? ; 1? k 1? k 2 2 1? k 1 1? k ), k ? (0,1) . 从而 S ? (k ? ...............10 分 2 1? k
在方程 y ? kx 中,令 x ? 1 ,得 E (1, k ) ,所以 S?EAB ? 以下同方法一. 解法三:设阴影部分面积为 S ,三个区域的总投入为 T . 设 ?DAF ? ? , ?BAE ? ? (0? ? ? , ? ? 45?) ,则 S ? ...............14 分

则 T ? 2 ?105 ? S ? 105 ? (1 ? S ) ? 105 ? (S ? 1) ,从而只要求 S 的最小值. ............2 分

1 (tan ? ? tan ? ) . ............4 分 2 tan ? ? tan ? ? 1 ,..........8 分 因为 ? ? ? ? 90? ? ?EAF ? 45? ,所以 tan(? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? 2 ) , 所以 tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ? ? 1 ? ( ..............10 分 2 2 即 2S ? 1 ? S ,解得 S ? 2 ? 1 ,即 S 取得最小值为 ( 2 ?1) ,
从而三个区域的总投入 T 的最小值约为 2 ? 10 元.
5
2 2

...............14 分 ..........2 分

18.解: (1)因为椭圆 C 的方程为

x y ? ? 1 ,所以 A(?2, 0) , F (1, 0) . 4 3

因为 PF ? x 轴,所以 P (1, ? ) ,而直线 AP 与圆 O 相切,

3 2

3 根据对称性,可取 P (1, ) , 2 1 则直线 AP 的方程为 y ? ( x ? 2) , 2 即 x ? 2y ? 2 ? 0 . 2 由圆 O 与直线 AP 相切,得 r ? , 5 4 2 2 所以圆 O 的方程为 x ? y ? . 5 2 2 O (2)易知,圆 的方程为 x ? y ? 3 .

y ...............4 分 P A ...............6 分 O F x

...............8 分 Q

y P

O

x

2 ①当 PQ ? x 轴时, kOP ? kOQ ? ? kOP ? ?

3 , 4

所以 kOP ? ?

3 , 2

6 7 . ...............10 分 7 ② 当 PQ 与 x 轴 不 垂 直 时 , 设 直 线 PQ 的 方 程 为 y ? kx ? b , P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 )( x1x2 ? 0) , 3 首先由 kOP ? kOQ ? ? ,得 3x1 x2 ? 4 y1 y2 ? 0 , 4 即 3x1 x2 ? 4(kx1 ? b)(kx2 ? b) ? 0 , 所 以 (3 ? 4k 2 ) x1x2 ? 4kb( x1 ? x2 ) ? 4b2 ? 0
此时得直线 PQ 被圆 O 截得的弦长为 (*). ..............12 分

? y ? kx ? b ? 联立 ? x 2 y 2 ,消去 x ,得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8kbx ? 4b2 ?12 ? 0 , ?1 ? ? 3 ?4 8kb 4b2 ? 12 , x x ? 将 x1 ? x2 ? ? 代入(*)式,得 2b2 ? 4k 2 ? 3 . ………14 分 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 |b| 由于圆心 O 到直线 PQ 的距离为 d ? , k 2 ?1 2 2 所以直线 PQ 被圆 O 截得的弦长为 l ? 2 3 ? d ? 4 ? 2 ,故当 k ? 0 时, l 有最 k ?1 大值为 6 .
6 7 ,所以直线 PQ 被圆 O 截得的弦长的最大值为 6 . …16 分 7 19.解: (1)由题意,得函数 y ? m ln x ? x , m x?m 所以 y? ? ? 1 ? , x x ①当 m ? 0 时,函数 y 在 (0, ??) 上单调递增,此时无最小值,舍去;…………2 分 ②当 m ? 0 时,由 y? ? 0 ,得 x ? ?m . 当 x ? (0, ?m) , y? ? 0 ,原函数单调递减; x ? (?m, ??) , y? ? 0 ,原函数单调递增. 所以 x ? ?m 时,函数 y 取最小值,即 m ln(?m) ? m ? 0 ,解得 m ? ?e . ……4 分
综上,因为 6 ? (2)由题意,得 g ( x) ? m ln x ? mx ? (m ? 2) x ,
2 2

2mx 2 ? (m2 ? 2) x ? m (2 x ? m)(mx ? 1) ? , ……………6 分 x x ①当 m ? 0 时, g ?( x) ? 0 ,函数 g ( x) 在 (0, ??) 上单调递增; m 1 ②当 m ? 0 时,由 g ?( x) ? 0 ,得 x ? ? 或 x ? ? , 2 m m 1 (A) 若m? ? 2 , 则 ? ?? , 此时 g ?( x) ? 0 , 函数 g ( x) 在 (0, ??) 上单调递减; 2 m m 1 (B)若 ? 2 ? m ? 0 ,则 ? ? ? , 2 m
则 g ?( x) ?

m 1 m 1 ,? ) (0, ? )( ? ? , +?) ,由 g ?( x ) ? 0 ,解得 x ? , 2 m 2 m m 1 m 1 (0, ? ) (? , +? ) 所以函数 g ( x) 在 ( ? , ? ) 上单调递增,在 与 上单调递减; 2 2 m m m 1 (C)若 m ? ? 2 ,则 ? ? ? , 2 m 1 m 1 m (0, ? ) (? , +? ) 同理可得,函数 g ( x) 在 ( ? , ? ) 上单调递增,在 与 上单调递 m m 2 2
由 g ?( x) ? 0 ,解得 x ? (? 减. 综上所述, g ( x) 的单调区间如下: ①当 m ? 0 时,函数 g ( x) 在 (0, ??) 上单调递增; ②当 m ? ? 2 时,函数 g ( x) 在 (0, ??) 上单调递减; ③ 当 ? 2 ? m ? 0 时 , 函 数 g ( x) 的 增 区 间 为 (?

m 1 m ,? ) (0, ? ) ,减区间为 与 2 2 m

(?

1 , +? ) ; m
④ 当 m ? ? 2 时 , 函 数 g ( x) 的 增 区 间 为 (?

1 m 1 , ? ), 减 区 间 为 (0, ? )与 m m 2

(?

m , +? ) . …10 分(每种 1 分) 2 1 (3) m ? 符合题意. (获取 m 值即可得 2 分! ! ! 。可是 m 值无法 2
……………12 分 理由如下:此时 f ( x) ?

获取! ! !获取后的解题过程可以看看)
1 ln x . 2 1 2

x2 ? 1 ), 2 x2 1 1 1 则 f ( x) 以点 A 为切点的切线方程为 y ? x ? ln x1 ? , 2 x1 2 2 x ?2 1 , h( x) 以点 B 为切点的切线方程为 y ? 2 x ? 2 2 x2 2 x2
设函数 f ( x) 与 h( x) 上各有一点 A( x1 , ln x1 ) , B ( x2 ,

1 ? 1 ? 2 x ? 2 x2 ? 1 2 由两条切线重合,得 ? (*) , ? 1 ln x ? 1 ? x2 ? 2 1 ? 2 2 x2 ?2 1 1 消去 x1 ,整理得 ln x2 ? 1 ? ,即 ln x2 ? 1 ? ?0, x2 x2 1 1 1 x ?1 令 ? ( x) ? ln x ? 1 ? ,得 ? ?( x ) ? ? 2 ? 2 , x x x x , +?) 单调递增, 所以函数 ? ( x) 在 (0,1) 单调递减,在 (1 又 ? (1) ? 0 ,所以函数 ? ( x) 有唯一零点 x ? 1 ,

……………14 分

从而方程组(*)有唯一解 ? 线. 故m ?

? x1 ? 1 ,即此时函数 f ( x) 与 h( x) 的图象有且只有一条公切 ? x2 ? 1
……………16 分

1 符合题意. 2

20. 解: (1)由题意,得 a1 ? m , a2 ? 2a1 ? 2m , a3 ? a2 ? r ? 2m ? r , 首先由 a3 ? a1 ,得 m ? r ? 0 . 当 m ? r ? 0 时,因为 an ?1 ? ? ……………2 分

所以 a1 ? a3 ? ??? ? m , a2 ? a4 ? ??? ? 2m ,故对任意的 n ? N * ,数列 ?an ? 都满足

?2an , n ? 2k ? 1 (k ? N * ) , ?an ? m, n ? 2k

an? 2 ? an .
即当实数 m, r 满足 m ? r ? 0 时,题意成立. 因 为 a1 ? r = m ?
n

……………4 分

(2)依题意, a2n?1 ? a2n ? r =2a2n?1 ? r ,则 a2n?1 ? r =2(a2n?1 ? r ) , , r 所 以 当 m?r ? 0 时 ,
n

?a2n?1 ? r?

是 等 比 数 列 , 且

a2n?1 ? r =(a1 ? r )2 ? (m ? r )2 .

为使 ?a2n?1 ? p? 是等比数列,则 p ? r . 同 理 , 当 m ? r ? 0 时 , a2n ? 2 r = (m ? r )n2, 则 欲 ?a2n ? 2r? 是 等 比 数 列 , 则

q ? 2r . …………8 分
综上所述: ①若 m ? r ? 0 ,则不存在实数 p, q ,使得 ?a2n?1 ? p? 与 ?a2 n ? q? 是等比数列; 数列. …10 分 (3)当 m ? r ? 1 时,由(2)可得 a2 n?1 ? 2n ? 1 , a2n =2n?1 ? 2 , 当 n ? 2k 时, an ? a2k =2k ?1 ? 2 , ②若 m ? r ? 0 ,则当 p, q 满足 q ? 2 p ? 2r 时,?a2n?1 ? p? 与 ?a2 n ? q? 是同一个等比

Sn ? S2k ? (21 ? 22 ? …+2k ) ? (22 ? 23 ? …+2k ?1 ) ? 3k =3 (2k ?1 ? k ? 2) , k S ), 所以 n ? 3 (1 ? k ?1 2 ?2 an
令 ck ?

k

2 k ?1 ? 2 3 S 3 所以 n ? , ? ? , 2 an 2


,则 ck ?1 ? ck ?

k ?1 k (1 ? k )2k ?1 ? 2 ? ? ? 0, 2k ? 2 ? 2 2k ?1 ? 2 (2k ? 2 ? 2)(2k ?1 ? 2)
……………13 分 时 ,

n ? 2k ? 1

an ? a2k ?1 =2k ?1



Sn ? S2k ? a2k ? ( 3 2k ?1 ? k ? 2) ? (2k ?1 ? 2) ? 2k ?2 ? 3k ? 4 , S S 3k 所以 n ? 4 ? k ,同理可得 n ? 1 , ? ? 1 , an an 2 ?1 综上所述,实数 ? 的最大值为 1.

……………16 分

附加题答案
21. A、证明:连结 AD ,? AB 是圆 O 的直径,

??ADB ? 90? ,??ADE ? 90? ,
4分 又? EF ? FB ,??AFE ? 90? ,所以 A, F , E , D 四点共圆,

……………………

??DEA ? ?DFA .
…………10 分

…………

B、 解: 设矩阵 M 的特征向量 ?1 对应的特征值为 ?1 , 特征向量 ? 2 对应的特征值为 ?2 , 则由 ?

?M ?1 ? ?1?1 可解得: m ? n ? 0, ?1 ? 2, ?2 ? 1 , ……………4 分 M ? ? ? ? ? 2 2 2
?1 ? ? 2? ?1 ? ?0? ?0 ? ?1 ?
……………………6 分

又 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ?1 ? 2? 2 ,

所以 M 2 ? ? M 2 (?1 ? 2? 2 ) ? ?12?1 ? 2?2 2? 2 ? 4 ? ? ? 2 ? ? ? ? ? .………10 分 C、解:直线 l 的普通方程为 2 x ? y ? 2 ? 0 ; 曲线 C 的直角坐标方程为: x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 ,它表示圆. 由圆心到直线 l 的距离 d ?

?1 ? ?0?

?0? ?1 ?

? 4? ? 2?

………………4 分 ……10 分

4 4 ? 5 ? 2 ,得直线 l 与曲线 C 相交. 5 5 1 2 3 1 4 9 ? )( x ? 2 y ? 3z ) D、解: ? ? ? ( ? x y z x 2 y 3z 2 y 3z 4 x 12 z 9 x 18 y ? 1? 4 ? 9 ? ? ? ? ? ? x x 2 y 2 y 3z 3z
……………4 分

………

2 y 4x 3z 9 x 12 z 18 y ? 36 , ? ?2 ? ?2 ? x 2y x 3z 2 y 3z 1 (当且仅当 x ? y ? z ? 时等号成立) 6 1 2 3 ? ? 所 以 的 最 x y z ? 14 ? 2
36 .
22.解: (1)第 2 局中可能是乙当裁判,其概率为 所以第 3 局甲当裁判的概率为 ? ? (2) X 可能的取值为 0,1, 2 .







……………………10 分

1 2 ,也可能是丙当裁判,其概率为 , 3 3
……………………4 分 ……………………5 分 ……………………6 分 ……………………7 分

1 1 3 3

2 1 4 ? ? . 3 2 9

p( X ? 0) ?

2 1 2 2 ? ? ? ; 3 2 3 9 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 17 p( X ? 1) ? ? ( ? ? ? ) ? ? ? ? ? ? ; 3 3 3 3 2 3 2 3 2 3 27

1 2 1 1 1 4 p( X ? 2) ? ? ( ? ? ? ) ? . ……………………8 分 3 3 2 3 3 27 2 17 4 25 ? 2? ? 所以 X 的数学期望 E ( X ) ? 0 ? ? 1? . ……………………10 分 9 27 27 27 2 2 2 2 3 23.解: (1)因为 f (n) ? (3n ? 2)(C2 ? C3 ? C4 ??? Cn ) ? (3n ? 2)Cn ?1 , 所以 f (2) ? 8, f (3) ? 44, f (4) ? 140 . ……………………3 分 (2)由(1)中结论可猜想所有 f ( n) 的最大公约数为 4 . …………………4 分 下面用数学归纳法证明所有的 f ( n) 都能被 4 整除即可. (ⅰ)当 n ? 2 时, f (2) ? 8 能被 4 整除,结论成立; ……………………5 分 3 (ⅱ)假设 n ? k 时,结论成立,即 f (k ) ? (3k ? 2)Ck ?1 能被 4 整除,
3 则当 n ? k ? 1 时, f (k ? 1) ? (3k ? 5)Ck ?2
3 3 ? (3k ? 2)Ck ?2 ? 3Ck ?2

3 2 2 ? (3 k ? 2 )C (k ? k ( ? 2C ) ?1 ? C k ?1 ) k ?1
3 2 2 ? (3 k ? 2) C k ? 2C ) (? 2 C k ?1 ? ( 3 k ?1 ? k k) ?1

……………………7 分

3 2 n ? k ? 1 时结论也成立. ? (3k ? 2)Ck ?1 ? 4(k ? 1)Ck ?1 ,此式也能被 4 整除,即 综上所述,所有 f ( n) 的最大公约数为 4 . ……………………10 分


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