选修2—1 第一章 §1.4全称量词与存在量词


高二数学 选修 2—1 第一章 § 1.4.1~§ 1.4.2 全称量词与存在量词
班级 姓名

(2014/11/6)

练习 3、判断下列命题的真假: (1) ?x ? Z , x 2 ? 3. (2) ?x ? R, x 2 ? 2x ? 3 ? 0; (3) ?x ? R, x 2 ?| x |

学习目标
1、了解全称量词和存在量词的定义和全称命题、存在性命题的定义 2、能正确地对含有一个量词的命题进行否定。 3、进一步提高利用全称量词与存在量词准确、简洁地叙述数学内容的能力。

高二数学 选修 2—1 第一章
学习目标

§ 1.4.3 含有一个量词的命题的否定

学习过程
一、创设情境: 下述命题有何不同? (1)所有中国公民的合法权益都受到中华人民共和国宪法的保护 (2)对任意实数 x,都有 x2≥0 (3)存在有理数 x,使 x2-2=0 二、定义建构: 短语“所有的”、“任意一个” 、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中通常叫做全称量词.用符号 “ ? x” 表示“对任意 x”。 简记为:?x ? M,p(x) 含有全称量词的命题,叫做全称命题。 短语“有一个”、“有一些”、 “存在一个”“至少一个” 等表示部分的量词在逻辑中通常叫做存在量词.用 符号“ ? x”表示“存在 x”。 含有存在量词的命题,叫做存在性命题。 简记为:?x ? M,p(x) 练习 1、判断下列命题是全称命题,还是存在性命题(写在括号内) ① 末位为 0 的整数,可以被 5 整除 ……………………………( ) ② 若 x ? R, y ? R, 则 ( x ? y )(x ? y) ? 0 ………………………( ) ③ 一定有 ? , ? ,使得 sin(? ? ? ) ? sin ? ? sin ? ……………( ④ 负数的平方是正数…………………………………………… ( ⑤ 实数能写成小数的形式……………………………………… ( ⑥ 一个实数乘以 ? 1 都等于它的相反数…………………………( 三、例题选讲: 例 1、判断下列命题的真假 1)有一个实数 x,使 x2+2x+3=0 成立; 2)存在两个相交平面垂直同一条直线; 3)有些整数只有两个正因数. 4) ? x∈ R,x2>x 5) ? x∈ R,x2>x 6) ? x∈ Q,x2-8=0 7) ?x∈ R,x2+2>0 例 2、将“x2+y2≥2xy”改写成全称命题,下列说法正确的是( ) A ? x,y∈ R 都有 x2+y2≥2xy; B ? x,y∈ R 使 x2+y2≥2xy C ? x>0,y>0,使 x2+y2≥2xy; D ? x>0,y>0 使 x2+y2≥2xy 练习 2、用符号“ ? ”与“ ? ”表示含有量词的命题 (1)存在实数 m,使方程 x2+mx+1=0 有实数根 ) ) ) )

1、通过生活和数学中的实例,理解对含有一个量词的命题的否定的意义。 2、能正确地对含有一个量词的命题进行否定。 3、进一步提高利用全称量词与存在量词准确、简洁地叙述数学内容的能力。 一、探索新知: (1)所有的人都喝水; (2)存在有理数 x ,使 x ? 2 ? 0 ;
2

(3)对所有的实数 a ,都有 | a |? 0 ; 尝试对上述命题进行否定,发现有什么规律? 二、新授知识: 总结对含有一个量词的命题进行否定的规律? 正面 = > < 是 都是 对 任 意 P 或 q 所有的 词语 x 成立 反面 词语 三、例题选讲: 例 3、写出下列命题的否定 (1)所有人都晨练; (3)平行四边形的对边相等; (2) ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ;
2

任意 两个

至多有 一个

至少有 一个

至多有 n个

P 且 q

(4) ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ;
2

练习 4、写出下列命题的否定 (1) ?x ? R, x - x ? 3 ? 0 ;
2

(2)有些质数是奇数



(3) ?x ? R,x ? 1 ? 0 ;
2

(4)存在一个三角形没有外接圆;

(5)至少有一个实数 x,使 x3+1=0 (2)对于任意实数 x ,存在实数 y ,使 x ? y >0
1

(6)对任意实数 x,存在实数 y,使 x+y>0

课后作业 一、基础训练题
1.下列四个命题中的真命题为( A.?x∈R,x2-1=0 B.?x∈Z,3x-1=0 C.?x∈R,x2+1>0 D.?x∈Z,1<4x<3 2.下列命题中,真命题是( ) )
2

二、提高训练题
10.设命题 p:对一切 x∈R,都有 x +ax+2<0,若﹁p 为真,则实数 a 的取值范围是________.

A.?m∈R,使函数 f(x)=x2+mx(x∈R)是偶函数 B.?m∈R,使函数 f(x)=x2+mx(x∈R)是奇函数 C.?m∈R,使函数 f(x)=x2+mx(x∈R)都是偶函数 D.?m∈R,使函数 f(x)=x2+mx(x∈R)都是奇函数 3.对下列命题的否定说法错误的是( )

A.p:能被 2 整除的数是偶数;﹁p:存在一个能被 2 整除的数不是偶数 B.p:有些矩形是正方形;﹁p:所有的矩形都不是正方形 C.p:有的三角形为正三角形;﹁p 所有的三角形不都是正三角形 D.p:?x∈R,x2+x+2≤0;﹁p:?x∈R,x2+x+2>0 4.已知命题 p:?x∈R,使 tan x=1,命题 q:x2-3x+2<0 的解集是{x|1<x<2},下列结论:①命题“p ∧q”是真命题;②命题“p∧? q”是假命题;③命题“? p∨q”是真命题;④命题“? p∨? q”是假命 题,其中正确的是( A.②③ C.①③④ ) B.①②④ D.①②③④ )

5.若存在 x0∈R,使 ax2 0+2x0+a<0,则实数 a 的取值范围是( A.a<1 C.-1<a<1 B.a≤1 D.-1<a≤1

6.命题“对任意一个实数 x,x2+2x+1 都不小于零”用“?”或“?”符号表示为________. 7.命题“有些负数满足不等式(1+x)(1-9x)>0”用“?”或“?”可表述为________. 8.(1)命题“对任何 x∈R,|x-2|+|x-4|>3”的否定是________. (2)命题“存在 x∈R,使得 x2+2x+5=0”的否定是________. 9.已知命题 p:?x0∈R,tan x0= 3;命题 q:?x∈R,x2-x+1>0,则命题“p 且 q”是________ 命题.(填“真”或“假”)

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选修 2—1 第一章

§ 1.4 全称量词与存在量词参考答案

1 1、解析:若 x2-1=0,则 x± 1,A 错误;若 3x-1=0,则 x= ?Z,B 错误; 3 1 3 2 若 1<4x<3,则 <x< ,D 错误;x +1≥1>0 恒成立,故选 C. 4 4 答案: C 2、解析:∵当 m=0 时,f(x)=x2(x∈R). ∴f(x)是偶函数 又∵当 m=1 时,f(x)=x2+x(x∈R) ∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数. ∴A 对,B、C、D 错.故选 A. 答案: A 3、 解析: “有的三角形为正三角形”为特称命题, 其否定为全称命题; 所有的三角形都不是正三角形, 故选项 C 错误. 答案: C π 4、解析:当 x= 时,tan x=1,∴命题 p 为真命题. 4 2 由 x -3x+2<0 得 1<x<2,∴命题 q 为真命题. ∴p∧q 为真,p∧? q 为假,? p∨q 为真,? p∨? q 为假. 答案: D 2 5、解析:当 a≤0 时,显然存在 x0∈R,使 ax2 0+2x0+a<0.当 a>0 时,需满足 Δ=4-4a >0,得-1 <a<1,故 0<a<1,综上所述,实数 a 的取值范围是 a<1. 答案: A 6、答案:?x∈R,x2+2x+1≥0 7、答案:?x0<0,使(1+x0)(1-9x0)>0 8、答案:(1)?x0∈R,|x0-2|+|x0-4|≤3 (2)?x∈R,x2+2x+5≠0 π 9、解析: 当 x0= 时,tan x0= 3, 3 ∴命题 p 为真命题; 1?2 3 x2-x+1=? ?x-2? +4>0 恒成立, ∴命题 q 为真命题, ∴“p 且 q”为真命题. 答案: 真 10、解析:﹁p 为真,又﹁p:?x∈R,x2+ax+2≥0,而函数 f(x)=x2+ax+2 开口向上,所以 a∈R. 答案:a∈R

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