湖南省常德市2016届高三3月模拟考试数学理试题


2016 年 常 德 市 高 三 年 级 模 拟 考 试

数学(理工农医类)
第 I 卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 项是符合题目要求的. 1.设全集 U ? {x ? N | x ≥1} ,集合 A ? {x ? N | x2 ≥ 3} ,则 ?U A = A. ? B.{1} C.{1,2} D.{1,2,3} 2. 设 i 是虚数单位, z 表示复数 z 的共轭复数.若 z ? 1 ? 2i ,则复数 z ? i ? z 在复平面内对应的点位 于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知向量 a,b 均为单位向量,它们的夹角为 A.1 A. 0.6 5.已知函数 f ( x) ? ? A. ? sin1 B. 2 B. 0.4 只有一

2? ,则|a+b|= 3
D.2 D. 0.2 开始 输入 m ,n r=m MOD n m=n n=r

C. 3 C. 0.3

4.已知随机变量 X ~ N (1,? 2 ) ,若 P(0 ? X ? 2) ? 0.4 ,则 P( X ≤ 0) ?

? x3 ,

x≥ 0 3? ,则 f [ f (? )] ? 2 ?sin x, x ? 0
C. ?1 D. 1

B. sin1

6.右边程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的 “辗转相除法” ,执行该程序框图(图中“m MOD n”表示 ,若输入的 m , n 分别为 495,135,则输 m 除以 n 的余数) 出的 m = A.0 B.5 C.45 D.90 7.已知 3 件次品和 2 件正品放在一起,现需要通过检测将其 区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,则第一次 检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率为 A.

1 6

B.

3 10

C.

3 5

D.

5 6

r=0? 是 输出 m 结束



8.已知圆 C: x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 上存在两点关于直线 l :

x ? my ? 1 ? 0 对称,经过点 M (m, m) 作圆的两条切线,切
点分别为 P , Q ,则 | PQ |? A.3 9. 函数 y ? [sin( B. 2 3 C. 13 D.

12 13 13

?
4

? x) ? sin ] ?[cos( ? x) ? cos ] 是 4 4 4
·1·

?

?

?

A.最小正周期为 ? 的奇函数 C.最小正周期为

B.最小正周期为 ? 的偶函数 D.最小正周期为

?

2 ?2 x ? y ? 5 ≤ 0 y ?1 ? 10.不等式组 ?3x ? y ≥ 0 的解集记为 D, z ? , x ?1 ?x ? 2 y ≤ 0 ?
有下面四个命题: p1: ?( x, y ) ? D , z ≥ 1 p3: ?( x, y ) ? D , z ≤ 2 p2: ?( x, y ) ? D , z ≥ 1 p4: ?( x, y ) ? D , z ? 0

的奇函数

?
2

的偶函数

2

其中的真命题是 A.p1,p2 B.p1,p3 C.p1,p4 D.p2,p3 11.某几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积为

正视图 1 1 俯视图

侧视图

3? 2 C. 6?
A.

B. 3? D. 24?

12. 已知 e 为自然对数的底数, 若对任意的 x ? [0,1] , 总存在唯一的 y ?[?1,1] , 使得 x ? y 2e y ? a ? 0 成立,则实数 a 的取值范围是 A. [1, e] B. (1 ?

1 , e] e

C. (1, e]

D. [1 ?

1 , e] e

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
x 13 . 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x) 满 足 f ( x ? 2 ) ? f ( x )? 0 , 当 x?( 0 , 2 ] 时 , f (x )? 2 ,则

f ( 2 0 1 6? )

. .

14.已知 (1 ? x)6 ? a0 ? a1 x ? a2 x2 ? ? ? a6 x6 ,则 a0 ? a1 ? ? ? a6 ? 15.已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0)的左顶点为 M ,右焦点为 F ,过 F 的直线 l 与双曲线交于 a2 b2 ???? ???? ???? ? ???? ???? A,B 两点,且满足: MA ? MB ? 2MF , MA ? MB ? 0 ,则该双曲线的离心率是________.

16 . 在 四 边 形 ABCD 中 , AB ? 7 , AC ? 6 , cos ?BAC ? 为 .

11 , CD ? 6sin ?DAC , 则 BD 的 最 大 值 14

·2·

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 前 n 项和为 Sn ,且满足 3Sn ? 4an ? 2 ? 0 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)令 bn ? log 2 an , Tn 为 {bn } 的前 n 项和,求证: ?

1 ?2. k ?1 T k

n

18. (本小题满分 12 分) 某机构为了解某地区中学生在校月消费情况,随机抽取了 100 名中学生进行调查.右图是根据 调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图: 已知[350,450) ,[450,550) ,[550,650)三个金额段的学生人数成等差数列,将月消费金额不低于 550 元的学生称为“高消费群”. (Ⅰ)求 m,n 的值,并求这 100 名学生月消费金额 频率 的样本平均数 x(同一组中的数据用该组区间 组距 的中点值作代表) ; (Ⅱ)现采用分层抽样的方式从月消费金额落在 n [350,450) , [550,650) 内的两组学生中抽取 10 m 人,再从这 10 人中随机抽取 3 人,记被抽取 的 3 名学生中属于“高消费群”的学生人数为 0.0015 随机变量 X,求 X 的分布列及数学期望. 0.0010 0
250 350 450 550 650 750

月消费金额(元)

0

0

0

0

0

·3·

19. (本小题满分 12 分) 如图所示的几何体中, ABC ? A1 B1C1 为三棱柱,且 AA1 ? 平面 ABC ,四边形 ABCD 为平行 四边形, AD ? 2CD, ?ADC ? 60? . C1 B1 (Ⅰ)若 AA1 ? AC ,求证: AC1 ? 平面 A1 B1CD ; (Ⅱ)若 CD ? 2, AA1 ? ? AC ,二面角 C ? A1 D ? C1 的

2 余弦值为 ,求三棱锥 C1 ? A1CD 的体积. 4

A1

C D A

B

20. (本小题满分 12 分)

x2 y 2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,焦距为 4 2 ,抛物线 C2 : x2 ? 2 py( p ? 0) 2 a b 3 的焦点 F 是椭圆 C1 的顶点. (Ⅰ)求 C1 与 C2 的标准方程; ??? ? ??? ? (Ⅱ) C1 上不同于 F 的两点 P , Q 满足 FP ? FQ ? 0 ,且直线 PQ 与 C2 相切,求 ?FPQ 的面积.
已知椭圆 C1 :

·4·

21. (本小题满分 12 分) mx 已知函数 f ( x) ? ,曲线 y ? f ( x) 在点 (e2 , f (e2 )) 处的切线与直线 2 x ? y ? 0 垂直(其中 e 为 ln x 自然对数的底数) . (Ⅰ)求 f ( x) 的解析式及单调减区间; (Ⅱ)若函数 g ( x) ? f ( x) ?

kx 2 无零点,求 k 的取值范围. x ?1

请考生在第 22,23,两题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做 的第一个题目计分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 ? x ? 2cos? 已知曲线 C 的参数方程是 ? ( ? 为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建 ? y ? sin ? 立极坐标系, A , B 的极坐标分别为 A(2, ? ) , B(2,

4? ). 3

(Ⅰ)求直线 AB 的直角坐标方程; (Ⅱ)设 M 为曲线 C 上的动点,求点 M 到直线 AB 距离的最大值.

23. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | x ? 1| . (Ⅰ)求不等式 f ( x) ? 2 的解集; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f ( x ) ≤ a ?

a2 有解,求 a 的取值范围. 2
·5·

2016 年 常 德 市 高 三 年 级 模 拟 考 试

数学(理科)参考答案
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 项是符合题目要求的. 1.B 2.C 3.A 4.C 5.D 6.C 7.B 8.D 9.A 10.D 11.C 12.B 只有一

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 13.4 14.64 15.2 16.8 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (Ⅰ)由 3Sn ? 4an ? 2 ? 0 ,令 n ? 1 ,可得: a1 ? 2 ; ?????2 分 当 n ? 2 时,可得 (3Sn ? 4an ? 2) ? (3Sn?1 ? 4an?1 ? 2) ? 0 ? an ? 4an ?1 ???4 分 所以数列 {an } 是首项为 a1 ? 2 ,公比为 4 的等比数列, 故: an ? 2 ? 4n?1 = 22 n ?1 ????6 分 (Ⅱ) bn ? log2 22n?1 ? 2n ? 1 , Tn ? 1 ? 3 ? ? ? (2n ? 1) = n ????8 分
2

?T
k ?1

n

1
k

?

1 1 1 1 1 1 ? ??? 2 ? 1? ? ?? ? ????11 分 12 22 n 1? 2 2 ? 3 (n ? 1) ? n

1 1 1 ? ) = 2 ? ? 2 ????12 分 n ?1 n n 18. (1)由题意知 100(m ? n) ? 0.6 且 2m ? n ? 0.0015
= 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( 故 m ? 0.0025, n ? 0.0035 ????????3 分 所求平均数为:

1 2

1 1 2 3

x ? 300 ? 0.15 ? 400 ? 0.35 ? 500 ? 0.25 ? 600 ? 0.15 ? 700 ? 0.10 ? 470 (元)?5 分 (2)由题意从 ?350,450? 中抽取 7 人,从 ?550,650? 中抽取 3 人??????7 分
随机变量 X 的取值所有可能取值有 0,1,2,3 C k C 3? k P( X ? k ) ? 3 37 (k ? 0,1, 2,3) ????????9 分 C10 所以,随机变量 X 的分布列为 X 0 1 P 2 3

21 1 120 120 35 63 21 1 9 随机变量 X 的数学期望 E(X)= 0 ? ??12 分 ? 1? ? 2? ? 3? ? 120 120 120 120 10 19. (Ⅰ)证明:连接 A1C 交 AC1 于 E ,因为 AA1 ? AC ,又 AA1 ? 平面 ABCD ,所 以 AA1 ? AC ,所以 A1 ACC1 为正方形,所以 A1C ? AC1 , ?????2 分
·6·

35 120

63 120

在 ?ACD 中, AD ? 2CD, ?ADC ? 60? ,由余弦定理得 AC 2 ? AD2 ? CD2 ? 2 AC ? DC cos60? , 所以 AC ? 3CD ,所以 AD 2 ? AC 2 ? CD 2 所以 CD ? AC ,又 AA1 ? CD . 所以 CD ? 平面 A1 ACC1 ,所以 CD ? AC1 , 所以 AC1 ? 平面 A1B1CD . ????6 分 (Ⅱ)如图建立直角坐标系,则 D(2,0,0), A(0,2 3,0), C1 (0,0,2 3?) , A1 (0,2 3,2 3? )

???? ? ???? ? ? DC1 ? (?2,0,2 3?) , DA1 ? (?2,2 3,2 3? )
?? ? ???? ? ? ? ? ? ? n1 ? DC1 ? 0 设平面 A1C1D 的法向量为 n1 ? ( x1 , y1 ,1) ,由 ? ?? ? ???? ? ? ? n1 ? DA1 ? 0 ? ? ? ? ?2 x1 ? 2 3? ? 0 ? 解得 x1 ? 3?, y1 ? 0 ,所以 n1 ? ( 3?,0,1) ,??8 分 ? ? ??2 x1 ? 2 3 y1 ? 2 3? ? 0 z ?? ? C1 设平面 A1CD 的法向量为 n2 ? ( x2 , y2 ,1) , ?? ? ??? ? ? n2 ? CD ? 0 2 x2 ? 0 ? ? ? 由 ? ?? 得? ? ???? ? ? ?2 3 y2 ? 2 3? ? 0 ?n2 ? CA1 ? 0
解得 x2 ? 0, y2 ? ?? , E C D x A y B A1

B1

?? ? ? n2 ? (0, ??,1) ,???9 分
? ? ? ?? ? n1 ? n2 1 2 ? ? ?? ? ? 由 cos? ? ? ? 2 2 | n1 | ? | n2 | 3? ? 1 ? ? ? 1 4
得 ? ? 1 ,???10 分 所以 AA1 ? AC ,此时, CD ? 2, AA1 ? AC ? 2 3 ,

所以 VC1 ? A1CD ? VD? A1CC1 ? ? ( ? 2 3 ? 2 3) ? 2 ? 4 ???????12 分 20.解: (I)设椭圆 C1 的焦距为 2c ,依题意有 2c ? 4 2 , 解得 a ? 2 3 , b ? 2 ,故椭圆 C1 的标准方程为

1 3

1 2

c 6 ? , a 3

x2 y2 ? ? 1 . ??????3 分 12 4 又抛物线 C2 : x2 ? 2 py( p ? 0) 开口向上,故 F 是椭圆 C1 的上顶点,? F (0, 2) ,

? p ? 4 ,故抛物线 C2 的标准方程为 x 2 ? 8 y . ????????5 分
(II)显然,直线 PQ 的斜率存在. 设直线 PQ 的方程为 y ? kx ? m ,设 P( x1 , y1 ) ,

??? ? ??? ? Q( x2 , y2 ) ,则 FP ? ( x1 , y1 ? 2) , FQ ? ( x2 , y2 ? 2) , ??? ? ??? ? ? FP ? FQ ? x1 x2 ? y1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4 ? 0 ,????????6 分
·7·

即 (1 ? k 2 ) x1 x2 ? (km ? 2k )( x1 ? x2 ) ? m2 ? 4m ? 4 ? 0 ( * )

? y ? kx ? m ? 联立 ? x 2 y 2 ,消去 y 整理得, (3k 2 ? 1) x2 ? 6kmx ? 3m2 ? 12 ? 0 ( ** ). ? ? 1 ? ? 12 4 依题意, x1 , x 2 是方程( ** )的两根, ? ? 144k 2 ? 12m2 ? 48 ? 0 ,
3m 2 ? 12 ?6km x ? x ? , ,????????7 分 1 2 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1 将 x1 ? x2 和 x1 ? x2 代入( * )得 m2 ? m ? 2 ? 0 ,

? x1 ? x2 ?

解得 m ? ?1 , ( m ? 2 不合题意,应舍去). ????????8 分 联立 ?

? y ? kx ? 1
2 ?x ? 8 y

,消去 y 整理得, x 2 ? 8kx ? 8 ? 0 ,

令 ?? ? 64k 2 ? 32 ? 0 ,解得 k 2 ? 经检验, k 2 ?

1 . ????????10 分 2

1 , m ? ?1 符合要求. 2
72 18 12 3 ? 4(? ) ? , 25 5 5

此时, | x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ?

1 18 3 . ????????12 分 ? S?FPQ ? ? 3? | x1 ? x2 |? 2 5 m(ln x ? 1) 21. 解:(Ⅰ) f ?( x) ? ,??????1 分 (ln x) 2 2m 1 1 2x 又由题意有: f ?(e2 ) ? ? . ??3 分 ? ? m ? 2 ,故 f ( x) ? 4 2 2 ln x 2(ln x ? 1) 此时, f ?( x) ? ,由 f ?( x) ? 0 ? 0 ? x ? 1或 1 ? x ? e ,所以 (ln x)2
函数 f ( x ) 的单调减区间为 (0,1) 和 (1, e] . ??????5 分 (说明:减区间写为 (0, e] 的扣 2 分. ) kx 2 2 kx (Ⅱ) g ( x ) ? f ( x) ? ? g ( x) ? x( ? ) ,且定义域为 (0,1) ? (1, ??) , x ?1 ln x x ? 1 2 kx 要函数 g ( x) 无零点,即要 在 x ? (0,1) ? (1, ??) 内无解,亦即要 ? ln x x ? 1 2( x ? 1) ??????6 分 k ln x ? ? 0 在 x ? (0,1) ? (1, ??) 内无解. x 2( x ? 1) kx ? 2 构造函数 h( x) ? k ln x ? ? h?( x) ? 2 . x x ? ①当 k ? 0 时, h ( x) ? 0 在 x ? (0,1) ? (1, ??) 内恒成立,所以函数 h( x) 在 (0,1) 内单调递减, h( x) 在 (1, ??) 内也单调递减. 又 h(1) ? 0 ,所以在 (0,1) 内无零点, 在 (1, ??) 内也无零点,故满足条件; ??????8 分

kx ? 2 ②当 k ? 0 时, h?( x) ? ? h?( x) ? x2

2 k(x ? ) k x2

2 2 ⑴若 0 ? k ? 2 ,则函数 h( x) 在 (0,1) 内单调递减,在 (1, ) 内也单调递减,在 ( , ??) 内单调递 k k
·8·

2 2 2 增 . 又 h(1) ? 0 ,所以在 (0,1) 内无零点;易知 h( ) ? 0 ,而 h(e k ) ? k ? ? 2 ? 2 ? 0 ,故在 k k ek 2 ( , ?? ) 内有一个零点,所以不满足条件; k ⑵若 k ? 2 ,则函数 h( x) 在 (0,1) 内单调递减,在 (1, ??) 内单调递增 . 又 h(1) ? 0 ,所以

2

x ? (0,1) ? (1, ??) 时, h( x) ? 0 恒成立,故无零点,满足条件; ??10 分

2 2 ⑶若 k ? 2 , 则函数 h( x) 在 (0, ) 内单调递减, 在( , 在 (1, ??) 内也单调递增. 又 1) 内单调递增, k k 2 h(1) ? 0 ,所以在 ( , 1) 及 (1, ??) 内均无零点. k 2 又易知 h( ) ? 0 ,而 h(e ? k ) ? k ? (?k ) ? 2 ? 2 e k ? 2 e k? k 2 ? 2 ,又易证当 k ? 2 时, h(e? k ) ? 0 , k 2 所以函数 h( x) 在 (0, ) 内有一零点,故不满足条件. ????11 分 k 综上可得: k 的取值范围为: k ? 0 或 k ? 2 . ????12 分 2( x ? 1) 2( x ? 1) (说明:在(Ⅱ)的解答中,若分离变量 k ? ,再讨论函数 ? ( x) ? 的 x ln x x ln x 单调性获得 k ? 0 给 3 分) 22.选修 4—1:几何证明选讲 解析: (Ⅰ)连接 AE,∵CE 是直径,∴ ?CAE ? 90? , 又 CD ? AB ,∴ ?CDB ? 90? , ∵ ?CBD ? ?CEA ,故 Rt ?CBD ~ Rt ?CEA ,????????2 分


又 AB ? AC ,∴ AB ? CB ? CD ? CE .????????5 分 (Ⅱ)?FB 是 ? ? 的切线,??CBF ? ?CAB

CD AC ,∴ AC ? CB ? CD ? CE ? CB CE

? 在 ?ABF 和 ?BCF 中, ?
?

??FAB ? ?FBC ,??ABF ? ?BCF ??AFB ? ?CFB

FB AF 2 2 ? ? ? 2 ,? FA ? 2 AB ? 2 AC ,? AC ? CF ????7 分 BC AB 2 B D 设 AC ? x ,则根据切割线定理有 FA ? FC ? FB 2 ? x ? 2 x ? 8 ,? x ? 2 , O 1 1 7 ? S?ABC ? ? 2 ? 4 ? ? .????10 分 F 2 2 2 C
23.选修 4—4:坐标系与参数方程 解析: (Ⅰ) 将 A 、 B 化为直角坐标为 A(2cos ? , 2sin ? ) 、 B(2cos 即 A 、 B 的直角坐标分别为 A(?2, 0) 、 B(?1, ? 3) ,

E A

4? 4? ,2sin ) , 3 3

? 3 ?0 ? ? 3 ,∴直线 AB 的方程为 y ? 0 ? ? 3( x ? 2) , ?1 ? 2 即为 3x ? y ? 2 3 ? 0 .????????5 分 k AB ?
·9·

(Ⅱ)设 M (2cos? ,sin ? ) ,它到直线 AB 距离

d?

| 2 3 cos? ? sin ? ? 2 3 | | 13 sin(? ? ? ) ? 2 3 | = , (其中 tan ? ? 2 3 ) 2 2

13 ? 2 3 ????????10 分 2 24.选修 4—5:不等式选讲 解析: (Ⅰ)当 x ? 1 时, f (x) ? 2 x ?1 ?( x ?1) ? x ? 2 ,? f ( x) ? 2 ,? x ? 0 ,此时无解;
∴ d max ?

2 1 1 2 1 , 此时 ? ? x ? ; 当x ? ? 3 2 2 3 2 ? x ? ? 4 2 x ?1 ?( 1?) x ?? x ?2 时, f (x) ?? , , ? f ( x) ? 2 , 1 2 此时 ?4 ? x ? ? ;综上所述,不等式 f ( x) ? 2 的解集为 (?4, ) .???5 分 2 3 a2 a2 (Ⅱ) f ( x) ? a ? 有解 ? f ( x) min ? a ? 2 2 1 ? ? ? x ? 2   x ? ? 2 ? 1 1 3 ? ? ? x ? 1 ;当 x ? ? 时, f ( x) ? ? ; 由(Ⅰ)可知 f ( x ) ? ?3 x    2 2 2 ? ? x ? 2    x ? 1 ? ? 3 1 当 ? ? x ? 1 时, ? ? f ( x) ? 3 ;当 x ? 1 时, f ( x) ? 3 , 2 2 3 a2 3 ? a 2 ? 2a ? 3 ? 0 ? ?1 ? a ? 3 .???10 分 ∴ f ( x) min ? ? ,故 ? ? a ? 2 2 2
当 ? ? x ? 1 时,f ( x) ? 2 x ? 1 ? (1 ? x) ? 3 x , ? f ( x) ? 2 , ?x ? 欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org

·10·


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