上海市奉贤区2015届高三第二次模拟考试数学(理)试题


2014 学年奉贤区高三数学二模调研测试卷 一. 填空题 (本大题满分 56 分)

a ? 3bn 1 ,则 lim n =____________. n ?? n?? n?? 3 2a n 2、已知复数 z 满足 z ? i ? 1 ? iz( i 是虚数单位),则 z ? ____________.
1、已知 lim a n ? 3 , lim bn ? 3、函数 y ? lg x 2 ? 2 x ? 3 的定义域为____________. 4、若 log x y ? ?2,则x ? y 的值域为_____________.
2

?

?

5、在 (1 ? x)

5

? (1 ? x)6 的展开式中,含 x3 的项的系数是____________.

6、以抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F 为圆心,与抛物线的准线相切的圆的标准方程为__________.

1 ?? ? ? ,则 cos ? ? sin ? 的值是__________. 16 ?4 2? 8、古代印度数学家婆什迦罗在其所著的《莉拉沃蒂》中有如下题目:“今有人拿钱赠人,第一人给 3 元,第二人给 4 元,第三人给 5 元,其余依次递增,分完后把分掉的钱全部收回,再重新分配, 每人恰分得 100 元,则一共________人. 9、(理)点 A 到直线 x cos? ? y sin ? ? 2 ? cos? ? 0 ( ? 为参数, ? ? R )的距离恒为 2,则 A 的坐标 __________. 10、(理)从 0,1,2,3,4 这 5 个数中取 3 个数,记中位数是 ? ,则数学期望 E ?? ? =_______.
7、若 ? ∈ ? , ? , sin 2? = 11、(理)关于 x 的实系数一元二次方程 x2 ? 2 px ? 4 ? 0 的两个虚根 z1 、 z2 ,若 z1 、 z2 在复平面上 对应的点是经过原点的椭圆的两个焦点,则该椭圆的长轴长为__________. 12、(理)已知函数 y ? f ( x ) 与y ? f
?1

线 y ? x 对称,若 f ?x ? 是 R 上的函数, f ? x ? ? a ? x ? 1? a ? 1? ,则 g ?x ? =_________.
x

( x ) 互为反函数,又 y ? f

?1

( x ? 1) 与y ? g ( x ) 的图像关于直
1 ,且 2

13 、 ( 理 ) 已 知 非 零 向 量 序 列 : a1 , a2 , a3 ,...,an 满 足 如 下 条 件 : a1 ? 2 , a 1 ? d 1 ? ?

当 Sn 最大时, n,? N *?, n ? _____. an ? an?1 ? d ?n ? 2,3,4, . . . S n ? a1 ? a2 ? a1 ? a3 ? ... ? a1 ? an , 3 14、(理)在极坐标系中,曲线 ? cos ? ? 1 ? 0 上的点到 A ?1, 0 ? 的距离最小值是_______. 二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的 相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15、若 cos? ? 0, 且 sin 2? ? 0, 则角? 的终边所在象限是( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 16、已知 a1 , a2 , a3 ,...,a8 为各项都大于零的数列,则“ a1 ? a8 ? a4 ? a5 ”是“ a1 , a2 , a3 ,..., a8 不是 等比数列”的( ) A.充分且必要条件 C.必要但非充分条件 B.充分但非必要条件 D.既不充分也不必要条件

17 、 已 知 f ?x? ? A sin?wx ? ? ?, ?w ? 0? , 若 两 个 不 等 的 实 数 x1 , x2 ? ? x f ?x ? ?

? ?

| x1 ? x2 |m i ? n ? ,则 f ? x ? 的最小正周期是(
A. 3? B. 2? C. ?

A? ? ,且 2?

) D.

? 2

18、 (理)已知圆心为 O, 半径为 1 的圆上有不同的三个点 A、 B、 C, 其中 OA ? OB ? 0 , 存在实数 ? , ? 满足 OC ? ?OA ? uOB ? 0 ,则实数 ? , ? 的关系为( A. ? ? ? ? 1
2 2

) D. ? ? ? ? 1

B.

1

?

?

1

?

?1

C. ?? ? 1

1

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域 内写出必要的步骤. 19、如图,甲船在 A 处,乙船在 A 处的南偏东 45° 方向, 北 距 A 有 4.5 海里,并以 10 海里/小时的速度沿南偏西 15° 方向航行, 若甲船以 14 海里/小时的速度航行,应沿什么方向, A 45° 用多少小时能尽快追上乙船?(13 分) B 15°

20、三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,它的体积是 15 3 ,底面 ?ABC 中,

C

?BAC ? 900 , AB ? 4, AC ? 3 , B1 在底面的射影是 D ,且 D 为 BC 的中点.
(1)求侧棱 BB1 与底面 ABC 所成角的大小;(7 分) (2)求异面直线 B1 D 与 CA1 所成角的大小.(6 分)

A1

21、平面直角坐标系中,点 A?? 2,0? 、 B?2,0? ,平面内任意一点 P 满足:直线 PA 的斜率 k 1 ,直线

3 PB 的斜率 k 2 , k1 k 2 ? ? ,点 P 的轨迹为曲线 C1 .双曲线 C 2 以曲线 C1 的上下两顶点 M , N 为顶 4
点, Q 是双曲线 C 2 上不同于顶点的任意一点,直线 QM 的斜率 k3 ,直线 QN 的斜率 k 4 . (1)求曲线 C1 的方程;(5 分) (2)(理)如果 k1k 2 ? k3 k 4 ? 0 ,分别求双曲线 C 2 的两条渐近线倾斜角的取值范围.(9 分)

2

22、设 m 个不全相等的正数 a1 , a2 ,...,am ?m ? 3?依次围成一个圆圈. (1)设 m ? 2015 ,且 a1 , a2 , a3 ,...,a1008 是公差为 d 的等差数列,而 a1 , a2015 , a2014 ,...,a1009 是公比 为 q ? d 的等比数列; 数列 a1 , a2 ,...,am 的前 n 项和 Sn (n ? m) 满足 S3 ? 15, S 2015 ? S 2013 ? 12a1 , 求 数列 ?an ? 的通项公式;(6 分) (2)设 a1 ? a, a2 ? b?a ? b? ,若数列 a1 , a2 ,...,am 每项是其左右相邻两数平方的等比中项,求 a8 ; (4 分) (3)在(2)的条件下, m ? 2015 ,求符合条件的 m 的个数. (6 分)
m

23、已知 f ? x ? ?

2x ? m 1 定义在实数集 R 上的函数,把方程 f ( x) ? 称为函数 f ( x) 的特征方程, 2 x x ?1

特征方程的两个实根 ? , ? ( ? ? ? )称为 f ( x) 的特征根. (1)讨论函数的奇偶性,并说明理由;(5 分) (2)(理)求 f (? ) ? f

?? ? 表达式;(7 分)

(3)(理)把函数 y ? f ?x ?, x ? ?? , ? ?的最大值记作 max f ? x ? 、最小值记作 min f ? x ? 令 g ? m? ? max f ? x ? ? min f ? x ? ,若 g ? m ? ? ? m ? 1 恒成立,求 ? 的取值范围.(6 分)
2

3

高三二模数学参考答案 一、填空题 理科 1、

1 ; 3 3、 R / ?? ?, ?? / 一切实数;

2、 ? i ; 4、 ?2,??? ; 7、 ? 5、 - 10 ;

6、 ?x ? 1?2 ? y 2 ? 4 ; 8、195; 10、2 13、8 或 9 文科 1-8 同理科

15 ; 4 9、 ?1,0? ;
12、 y ? a x ? x ;

11 、4; 14、 2 2 ? 1

9、8 ; 10、

2 ; 5

11、 a ? 3 ;

12、 f ?x ? ? log 1 x ? 2 ? 1 ;
2 2

?

?

13、4 或 5; 14、8 或 9; 二、选择题 16、B 17、 A 理 15、D 15 D 16 B 17、 A 文 、 、 三、解答(74 分) 19、解析:设用 t 小时,甲船能追上乙船,且在 C 处相遇。 在△ABC 中,AC=14t,BC=10t,AB=4.5, 设∠ABC=α,∠BAC=β,∴α=180°-45° -15° =120° 根据余弦定理 AC ? AB ? BC ? 2 AB ? BC cos ? ,
2 2 2

18、A 18、C

2分

?14t ?

2

?

81 1 2 ? 1? 20t ? ? 2 ? 4.5 ?10t ? ( ? ) , 4 2
3 9 ,t= ? (舍) 4 32

4分 6分 8分

128t 2 ? 60t ? 27 ? 0 ,(4t-3)(32t+9)=0,解得 t=
∴AC=28× =,BC=20× =15

3 4

3 4

3 15 ? BC sin ? 2 ?5 3, ? 根据正弦定理,得 sin ? ? AC 21 14 5 3 又∵α=120°,∴β 为锐角,β=arcsin , 14 5 3 7 2 5 3 ? 2 又 < < ,∴arcsin < , 4 14 14 14 2 ? 5 3 甲船沿南偏东 -arcsin 的方向 4 14 3 用 小时可以追上乙船。 4

10 分 11 分

12 分 13 分

4

20、解答 (1)依题意, B1 D ? 面 ABC , ?B1 BD 就是侧棱 BB1 与底面 ABC 所成的角 ?

2分 4分 5分 7分

1 VABC ? A1B1C1 ? S?ABC ? B1 D ? ? 4 ? 3 ? B1D ? 15 3 2 5 B1 D ? 3 2 5 5 ? tan ? ? 3,?? ? 计算 BD ? , B1 D ? BD tan ? ? tan ? , 2 2 3 (2)取 B1C1 的中点 E ,连 EC, A1 E , 则 ?ECA (或其补角) 为所求的异面直线的角的大小 1 ABC , B1 D ‖ CE ,面 ABC ‖面 A1 B1C1 ? CE ? 面 A1 B1C1 , ? CE ? A1 E

9 分 B1 D ? 面 11 分 12 分

tan?A1CE ?

? 6 y y 3 x2 y 2 ? ? ? ,? ? ? 1? x ? ?2 ? 21、(1) k1k2 ? x?2 x?2 4 4 3 y 2 x2 ? ? 1? b ? 0 ? (2)设双曲线方程为 3 b2 y2 x2 Q ? x0 , y0 ? 在双曲线上,所以 0 ? 02 ? 1? b ? 0 ? 3 b 2 y ? 3 y0 ? 3 y0 ? 3 3 k3k4 ? 0 ? ? ? 2 x0 x0 x02 b
所求异面直线 B1 D 与 CA1 所成的角

5 AE 3 ? 2 ? EC 5 3 3 2

13 分 5分 6分

8分 9分 10 分

3 3 ?? ? 2 ? 0,? 0 ? b ? 2 4 b

3 3 ?? ? 2 ? 0,? 0 ? b ? 2 4 b
(理)双曲线渐近线的方程 y ? ? 设倾斜角为 ? ,则 tan? ? ?

3 x b

11 分

3 b
12 分

k?

3 3 3 3 ? , 或者 k ? ? ?? b 2 b 2
? ? 3 ?? , ? 2 2? ?

所以一条渐近线的倾斜角的取值范围是 ? arctan 另一条渐近线的倾斜角的取值范围是 ? (文)焦距是 2 3 ? b2

13 分

?? 3? ? 2 , ? ? arctan 2 ? ? ?

14 分 12 分

5

? 2 3 ? b2 ? 2 3, 2 7 ? ? 22、解:(1)因 a1 , a2015 , a2014 ,
从而 a2015 ? a1q, a2014 ? a1q
2

?

14 分

, a1009 是公比为 d 的等比数列,
1分 2分 3分 4分 5分 6分 6分

由 S 2015 ? S 2013 ? 12a1 , a2015 ? a2014 ? 12a1 , 故解得 d ? 3 或 d ? ?4 (舍去) 因此 d ? 3 ,又 S3 ? 3a1 ? 3d ? 15 ,解得 a1 ? 2 从而当 n ? 1008 时, an ? a1 ? (n ?1)d ? 2 ? 3(n ?1) ? 3n ?1 当 1006 ? n ? 2015 时,由 a1 , a2015 , a2014 ,?, a1009 是公比为 d 的等比数列得

a n ? a1 d 2015 ??n ?1? ? a1 32016 ? n ?1009? n ? 2015 ? ?3n ? 1, n ? 1008 因此 a n ? ? 2016 ? n ,1009? n ? 2015 ?2 ? 3
(2)由题意

an ? an?1 an?1 , am ? am?1 a1 , a1 ? am a2 ? an ? an?1an?1 ,
得 a3 ?

2

2

2

2

2

2

2

2

2

7分 8分 9分 10 分 11 分
2

a2 a 1 1 , a 4 ? , a5 ? , a 6 ? 1 , a1 a1 a2 a2

a7 ? a1 ? a 依此类推 a8 ? a2 ? b (3)猜想: m ? 6 k m ? 12,18,..,2012,一共有 335

an ? an?1 an?1 , am ? am?1 a1 , a1 ? am a2 得
      ①  ?an ? an ?1an ?1 (1 ? n ? m), ? ?am ? am ?1a1         ② ?a ? a a           ③ m 2 ? 1 又 ar ?3 ? ar ? 2 ? ar ?1 ? 1 ? 1 (1 ? r ? m ? 3) ,④故有 ar ?1 ar ar ?1 ar

2

2

2

2

2

2

2

2

12 分 13 分

1 ? ar (1 ? r ? m ? 6) .⑤ ar ?3 若不然,设 m ? 6k ? p, 其中 1? p ? 5 若取 p ? 1 即 m ? 6k ? 1 ,则由此得 am ? a6k ?1 ? a1 , a a 而由③得 am ? 1 , 故a1 ? 1 , 得 a2 ? 1, a2 a2 a 由②得 am?1 ? m , 从而a6 ? a6 k ? am?1 , a1 a 而 a6 ? 1 , 故a1 ? a2 ? 1,由 此推得 an ? 1 ( 1 ? n ? m )与题设矛盾 a2 同理若 P=2,3,4,5 均可得 an ? 1 ( 1 ? n ? m )与题设矛盾, 因此 m ? 6k 为 6 的倍数. ar ?6 ?

14 分

15 分

16 分

6

23、解答 (1) m ? 0 时, f ( x ) ?

f ?? x ? ?

?? x ?2 ? 1

?x

2x 是奇函数 x ?1
2

1分 3分 4分 5分 6分 7分 8分 9分 11 分

? ? f ?x ?

m ? 0 , f ( x) ?
举反例说明

2x ? m 是非奇非偶函数 x2 ?1

1 2 (2)(理) f ? x ? ? ,? x ? mx ? 1 ? 0 x ? ? ? m 2 ? 4 ? 0 恒成立 ?? ? ? ? m, ?? ? ?1

? ? ? ? ? m2 ? 4

f ? ? ? ? f ?? ? ?

2? ? m 2? ? m ? ? ? ? ? ? ? m ?? ? ? ? ? 2?? ? 2? ? ? ? 2 2 2 2 ? ?1 ? ?1 ? ? ? 1??? ? 1?

m2 ? 4 m2 ? 4 ? m2 ? 4 2 m ?4 1 2 2、(文)? f ? x ? ? ? x ? mx ? 1 ? 0 x 2 ? ? ? m ? 4 ? 0 恒成立 1 1 ? f ?? ? ? , f ?? ? ? ? ? ? ? ?2 ??2 ??f ?? ? ? ?f ?? ? ? ? ? ? f ?? ? ? f ?? ? ?

?

?

12 分 6分 7分 8分 9分 11 分 12 分

?

?

??

m2 ? 2 ? ?m 2 ? 2 ?? ?1 ??f ?? ? ? ?f ?? ? ? ?m2 ? 2 ? ?
f ?x2 ? ? f ?x1 ? ?

?? ? ? ?2 ? 2??

(3)、(理)证明说理 f ? x ? , x ??? , ? ? 上是递增函数

2 x2 ? m 2 x1 ? m ?x2 ? x1 ??m?x1 ? x2 ? ? 2 x1 x2 ? 2? ? 2 ? 2 2 x2 ?1 x1 ? 1 x2 ? 1 x12 ? 1

?

??

?

13 分

2 ? ? x1 ? x2 ? ? ? x2 ,? x12 ? mx1 ? 1 ? 0, x2 ? mx2 ? 1 ? 0,

? 2 x1 x2 ? m?x1 ? x2 ? ? 2 ? 0 ? x1 ? x2 ,? x1 ? x2 ? 0,? f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 0 ? f ?x ? 在 ?? , ? ? 内单调递增

2 2 2 x1 x2 ? x12 ? x2 ,? 2 x1 x2 ? x12 ? x2 ? m?x1 ? x2 ? ? 2

? x12 ? x2 2 ? m ? x1 ? x2 ? ? 2 ? 0

16 分 17 分

? m2 ? 4 ? ? m2 ? 1 恒成立

7

?? ?
?? ? 2

m2 ? 4 3 ? 1? 2 2 m ?1 m ?1
18 分

(文)设 ? ? x1 ? x2 ? ?

f ?x1 ? ? f ?x2 ? ?

2 x1 ? m 2 x2 ? m ?x2 ? x1 ??2 x1 x2 ? m?x1 ? x2 ? ? 2? ? 2 ? 2 x12 ? 1 x2 ? 1 x12 ? 1 x2 ?1

?

??

?

13 分

2 ? ? x1 ? x2 ? ? ? x2 ,? x12 ? mx1 ? 1 ? 0, x2 ? mx2 ? 1 ? 0,

2 2 ? 2 x1 x2 ? x12 ? x2 ,? 2 x1 x2 ? x12 ? x2 ? m?x1 ? x2 ? ? 2

? x12 ? x2 2 ? m ? x1 ? x2 ? ? 2 ? 0

14 分

? 2 x1 x2 ? m?x1 ? x2 ? ? 2 ? 0 ? x1 ? x2 ,? x1 ? x2 ? 0,? f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 0 ? f ?x ? 在 ?? , ? ? 内单调递增

15 分 16 分 18 分

8


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