求数列通项公式的9 种类型


求数列通项公式的 9 种类型 类型一 观察法 例 1.根据以下数列的前四项写出数列的一个通项公式. 1 1 1 1 , , , ,; 2 ? 4 3? 5 4 ? 6 5? 7 7, -15, 31, ; (2) -3, (1) (3) 2,6, 2,6, ; 55, 555, 5555, . (4) 5, 类型二 公式法(或定义法) :直接利用等差、等比数列的通项公式 类型三 累加法(叠加法)或迭代法—等差求通项思想:用于 an ? an?1 ? f ? n? ? an ? an?1 ? f ? n? 型. 1.累加法是利用:an ? ? an ? an?1 ? ? ? an?1 ? an?2 ? ? 列(等比或等差)求和,从而得到所求数列的通项. ? ? a2 ? a1 ? ? a1 ,将问题转化为基本数 a ? an ? f (n) ,其中 f(n)可以是关于 n 的一次函数、二次函数、指数 已知 a1 ? a , n?1 函数、分式函数,求通项 an . ①若 f(n)是关于 n 的一次函数,累加后可转化为等差数列求和; ②若 f(n)是关于 n 的二次函数,累加后可分组求和; ③若 f(n)是关于 n 的指数函数,累加后可转化为等比数列求和; ④若 f(n)是关于 n 的分式函数,累加后可裂项求和. 2.迭代法是利用递推关系得出:an ? f ? n ?1? ? f ? n ? 2? ? 然后得出所求数列的通项. 3.迭代法与累加法的关系 迭代法是只需要知道相连两项的关系就可以用,而累加法需要这两项的关系为系数相等的 线性关系,即 an?1 ? an ? b ,而对于某些关系,比如 an?1 ? kan ? b ,累加法比较难行得通, 这时候要构造新的数列,使得 an?1 ? c ? k ? an ? c ? ,即 ? f ? 2? ? f ?1? ? a1 ? n ? 2? , an?1 ? c ? k ,然后用累乘法,一 an ? c 般来说高考题更偏向于累乘法,因为其中有一个构造数列的应用。总之,累加法可以说是 迭代法的一种,迭代法的使用范围比累加法要广. 例 3.1.已知数列 an ? 满足 a1 ? 1, an ? 3 ? n?1 an ? (1) 求 a2 , a3 (2) 证明: ? an?1 ? n ? 2? , 3n ?1 . 2 1 3( n ?1)2 例 3.2. 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? an ,a1 ? 5 ,求数列 {an } 的通项公式。 n 3( n ?1)2 3n?2 解:因为 an?1 ? an ,所以 an ? an ?1 3 ( n ?1)?n?2 ? an ?2 2 ( n?2)?( n?1) n n?1 3( n ?1)?2 ? [an ]3n?2 ?2 n? 2 n?1 3( n ? 2)?2 ? [an ]3 ( n ?1)?n?2 ?3 3 ( n ? 2)( n ?1) n?2 ? an ?3 3 n?3 2 ( n?2)?( n?1) ( n?3)?( n?2)?( n?1) ? ? a13 ?a n?1 ?2?3 ( n ? 2)?( n ?1)?n?21?2? n ( n?1) 2 ?( n?3)?( n?2)?( n?1) 3n?1 ?n!?2 1 又 a1 ? 5 ,所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 5 3n?1 ?n!?2 n ( n?1) 2 。 n 3( n

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