江苏省徐州市2010届高三上学期阶段性练习(数学)


江苏省徐州市 2010 届高三上学期阶段性练习 数学

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应的位置 上) 1.设集合 A={ ( x, y ) ︱ 4 x ? y ? 6 },B={ ( x, y ) ︱ 3x ? 2 y ? 7 },则满足 C ? (A∩B)的集 合 C 的个数是 ▲ . ▲ . ▲ . .

2.若 f ( x) ? a sin x ? 3cos x 是偶函数,则实数 a ? 3.已知命题 p: ?x ? R,sin x ? 1 , 则 ? p 为 ▲

4.直线 L 过点(-1,2)且与直线 2 x ? 3 y ? 4 ? 0 垂直,则直线 L 的方程是

5.若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为 18,焦距为 6,则椭圆的方程为 ▲ . 6.已知 tan ? ?

1 2 ,则 sin ? cos? ? 2 sin ? ? 2





7 .在△ ABC 中, a, b, c 分别为三个内角 A , B , C 的对边,设向量 m ? (b ? c, c ? a) ,

?

? ? ? n ? (b, c ? a) ,若 m ⊥ n ,则角 A 的大小为



. 1

y

8.已知函数 y = f (x)(x∈[0,2π])的导函数 y = f ' (x)的图象, O 如图所示,则 y = f (x) 的单调增区间为
2 2



. -1

? 2

3? 2 π

2π x

9.过点 P(-4,3)作圆 x ? y ? 2x ? 24 ? 0 的切线,则切线 方程是 ▲ .

(第 8 题图)

10. .已知 a ? (1, sin 2 x),b ? (2, sin 2x) ,其中 x ? ? 0, ? ? ,若 a ? b ? a ? b ,则 tan x 的值等 于 ▲ . 11 . 已 知 f ?x ? 是 定 义 在 ?? 2,2? 上 的 函 数 , 且 对 任 意 实 数 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) , 恒 有

f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 0 ,且 f ?x ? 的最大值为 1,则满足 f ?log2 x? ? 1 的解集为 x1 ? x2
12 .已知等差数列





?an?,?bn ? 的前

n 项和为 S

n

, T

n

, 若对于任意的自然数 n ,都有

S n 2n ? 3 a9 a3 ? ,则 ? = Tn 4n ? 3 b5 ? b7 b4 ? b8





13.已知函数 f ?x? ? x ? a x ? b (a, b ? R) ,给出下列命题: (1)当 a ? 0 时, f ?x ? 的图像关于点 ?0, b ? 成中心对称; (2)当 x ? a 时, f ?x ? 是递增函数; (3)当 0 ? x ? a 时, f ?x ? 的最大值为 其中正确的序号是 14.对于任意的 x ? ( 围为 ▲ ▲ .

a2 ? b. 4

? ?

, ) ,不等式 p sin 2 x ? cos4 x ? 2 sin 2 x 恒成立,则实数 p 的取值范 4 2


二、解答题: (本大题共 6 道题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤,并请将答案写在答题纸相应的位置上.) 15.(本小题满分 14 分)

· b ,其中向量 a ? (m, cos 2 x) , b ? (1 ? sin 2 x,1) , x ? R ,且 y ? f ( x) 的图 设函数 f ( x) ? a
象经过点 ? , 2? . (1)求实数 m 的值; (2)求 f ( x) 的最小正周期. (3)求 f ( x) 在[0,

?π ?4

? ?

? ]上的单调增区间. 2

16.(本小题满分 14 分)

x 2 2 已知集合 A ? y y ? ?2 , x ? [ 2,3] , B ? x x ? 3 x ? a ? 3a ? 0

?

?

?

?

(1)当 a ? 4 时,求 A

B;

(2)若 A ? B ,求实数 a 的取值范围.

17.(本小题满分 14 分) 已知数列{ an }与圆 C1 : x ? y ? 2x ? 2 y ? 2 ? 0 , x 2 ? y 2 ? 2an x ? 2an?1 y ? 1 ? 0 和圆 C 2 :
2 2

若圆 C1 与圆 C 2 交于 A, B 两点且这两点平分圆 C 2 的周长.

(1)求证:数列 {an } 是等差数列; (2)若 a1 ? ?3 ,则当圆 C1 的半径最小时,求出圆 C1 的方程.

18.(本小题满分 16 分) 某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中,发现其注 意力指数 p 与听课时间 t 之间的关系满足如图所示的曲线.当 t ? (0,14] 时,曲线是二次函数 图象的一部分,当 t ? [14,40] 时,曲线是函数 部分.根据专家研究,当注意力指数 (1) 试求 p ? f (t ) 的函数关系式; (2)老师在什么时段内安排核心内容能使得 学生听课效果最佳?请说明理由.

y ? loga ?x ? 5? ? 83 ( a ? 0 且 a ? 1 )图象的一

p 大于 80 时听课效果最佳.
p
82 81

00 00

O 0 0

12 14

40

t

00 00

00

19.(本小题满分 16 分) 将数列 ?an ? 中的所有项按第一行排 3 项,以下每一行比上一行多一项的规则排成如下数表:

a1 a4 a8

a2 a5 a9

a3 a6 a10 a7
a11

a12

…… 记表中的第一列数 a1 , a4 , a8 ,… ,构成数列 ?bn ? . (Ⅰ)设 b8 ? am ,求 m 的值;
2 2 (Ⅱ)若 b1 ? 1 ,对于任何 n ? N ,都有 bn ? 0 ,且 (n ? 1)bn ?1 ? nbn ? bn?1bn ? 0 .求数列
?

?bn ?

的通项公式;

(Ⅲ) 对于 (Ⅱ) 中的数列 ?bn ? , 若上表中每一行的数按从左到右的顺序均构成公比为 q(q ? 0) 的等比数列,且 a 66 ?

2 ? ,求上表中第 k ( k ? N )行所有项的和 S (k ) . 5

20.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? ln x , x ? (1, e) ,且 f ( x) 有极值. (1)求实数 a 的取值范围; (2)求函数 f ( x) 的值域; (3) 函数 g ( x) ? x ? x ? 2 , 证明:? x1 ? (1, e) ,? x0 ? (1, e) , 使得 g ( x0 ) ? f ( x1 ) 成
3

立.

参考答案
一、填空题: 1.2 2. 0 3. ?x ? R, sin x ? 1 4. 3x ? 2 y ? 1 ? 0 5.

x2 y2 x2 y2 ? ? 1或 ? ?1 25 16 16 25
10.1; 11. [ ,4)

6.0 7.

? 3

8. [0,π]

9. x ? ?4 或 8 x ? 15y ? 77 ? 0

1 4

12.

19 ; 13. 41

(1) (3)14. (?? , ] . 二、解答题: 15. 解: (1) f ( x) ? a ? b ? m(1 ? sin 2 x) ? cos 2 x ,………………3 分 ∵图象经过点 ? , 2? ,

3 2

?π ?4

? ?

∴f?

π? π ?π? ? ? ? m ?1 ? sin ? ? cos ? 2 ,解得 m ? 1 .………………5 分 2? 2 ?4? ? π? ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 1 ,………………7 分 4? ?
………………9 分

(2)当 m ? 1 时, f ( x) ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? ∴T ?

2? ?? 2

(3) x ? [0, 由

?
2

] , 2 x ? [0, ? ] ,∴ 2 x ?
?

?

?
4

? 2x ?

?

?
2

4

,得 0 ? x ?

?
8

? 5? ?[ , ] 4 4 4

………………11 分 ………………13 分 ………………14 分 ………………2 分

∴ f ( x) 在[0,

? ? ]上的单调增区间为 [0, ] . 8 2

16. 解: (1)A=[-8,-4]
2 当 a ? 4 时, B ? x x ? 3 x ? 28 ? 0 ? x x ? ?7或x ? 4 ,

?

? ?

?

………………4 分 ………………5 分

∴A

B ? [?8, ?7 )

(2) B ? x ( x ? a )( x ? a ? 3) ? 0 ①当 a ? ? ②当 a ? ?

?

?
………8 分

3 ? 3? 时, B ? ? x x ? R, x ? ? ? ? A ? B 恒成立; 2 2? ?

3 时, B ? x x ? a或x ? ?a ? 3 2

?

?

A ? B, ∴ a ? ?4 或 ? a ? 3 ? ?8 解得 a ? ?4 或 a ? 5 (舍去)

所以 ? 4 ? a ? ? ③当 a ? ?

3 ………………11 分 2

3 时, B ? x x ? ?a ? 3或x ? a 2

?

?
3 ? a ?1 2
………………13 分

A ? B,??a ? 3 ? ?4 或 a ? ?8 (舍去)解得 ?
综上,当 A ? B ,实数 a 的取值范围是 (?4,1) . 其它解法可参照给分。

………………14 分

17.解: (1)由已知,圆 C1 : x 2 ? y 2 ? 2an x ? 2an?1 y ? 1 ? 0 的圆心为 ?an ,?an?1 ? ,半径为

r1 ? an 2 ? an ?12 ? 1 ,
2 2

………………2 分

圆 C 2 : x ? y ? 2x ? 2 y ? 2 ? 0 的圆心为 (?1, ?1) ,半径为 r2 ? 2 ,……… 3 分
2 由题意: | C1C2 |2 ?r22 ? r 1 ,

………………5 分

则 (an ? 1)2 ? (an?1 ?1)2 ? 4 ? an 2 ? an?12 ? 1 ,

5 ,所以数列 {an } 是等差数列;………………7 分 2 5 11 (2) a1 ? ?3 ,则 an ? n ? ,………………9 分 2 2 1 1 2 2 (5n ? 11) 2 ? (5n ? 6)2 ? 4 = 50 n 2 ? 170 n ? 161 ,……… 则 r1 ? an ? an ?1 ? 1 ? 2 2
则 an ?1 ? an ? 12 分

n ? N? ,则当 n ? 2 时, r1 可取得最小值,………………13 分
此时,圆 C1 的方程是: x ? y ? x ? 4 y ? 1 ? 0 .………………14 分
2 2
2 18. 解 : ( 1 ) t ? (0,14] 时 , 设 p ? f (t ) ? c(t ? 12) ? 82 ( c ? 0 ) , 将 (14,81) 代 入 得

1 c ? ? ………………2 分 4 1 t ? (0,14] 时, p ? f (t ) ? ? (t ? 12) 2 ? 82 4
………………5 分

t ? [14,40] 时,将 (14,81) 代入 y ? loga ?x ? 5? ? 83 ,得 a ?

1 3

………………7 分

? 1 2 ?? 4 (t ? 2) ? 82 (0 ? t ? 14) ∴ p ? f (t ) ? ? . ………………9 分 log ( t ? 5) ? 83 (14 ? t ? 40) ? 1 ? 3 1 2 (2) t ? (0,14] 时, ? (t ? 12) ? 82 ? 80 解得 12 ? 2 2 ? t ? 12 ? 2 2 ,……11 分 4

∴ t ? [12 ? 2 2 ,14]

………………13 分

t ? [14,40] 时, log1 (t ? 5) ? 83 ? 80 解得 5 ? t ? 32 ,………………14 分
3

∴ t ? [14,32] , ∴ t ? [12 ? 2 2,32] ,………………15 分 即老师在 t ? [12 ? 2 2,32] 时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳.…………16 分 19. [解](Ⅰ)由题意, m ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ? 1 ? 43 ………………4 分
2 2 (Ⅱ)由 (n ? 1)bn ?1 ? nbn ? bn?1bn ? 0 , bn ? 0

令t ?

bn?1 得 t ? 0 ,且 (n ? 1)t 2 ? t ? n ? 0 ………………6 分 bn

即 (t ? 1)[(n ? 1)t ? n] ? 0 , 所以

bn ?1 n ………………8 分 ? bn n ?1 b b2 1 b3 2 n ?1 . . . , n ? ? , ? , b1 2 b2 3 bn ?1 n
1 ………………10 分 n

因此

将各式相乘得 bn ?

(Ⅲ)设上表中每行的公比都为 q ,且 q ? 0 .因为 3 ? 4 ? 5 ? ? ? ? ? 11 ? 63 ,………12 分 所以表中第 1 行至第 9 行共含有数列 ?bn ? 的前 63 项,故 a66 在表中第 10 行第三 列,………………14 分 因此 a 66 ? b10 ? q ?
2

2 1 .又 b10 ? ,所以 q ? 2 .则 5 10

S (k ) ?

bk (1 ? q k ? 2 ) 1 k ? 2 ? (2 ? 1) . k ? N ? ………………16 分 1? q k
1 .………………2 分 x

20. 解: (1)由 f ( x) ? ax ? ln x 求导可得: f ' ( x ) ? a ? 令 f ' ( x) ? a ?

1 1 ? 0 ,可得 a ? ? x x 1 1 1 ∵ x ? (1, e) ,∴ ? ? ( ?1,? ) ∴ a ? ( ?1,? ) x e e 又因为 x ? (1, e) 1 1 1 x (1,? ) ( ? , e) ? a a a f ' ( x) + 0 — f ( x) 单调递增 极大值 单调递减

………………3 分

所以, f ( x) 有极值

所以,实数 a 的取值范围为 ( ?1,? ) .

1 e

………………4 分

1 1 a a 又∵ f (1) ? a , f (e) ? ae ? 1 1 1 1 ?? 由 a ? ae ? 1 ,解得 a ? 又∵ ? 1 ? 1? e 1? e e 1 1 ∴当 ? 1 ? a ? 时,函数 f ( x) 的值域为 (ae ? 1,?1 ? ln(? )] …………8 分 a 1? e 1 1 1 ? a ? ? 时,函数 f ( x) 的值域为 ( a,?1 ? ln( ? )] . ………………10 分 当 1? e e a 3 2 (3)证明:由 g ( x) ? x ? x ? 2 求导可得 g ' ( x) ? 3x ? 1 ………………11 分
(2)由(Ⅰ)可知 f ( x) 的极大值为 f (? ) ? ?1 ? ln( ? ) ………………6 分

3 3 3 3 令 g ' ( x) ? 3x 2 ? 1 ? 0 ,解得 x ? ? 或x ? 3 3 3 又∵ x ? (1, e) ? ( ,??) ∴ g ( x) 在 (1, e) 上为单调递增函数 ………………12 分 3 ∵ g (1) ? ?2 , g (e) ? e 3 ? e ? 2 ∴ g ( x) 在 x ? (1, e) 的值域为 (?2, e 3 ? e ? 2) ………………14 分 1 3 ∵ e ? e ? 2 ? ? 1 ? ln( ? ) , ? 2 ? ae ? 1 , ? 2 ? a a 1 1 3 (a,?1 ? ln(? )] ? (?2, e3 ? e ? 2) ∴ (ae ? 1,?1 ? ln( ? )] ? (?2, e ? e ? 2) , a a ∴ ?x1 ? (1, e) , ?x0 ? (1, e) ,使得 g ( x0 ) ? f ( x1 ) 成立. ………………16 分
令 g ' ( x) ? 3x ? 1 ? 0 ,解得 x ? ?
2


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