2015届《创新设计》高考数学(江苏版,理科)一轮总复习步骤规范练——概率、随机变量及其分布


步骤规范练——概率、随机变量及其分布
(建议用时:90 分钟)

一、填空题 1.某射手射击所得环数 X 的分布列为 X P 4 0.02 5 0.04 6 0.06 7 0.09 8 0.28 9 0.29 10 0.22

则此射手“射击一次命中环数大于 7”的概率为________. 解析 答案 P(X>7)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)=0.28+0.29+0.22=0.79. 0.79

2.在 4 次独立重复试验中,随机事件 A 恰好发生 1 次的概率不大于其恰好发生 两次的概率,则事件 A 在一次试验中发生的概率 p 的取值范围是________. 解析 答案
3 2 2 2 设事件 A 发生的概率为 p,则 C1 4p(1-p) ≤C4p (1-p) ,解得 p≥0.4.

[0.4,1]

3.已知 X 的分布列为 X P 则在下列式子中: 1 23 1 ①E(X)=-3;②V(X)=27;③P(X=0)=3. 正确的个数是________. 解析
2

-1 1 2

0 1 3

1 1 6

1? 1 ? 1? 1 1 1 ? E(X)=(-1)×2+1×6=-3,故①正确.V(X)=?-1+3?2×2+?0+3? ? ? ? ?

1? 1 5 1 ? ×3+?1+3?2×6=9,故②不正确.由分布列知③正确. ? ? 2

答案

4.两名学生一起去一家单位应聘,面试前单位负责人对他们说:“我们要从面 1 试的人中招聘 3 人,你们俩同时被招聘进来的概率是70”,根据这位负责人 的话,可以推断出参加面试的人数为________.

解析

1 C2 6?n-2? 6 2Cn-2 设参加面试的人数为 n,依题意有 C3 = = = n ? n - 1 ?? n - 2 ? n ? n -1? n

1 2 70,即 n -n-420=(n+20)(n-21)=0,解得 n=21 或 n=-20(舍去). 答案 21

5. 某人随机地在如右图所示正三角形及其外接圆区域内部投针(不包括三角形边 界及圆的边界),则针扎到阴影区域(不包括边界)的概率为________.

解析

3 2 3 设正三角形边长为 a,则外接圆半径 r= 2 a×3= 3 a,∴所求概率 P

3 2 4a 3 3 = = 4π . ? 3 ? π? a?2 ?3 ? 答案 3 3 4π

6.盒子中装有 6 件产品,其中 4 件一等品,2 件二等品,从中不放回地取产品, 每次 1 件,共取 2 次,已知第二次取得一等品,则第一次取得二等品的概率 是________. 解析 设“第二次取得一等品”为事件 A,“第一次取得二等品”为事件 B, 4



1 1 1 1 C4 C3+C1 C1 4 2 P?AB? 15 2 2C4 2C4 P(AB)=C1C1=15,P(A)= C1C1 =3,∴P(B|A)= = 2 =5. P?A? 6 5 6 5

3 答案 2 5

7.罐中有 6 个红球,4 个白球,从中任取 1 球,记住颜色后再放回,连续摸取 4 次,设 X 为取得红球的次数,则 X 的方差 V(X)的值为________. 解析 因为是有放回地摸球, 所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为

3? 3 ? ?4,5?, ,连续摸 4 次 ( 做 4 次试验 ) , X 为取得红球 ( 成功 ) 的次数,则 X ~ B 5 ? ?

3? 24 3? ∴V(X)=4×5?1-5?=25. ? ? 答案 24 25

8.如图,用 K,A1,A2 三类不同的元件连接成一个系统,当 K 正常工作且 A1, A2 至少有一个正常工作时,系统正常工作,已知 K,A1,A2 正常工作的概率 依次为 0.9,0.8,0.8,则系统正常工作的概率为________.

解析

法一

由题意知 K,A1,A2 正常工作的概率分别为 P(K)=0.9,P(A1)

=0.8,P(A2)=0.8, ∵K,A1,A2 相互独立, ∴A1,A2 至少有一个正常工作的概率为 P( A1 A2)+P( A1 (1-0.8)×0.8+0.8×(1-0.8)+0.8×0.8=0.96. ∴系统正常工作的概率为 P(K)[P( A1 A2)+P(A1 A2 )+P(A1A2)]=0.9×0.96= 0.864. 法二 A1,A2 至少有一个正常工作的概率为 1-P( A1 A2 )=1-(1-0.8)(1 A2 )]=0.9×0.96= A2 )+P(A1A2)=

-0.8)=0.96,∴系统正常工作的概率为 P(K)[1-P( A1 0.864. 答案 0.864

9.(2014· 惠州调研)节日期间,某种鲜花进价是每束 2.5 元,销售价是每束 5 元; 节后卖不出的鲜花以每束 1.5 元的价格处理.根据前五年销售情况预测,节 日期间这种鲜花的需求服从如下表所示的分布列: X P 200 0.20 300 0.35 400 0.30 500 0.15

若进这种鲜花 500 束,则期望利润是________. 解析 依题意,若进这种鲜花 500 束,利润应为 Y = (5 - 2.5)X - (2.5 -

1.5)×(500 - X) = 3.5X - 500. 则 E(X) = 200×0.2 + 300×0.35 + 400×0.30 + 500×0.15=340(束).所以 E(Y)=E(3.5X-500)=3.5E(X)-500=3.5×340-

500=690 元. 答案 690 元

10.(2014· 泰州模拟)设 f(x)=x2-2x-3(x∈R),则在区间[-π,π]上随机取一个 数 x,使 f(x)<0 的概率为________. 解析 答案 3+1 2 由 f(x)=x2-2x-3<0,得-1<x<3.故所求概率为 P= 2π =π. 2 π

11.(2013· 新课标全国Ⅱ卷)从 n 个正整数 1,2,?,n 中任意取出两个不同的数, 1 若取出的两数之和等于 5 的概率为14,则 n=________. 解析 从 n 个数中任取两个不同的数,有 C2 n种取法,

其中取出的两数之和等于 5 共有 2 种情况, 2 1 ∴P=C2=14,∴n=8.
n

答案

8

12.一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a,得 2 分的概率为 b,不得分的 2 1 概率为 c(a、b、c∈(0,1)),已知他投篮一次得分的均值为 2,则a+3b的最小 值为________. 解析 由已知得,3a+2b+0×c=2,

2 即 3a+2b=2,其中 0<a<3,0<b<1. 2 1 3a+2b?2 1 ? 1 2b a 10 又a+3b= 2 ?a+3b?=3+3+ a +2b≥ 3 + ? ? 2 2b a 16 a· 2b= 3 ,

2b a 当且仅当 a =2b,即 a=2b 时取“等号”又 3a+2b=2, 1 1 2 1 16 即当 a=2,b=4时,a+3b的最小值为 3 . 答案 16 3

5 13.设随机变量 X~B(2,p),随机变量 Y~B(3,p),若 P(X≥1)=9,则 P(Y≥1)

=________. 解析 5 1 2 ∵X~B(2,p),∴P(X≥1)=1-P(X=0)=1-C0 2(1-p) = ,解得 p= . 9 3

19 3 又 Y~B(3,p),∴P(Y≥1)=1-P(Y=0)=1-C0 3(1-p) = . 27 答案 19 27

14.(2012· 新课标全国卷)某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成,元 件 1 或元件 2 正常工作,且元件 3 正常工作,则部件正常工作.设三个电子 元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布 N(1 000,502),且各个元件能否 正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过 1 000 小时的概率为 ________.

解析

设元件 1,2,3 的使用寿命超过 1 000 小时的事件分别记为 A,B,C,显

1 然 P(A)=P(B)=P(C)=2, ∴该部件的使用寿命超过 1 000 小时的事件为(A B + A B+AB)C, ∴该部件的使用寿命超过 1 000 小时的概率 ?1 1 1 1 1 1? 1 3 P=?2×2+2×2+2×2?×2=8. ? ? 答案 3 8

二、解答题 15. 某地最近出台一项机动车驾照考试规定:每位考试者一年之内最多有 4 次参 加考试的机会,一旦某次考试通过,便可领取驾照,不再参加以后的考试, 否则就一直考到第 4 次为止.如果李明决定参加驾照考试,设他每次参加考 试通过的概率依次为 0.6,0.7,0.8,0.9.求在一年内李明参加驾照考试次数 X 的分 布列,并求李明在一年内领到驾照的概率. 解 X 的取值分别为 1,2,3,4.

X=1,表明李明第一次参加驾照考试就通过了, 故 P(X=1)=0.6.

X=2,表明李明在第一次考试未通过,第二次通过了, 故 P(X=2)=(1-0.6)×0.7=0.28. X=3,表明李明在第一、二次考试未通过,第三次通过了, 故 P(X=3)=(1-0.6)×(1-0.7)×0.8=0.096. X=4,表明李明第一、二、三次考试都未通过, 故 P(X=4)=(1-0.6)×(1-0.7)×(1-0.8)=0.024. ∴李明实际参加考试次数 X 的分布列为 X P 1 0.6 2 0.28 3 0.096 4 0.024

李明在一年内领到驾照的概率为 1-(1-0.6)(1-0.7)(1-0.8)(1-0.9)=0.997 6. 16. 从装有大小相同的 2 个红球和 6 个白球的袋子中, 每摸出 2 个球为一次试验, 直到摸出的球中有红球(不放回),则试验结束. (1)求第一次试验恰好摸到一个红球和一个白球的概率; (2)记试验次数为 X,求 X 的分布列及数学期望 E(X). 解 (1)记“第一次试验恰好摸到一个红球和一个白球”为事件 A,则 P(A)=

1 C1 2C6 3 =7. C2 8

(2)由题知 X 的可能取值为 1,2,3,4.则
1 1 C2 C6+C2 2 13 P(X=1)= =28, 2 C8 2 1 1 C4C2+C2 C6 9 2 P(X=2)=C2· C2 =28, 8 6 2 2 C6 C4 C2C2+C2 5 P(X=3)=C2· =28, 2· C2 8 C6 4 2 2 2 C6 C4 C2 1 P(X=4)=C2· C2· C2=28. 8 6 4 1 1 2

X 的分布列为 X P 1 13 28 2 9 28 3 5 28 4 1 28

13 9 5 1 25 E(X)=1×28+2×28+3×28+4×28=14.

17.为备战 2016 年奥运会,甲、乙两位射击选手进行了强化训练.现分别从他 们的强化训练期间的若干次平均成绩中随机抽取 8 次,记录如下: 甲:8.3,9.0,7.9,7.8,9.4,8.9,8.4,8.3; 乙:9.2,9.5,8.0,7.5,8.2,8.1,9.0,8.5. (1)画出甲、乙两位选手成绩的茎叶图; (2)现要从中选派一人参加奥运会封闭集训,从统计学角度,你认为派哪位选 手参加合理?简单说明理由; (3)若将频率视为概率,对选手乙在今后的三次比赛成绩进行预测,记这三次 成绩中不低于 8.5 分的次数为 X,求 X 的分布列及均值 E(X)、方差 V(X). 解 (1)甲、乙两位选手成绩的茎叶图如图:

- - 2 2 (2)因为 x 甲= x 乙=8.5,又 s2 s乙 =0.405,得 s甲 <s2 甲=0.27, 乙,所以选派甲合适. 1 (3)依题意得,乙不低于 8.5 分的频率为2,X 的可能取值为 0,1,2,3.则 X~ 1? ? B?3,2?, ? ? 1?3-k ?1?k? ?1?3 ∴P(X=k)=Ck =Ck 3?2? ?1-2? 3?2? ,k=0,1,2,3. ? ?? ? ? ? 所以 X 的分布列为 X P 1 3 ∴E(X)=np=3×2=2, 1? 3 1 ? V(X)=np(1-p)=3×2×?1-2?=4. ? ? 18.某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且 都是整数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下: 办理业务所需的时间(分) 频率 1 0.1 2 0.4 3 0.3 4 0.1 5 0.1 0 1 8 1 3 8 2 3 8 3 1 8

从第一个顾客开始办理业务时计时. (1)估计第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务的概率; (2)X 表示至第 2 分钟末已办理完业务的顾客人数, 求 X 的分布列及数学期望. 解 下: Y P 1 0.1 2 0.4 3 0.3 4 0.1 5 0.1 设 Y 表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,得 Y 的分布列如

(1)A 表示事件“第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务”,则事件 A 对应 三种情形:①第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟,且第二个顾客办理 业务所需的时间为 3 分钟;②第一个顾客办理业务所需的时间为 3 分钟,且 第二个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟;③第一个、第二个顾客办理业务 所需的时间均为 2 分钟. 所以 P(A)=P(Y=1)P(Y=3)+P(Y=3)P(Y=1)+P(Y=2)· P(Y=2) =0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22. (2)X 所有可能的取值为 0,1,2. X=0 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 2 分钟, 所以 P(X=0)=P(Y>2) =0.5; X=1 对应第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟且第二个顾客办理业务所 需的时间超过 1 分钟,或第一个顾客办理业务所需的时间为 2 分钟, 所以 P(X=1)=P(Y=1)P(Y>1)+P(Y=2)=0.1×0.9+0.4=0.49; X=2 对应两个顾客办理业务所需的时间均为 1 分钟,所以 P(X=2)=P(Y= 1)P(Y=1)=0.1×0.1=0.01. 所以 X 的分布列为 X P 0 0.5 1 0.49 2 0.01

E(X)=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51.


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