解决数列中最值问题(1)


解决数列中最值问题
商水一高 郭朋飞

高考考纲要求
(1)数列的概念是 A 级要求,了解数列、数列的项、通项公式、前 n 项和等概念,一般不会 单独考查; (2)等差数列、等比数列是两种重要且特殊的数列,要求都是 C 级,熟练掌握等差数列、等 比数列的概念、通项公式、前 n 项求和公式、性质等知识,理解其推导过程,并且能够灵 活应用. (4)通过适当的代数变形后,转化为等差数列或等比数列的问题. (5)求数列的通项公式及其前 n 项和的基本的几种方法. (6)数列与函数、不等式的综合问题. 试题类型可能是填空题,以考查单一性知识为主,同时在解答题中经常与不等式综合考查, 构成压轴题.

重点剖析
1.主要类型:(1)数列中的恒成立问题的求解.(2)数列中最大项与最小项问题的求解.(3) 数列中前 n 项和的最值问题.(4)证明不等式时构建函数求最值(值域). 2.解题思路:结合条件与待求问题,把所求问题转化为关于 n 的函数或方程问题求解. 3.注意事项:(1)数列是定义 在 N*或其子集上的特殊函数,因此树立函数意识是解决数列 问题的最基本要求.
[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

(2)求解过程中要注意项数 n 的取值范围,防止出错.

考点透视

(12 分)(2014·天津模拟)已知函数 f(x)=logmx(m 为常数,0<m<1),且数列{f(an)}是首项 为 2,公差为 2 的等差数列. 2 (1)若 bn=anf(an),当 m=2时,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. (2)设 cn =anlg an,如果{cn}中的每一项恒小于它后面的项,求 m 的取值范围. [审题:分析信息,形成思路] (1)切入点:求 f(an),进而求出 an; 关注点:求 Sn 时应注意求和方法的选择. (2)切入点:根据 an 求 cn,把恒 成立问题转化为求函数的最值问题; 关注点:根据函数的单调性求最值. [解题:规范步骤,水到渠成] 【解】 (1)由题意 f(an)=2+(n-1)×2=2n,

即 logman=2n,所以 an=m2n.bn=anf(a n)=2nm2n, 当 m=

?1? 2 时,bn=anf(an)=n? ?n-1.2 分 2 ?2?
[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

?1? ?1? ?1? ?1? 所以 Sn=1? ?0+2? ?1+3? ?2+…+n? ?n-1,(i) ?2? ?2? ?2? ?2?
1 2

Sn=1? ?1+2? ?2+3? ?3+…+n? ?n.(ii)

?1? ?2?

?1? ?2?

?1? ?2?

?1? ?2?

[来源:学科网 ZXXK]

(i)-(ii),

?1? ?1? ?1? ?1? ?1? 1 得 Sn=1? ?0+? ?1+? ?2+…+? ? n-1-n? ?n 2 ?2? ?2? ?2? ?2? ?2? ? ?1? ? 1×?1-? ?n? ? ?2? ? ?1?n = -n? ? ,4 分 1 ?2? 1- 2 ?1? 所以 Sn=-(n+ 2)? ?n- 1+4. ?2?
6分

(2)由(1)知,cn=anlg an=2nm2nlg m,要使 cn<cn+1 对一切 n∈Z*成立②, 即 nlg m<(n+1)m2lg m 对一切 n∈N*成立.

0<m<1, 所以 lg m<0, 所以 n>(n+1)m2, 对一切 n∈N*恒成立, 只需 m2<? 8分

? n ? ?min, ?n+1?

? n ? 1 1 ?min= . =1- 单调递增,所以当 n =1 时,? n+1 n+1 2 ?n+1?
n
1 所以 m2< ,且 0<m<1, 2 所以 0<m< [变题]

10 分

? 2 2? ? ?.12 分 .所以 m 的范围为?0, ? 2 2 ? ?

[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

n+13 (201 4·山东济宁二模)已知数列{bn}满足 Sn+bn= 2 ,其中 Sn 为数列{bn}的前 n 项和. 1 (1)求证:数列{bn-2}是等比数列,并求数列{ bn}的通项公式; 12k (2)如 果对任意 n∈N*,不等式12+n-2Sn≥2n-7 恒成立,求实数 k 的取值范围. 【解】 (1)对 于任意 n∈N*,Sn+bn=

n+13
2



Sn+1+bn+1=

?n+1?+13 ② 2

1 1 ②-①得 bn+1= bn+ , 2 4 1 1 1 所以 bn+1- = (bn- ). 2 2 2 14 7 又由①式知,S1+b1= ,即 b1= . 2 2 1 1 1 所以数列{bn- }是首项为 b1- =3,公比为 的等比数列, 2 2 2

bn- =3×( )n-1,bn=3×( )n-1+ .
2 2 2 2 1 1 (2)因为 bn=3×( )n-1+ , 2 2 1 3? 1 - n? 2 1 1 1 n n 1 n 所以 Sn=3(1+ + 2+…+ n-1)+ = + =6(1- n)+ . 2 2 2 2 1 2 2 2 1- 2

1

1

1

1

12k 2n-7 因为不等式 ≥2n-7,化简得 k≥ n ,对任意 n∈N*恒成立, 12+n-2Sn 2 2n-7 2?n+1?-4 2n-7 9-2n 设 cn= n ,则 cn+1-cn= - n = n+1 , 2 2 n +1 2 2 当 n≥5 时,cn+1≤cn,cn 为单调递减数列, 当 1≤n<5 时,cn+1>cn,cn 为单调递增数列, 3 3 =c4<c5= ,所以,n=5 时,cn 取得最大值 , 16 32 32 2n-7 3 所以,要使 k≥ n 对任意 n∈N*恒成立,k≥ . 2 32 3 ∴实数 k 的取值范围是[ ,+∞). 32 专题训练 1. 等差数列{an}的首项是 2,前 10 项之和是 15,记 An=a2+a4+a8+a16+…+a2n, 求 An 及 An 的最大值. 2.已知等差数列{an}的首项 a1≠0, 公差 d≠0, 由{an}的部分项组成的数列 ab1, ab2, …, 1

abn,…为等比数列,其中 b1=1,b2=2,b3=6.
(1)求数列{bn}的通项公式 bn;(2)若数列{bn}的前 n 项和为 Sn,求 Sn 的值; 2 012n (3)求 An=Sn- 的最小值. 9


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