湖南省湘潭市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析


湖南省湘潭市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1. (5 分)已知集合 M={2,3,4},N={0,2,3,5},则 M∩N=() A.{0,2} B.{2,3} C.{3,4} 2. (5 分)下列区间中,函数 f(x)=2 ﹣3 有零点的区间是() A.(﹣1,0) B.(0,1) C.(1,2) 3. (5 分)直线 x﹣y+8=0 的倾斜角的度数是() A.30° B.45°
x

D.{3,5}

D.(2,3)

C.60°

D.135°

4. (5 分)已知偶函数 f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,且 a=f(﹣1) ,b=f(log24) ,则实数 a,b 的 大小关系时() A.a<b B.a=b C.a>b D.不能比较 5. (5 分)已知正方体的棱长为 1,其俯视图是一个面积为 1 的正方形,侧视图是一个面积为 则该正方体的正视图的面积等于() A. B.1 C. D. 的矩形,

6. (5 分)如图,四棱锥 S﹣ABCD 的底面为正方形,SD⊥底面 ABCD,则下列结论中不正确的是()

A.AC⊥SB B. AB∥平面 SCD C . AC⊥面 SBD D.AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角 7. (5 分)已知直线 x+y+2=0 截圆 x +y =z 所得弦的长度为 4,则圆半径为() A.2 B. C .6 D. 8. (5 分)已知函数 f(x)=x ﹣2x,若 f(a)+f(b)=0,则 a+b 的值为() A.1 B.0 C.﹣1 D.不能确定
3 2 2 2

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 9. (5 分)函数 f(x)= 的定义域是.

10. (5 分)已知 5 =25,则 5 =.

2x

﹣x

11. (5 分)已知点 A(4,﹣2)和点 B(2 ,4) ,则线段 AB 的垂直平分线方程为. 12. (5 分)一个高为 2 的圆锥,底面半径为 1,该圆锥的体积为. 13. (5 分)已知幂函数 y=x
m﹣3

(m∈N )的图象关于 y 轴对称,且在(0,+∞)上单调递减,则 m=.

*

三、解答题 14. (12 分) (1)log363﹣2log3 (2) ÷a .
2

15. (11 分) (如图)在底面半径为 2 母线长为 4 的圆锥中内接一个高为

的圆柱,求圆柱的表面积.

16. (12 分)已知直线 l1:ax+y﹣1=0,l2: (3a﹣4)x﹣y﹣2=0,且 l1∥l2 (1)求 a 的值 (2)求以 N(1,1)为圆心,并且与 l2 相切的圆的方程.

四、选择题(每小题 5 分 ) 2 2 17. (5 分)已知圆 C: (x﹣3) +(y﹣4) =1 和两点 A(﹣m,0) ,B(m,0) (m>0) ,若圆 C 上存在 点 P,使得∠APB=90°,则 m 的最大值为() A.7 B.6 C .5 D.4

五、填空题(每小题 5 分)

18. (5 分)已知函数 f(x)=

,若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不等的实根,则实数 k

的取值范围是.

六、解答题 19. (12 分)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”,在特定条件下, 2 可食用率 p 与加工时间 t(单位:分钟)满足下列某函数关系:①p=at+b②p=alogbt③p=at +bt+c(a,b, c 是常数) ,如图记录了三次实验的数据, (1)根据这三次实验数据,请选用合适的函数模型,并说明理由 (2)利用你选取的函数,求出最佳的加工时间.

20. (14 分)如图,长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=AD=1,AA1=2,点 P 为 DD1 的中点 (1)求证:直线 BD1∥平面 PAC (2)求证:直线 PB1⊥平面 PAC.

21. (14 分)已知函数 f(x)=

的图象经过点(2,﹣ )

(1)求实数 p 的值,并写出函数 f(x)的解析式 (2)若 x≠0,判断 f(x)的奇偶性,并证明 (3)求函数 f(x)在上的最大值.

湖南省湘潭市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1. (5 分)已知集合 M={2,3,4},N={0,2,3,5},则 M∩N=() A.{0,2} B.{2,3} C.{3,4} D.{3,5} 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 根据集合的基本运算即可得到结论. 解答: 解:∵M={2,3,4},N={0,2,3,5}, ∴M∩N={2,3}, 故选:B 点评: 本题主要考查集合的基本运算,比较基础. 2. (5 分)下列区间中,函数 f(x)=2 ﹣3 有零点的区间是() A.(﹣1,0) B.(0,1) C.(1,2)
x

D.(2,3)

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 得出函数在 R 上单调递增,根据零点存在性定理判断即可:f(0)=﹣2<0,f(1)=﹣1<0,f (2)=1>0, x 解答: 解:∵函数 f(x)=2 ﹣3, ∴函数在 R 上单调递增, ∵f(0)=﹣2<0,f(1)=﹣1<0,f(2)=1>0, ∴根据零点存在性定理判断: (1,2)上有 1 个零点. 故选:C. 点评: 本题考查了观察法求解函数的单调性,零点存在性定理的运用,属于中档题,难度不大. 3. (5 分)直线 x﹣y+8=0 的倾斜角的度数是() A.30° B.45° C.60°

D.135°

考点: 直线的倾斜角. 专题: 直线与圆. 分析: 由直线方程求出直线的斜率,再由倾斜角的正切值等于斜率求得倾斜角. 解答: 解:由 x﹣y+8=0,得 y=x+8, ∴直线的斜率为 1, 设其倾斜角为 α(0°≤α<180°) , 由 tanα=1,得 α=45°. 故选:B. 点评: 本题考查了直线的倾斜角,考查了倾斜角与斜率的关系,是基础题. 4. (5 分)已知偶函数 f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,且 a=f(﹣1) ,b=f(log24) ,则实数 a,b 的 大小关系时() A.a<b B.a=b C.a>b D.不能 比较 考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数奇偶性和单调性之间的关系,进行比较即可. 解答: 解:∵f(x)是偶函数,∴a=f(﹣1)=f(1) ,b=f(log24)=f(2) , ∵函数 f(x)在区间(0,+∞)上单调递减, ∴f(1)>f(2) , 即 a>b, 故选:C 点评: 本题主要考查函数值的大小比较,根据函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键. 5. (5 分)已知正方体的棱长为 1,其俯视图是一个面积为 1 的正方形,侧视图是一个面积为 则该正方体的正视图的面积等于() A. B. 1 C. D. 的矩形,

考点: 简单空间图形的三视图. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 根据题意,画出图形,结合图形,求出该正方体的正视图面积是多少.

解答: 解:根据题意,画出图形,如图所示; 该正方体的俯视图是正方形 ABCD,其面积为 1, 侧视图是矩形 BDD1B1,其面积为 ; ∴正视图是矩形 ACC1A1,其面积为 S=AA1?AC=1× = . 故选:A.

点评: 本题考查了空间几何体的三视图的应用问题,是基础题目. 6. (5 分)如图,四棱锥 S﹣ABCD 的底面为正方形,SD⊥底面 ABCD,则下列结论中不正确的是()

A.AC⊥SB B. AB∥平面 SCD C. AC⊥面 SBD D.AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角 考点: 直线与平面垂直的性质;棱锥的结构特征. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: A.利用正方形的性质和线面垂直的性质与判定即可得出; B.利用正方形的性质和线面平行的判定定理即可得出; C.通过平移即可得出异面直线所成的角; D.利用线面垂直的判定与性质、线面角的定义、等腰三角形的性质即可得出. 解答: 解:A.∵SD⊥平面 ABCD,∴SD⊥AC. ∵四边形 ABCD 是正方形,∴AC⊥BD. 又∵SD∩DB=D. ∴AC⊥平面 SDB,∴AC⊥SB. B.∵四边形 ABCD 是正方形,∴AB∥DC, 又 AB?平面 SCD,CD?平面 SCD, ∴AB∥平面 SCD. C.由 A 可知:AC⊥平面 SDB. D.∵AB∥DC,∴∠SCD(为锐角)是 AB 与 SC 所成的角,∠SAB(为直角)是 DC 与 SA 所成的角; 而∠SCD≠∠SAB. ∴AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角不正确; 故选:D.

点评: 本题综合考查了空间位置关系和空间角、正方形的性质,考查了直线与平面垂直的性质,属于中 档题. 7. (5 分)已知直线 x+y+2=0 截圆 x +y =z 所得弦的长度为 4,则圆半径为() A.2 B. C. 6 D. 考点: 直线与圆相交的性质. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 把圆的方程化为标准形式,求出弦心距,再由条件根据弦长公式求得 z 的值 解答: 解:由题意,弦心距 d=
2 2 2 2 2 2

=



∵直线 x+y+2=0 截圆 x +y =z 所得弦的长度为 4, ∴由弦长公式可得 2 =4,∴|z|= ;

故选:D. 点评: 本题主要考查直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式,弦长公式的应用,属于基础题. 8. (5 分)已知函数 f(x)=x ﹣2x,若 f(a)+f(b)=0,则 a+b 的值为() A.1 B. 0 C . ﹣1 D.不能确定 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 运用奇偶性判断出,再结合图象判断即可. 3 解答: 解:∵函数 f(x)=x ﹣2x, 3 3 f(﹣x)=﹣x +2x=﹣(x ﹣2x)=﹣f(x) , ∴函数 f(x)的奇函数,
3

∵f(a)+f(b)=0, ∴f(a)=﹣f(b) , f(a)=f(﹣b) ,即 a=﹣b,也可能不是, 运用图象可判断:a+b 的值不确定 故选:D 点评: 本题考查了函数的奇偶性的定义,难度不大,属于容易题, 二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 9. (5 分)函数 f(x)= 的定义域是(1,+∞) .

考点: 专题: 分析: 解答:

函数的定义域及其求法. 函数的性质及应用. 由对数式的真数大于 0,根式内部的代数式大于等于 0 联立不等式组,求解 x 的取值集合得答案. 解:要使原函数有意义,则 x﹣1>0,即 x>1. 的定义域是(1,+∞) .

∴函数 f(x)=

故答案为: (1,+∞) . 点评: 本题考查了函数的定义域及其求法,考查了不等式组的解法,是基础题.
2x
﹣x

10. (5 分)已知 5 =25,则 5 = .

考点: 有理数指数幂的化简求值.

专题: 计算题. 分析: 根据指数幂的运算性质进行计算即可. 解答: 解:∵5 =25=5 , ∴2x=2,x=1, ∴5 =5 = , 故答案为: . 点评: 本题考查了指数幂的运算性质,是一道基础题. 11. (5 分)已知点 A(4,﹣2)和点 B(2,4) ,则线段 AB 的垂直平分线方程为 x﹣3y=0. 考点: 直线的一般式方程与直线的垂直关系. 专题: 直线与圆. 分析: 由中点公式和斜率公式以及垂直关系可得直线的斜率和过的定点,可得点斜式方程,化为一般式 即可. 解答: 解:∵点 A(4,﹣2)和点 B(2,4) , ∴AB 的中点为(3,1) , 由斜率公式可得 kAB= =﹣3,
﹣x ﹣1

2x

2

∴由垂直关系可得所求直线的斜率为 , ∴所求直线的方程为 y﹣1= (x﹣3) 化为一般式可得 x﹣3y=0 故答案为:x﹣3y=0 点评: 本题考查直线的一般式方程和垂直关系,属基础题.

12. (5 分)一个高为 2 的圆锥,底面半径为 1,该圆锥的体积为



考点: 专题: 分析: 解答:

旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 空间位置关系与距离. 根据已知中圆锥的高和底面半径,代入圆锥体积公式,可得答案. 解:∵圆锥的高 h=2,底面半径 r=1, = = ,

故圆锥的体积 V= 故答案为:

点评 : 本题考查的知识点是旋转体,熟练掌握圆锥的体积公式,是解答的关键. 13. (5 分)已知幂函数 y=x
m﹣3

(m∈N )的图象关于 y 轴对称,且在(0,+∞)上单调递减,则 m=1.

*

考点: 幂函数的性质. 专题: 函数的性质及应用.

分析: 由幂函数 y=x 的图象关于 y 轴对称,可得出它的幂指数为偶数,又它在(0,+∞)递减,故 它的幂指数为负,由幂指数为负与幂指数为偶数这个条件,即可求出参数 m 的值. 解答: 解:幂函数 y=x 的图象关于 y 轴对称,且在(0,+∞)递减, ∴m﹣3<0,且 m﹣3 是偶数 由 m﹣3<0 得 m<3,又由题设 m 是正整数,故 m 的值可能为 1 或 2 验证知 m=1 时,才能保证 m﹣3 是偶数 故 m=1 即所求. 故答案为:1. 点评: 本题考查幂函数的性质,已知性质,将性质转化为与其等价的不等式求参数的值属于性质的变形 运用,请认真体会解题过程中转化的方向. 三、解答题 14. (12 分) (1)log363﹣2log3 (2) ÷a .
2 m﹣3

m﹣3

考点: 对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)利用对数的运算法则即可得 出; (2)利用指数的运算法则即可得出. 解答: 解: (1)原式= (2)原式= =a .
2

=log39=2.

点评: 本题考查了指数与对数的运算法则,属于基础题. 15. (11 分) (如图)在底面半径为 2 母线长为 4 的圆锥中内接一个高为 的圆柱,求圆柱的表面积.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 计算题;图表型. 分析: 由已知中底面半径为 2 母线长为 4 的圆锥中内接一个高为 的圆柱,我们可计算出圆柱的底面 半径,代入圆柱表面积公式,即可 得到答案. 解答: 解:设圆锥的底面半径为 R,圆柱的底面半径为 r,表面积为 S, 则由三角形相似得 r=1 (2 分) ∴ ∴ , . (6 分)

点评: 本题考查的知识点是圆柱的表面积,其中根据已知条件,求出圆柱的底面半径,是解答本题的关 键. 16. (12 分)已知直线 l1:ax+y﹣1=0,l2: (3a﹣4)x﹣y﹣2=0,且 l1∥l2 (1)求 a 的值 (2)求以 N(1,1)为圆心,并且与 l2 相切的圆的方程. 考点: 圆的切线方程;直线的一般式方程与直线的平行关系. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: (1)利用两直线平行的条件,即可得出结论; (2)要求圆的方程,已知圆心坐标,关键是要求半径,根据直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于半 径,所以利用点到直线的距离公式求出圆心到直线 l2 的距离即为圆的半径,根据圆心坐标和求出的半径写 出圆的方程即可 解答: 解: (1)∵l1∥l2,k1=﹣a,k2=3a﹣4,k1=k2,b1≠b2 ∴﹣a=3a﹣4,∴a=1; (2)l2:x+y+2=0 又 l2 与圆相切 r= =2
2


2

∴所求圆的方程为: (x﹣1) +(y﹣1) =8. 点评: 此题考查学生掌握直线与圆相切时所满足的条件是圆心到直线的距离等于半径,灵活运用点到直 线的距离公式化简求值,是一道基础题. 四、选择题(每小题 5 分) 2 2 17. (5 分)已知圆 C: (x﹣3) +(y﹣4) =1 和两点 A(﹣m,0) ,B(m,0) (m>0) ,若圆 C 上存在 点 P,使得∠APB=90°,则 m 的最大值为() A.7 B. 6 C. 5 D.4 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 根据圆心 C 到 O (0, 0) 的距离为 5, 可得圆 C 上的点到点 O 的距离的最大值为 6. 再由∠APB=90°, 可得 PO= AB=m,可得 m≤6,从而得到答案. 解答: 解:圆 C: (x﹣3) +( y﹣4) =1 的圆心 C(3,4) ,半径为 1, ∵圆心 C 到 O(0,0)的距离为 5, ∴圆 C 上的点到点 O 的距离的最大值为 6. 再由∠APB=90°可得,以 AB 为直径的圆和圆 C 有交点, 可得 PO= AB=m,故有 m≤6, 故选:B.
2 2

点评: 本题主要直线和圆的位置关系,求得圆 C 上的点到点 O 的距离的最大值为 6,是解题的关键,属 于中档题. 五、填空题(每小题 5 分)

18. (5 分)已知函数 f(x)=

,若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不等的实根,则实数 k

的取值范围是(0,1]. 考点: 分段函数的应用;根的存在性及根的个数判断. 专题: 计算题;数形结合;转化思想;函数的性质及应用. 分析: 由题意可得关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不等的实根即为函数 y=f(x)的图象和直线 y=k 有 2 个不同的交点,数形结合求得 k 的范围. 解答: 解:由题意可得,关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不等的实根即为 函数 f(x)的图象和直线 y=k 有 2 个不同的交点, 如图所示: 故实数 k 的取值范围是(0,1], 故答案为: (0,1].

点评: 本题主要考查函数的零点与方程的根的关系,体现了转化、数形结合的数学思想,属于基础题. 六、解答题

19. (12 分)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”,在特定条件下, 可食用率 p 与加 工时间 t(单位:分钟)满足下列某函数关系:①p=at+b②p=alogbt③p=at +bt+c(a,b, c 是常数) ,如图记录了三次实验的数据, (1)根据这三次实验数据,请选用合适的函数模型,并说明理由 (2)利用你选取的函数,求出最佳的加工时间.
2

考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 应用题;函数的性质及应用. 分析: (1)由题意,函数有增也有减,故选用 p=at +bt+c,由提供的数据,求出函数的解析式; (2)由二次函数的图象与性质可得结论. 2 解答: 解: (1)由题意,函数有增也有减,故选用 p=at +bt+c,将(3,0.7) , (4,0.8) , (5,0.5)分别 代入 p=at +bt+c,可得
2 2



解得 a=﹣0.2,b=1.5,c=﹣2, 2 ∴p=﹣0.2t +1.5t﹣2, (2)由(1)知对称轴为 t=3.75,即最佳的加工时间是 3.75 分钟. 点评: 本题考查了二次函数模型的应用,考查利用二次函数的图象与性质求函数的最值问题,确定函数 模型是关键. 20. (14 分)如图,长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=AD=1,AA1=2,点 P 为 DD1 的中点 (1)求证:直线 BD1∥平面 PAC (2)求证:直线 PB1⊥平面 PAC.

考点: 直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)直接利用三角形的中位线,得到线线平行,进一步利用线面平行的判定定理得到结论. (2)利用线面垂直的判定和性质定理和勾股定理得逆定理得到线线垂直,进一步利用线面垂直的判定得 到结论. 解答: 证明: (1)长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=AD=1,AA1=2,点 P 为 DD1 的中点 连接 AC 和 BD,相较于 O,连接 OP, 所以:OP∥BD1 BD1?平面 PAC,OP?平面 PAC

所以:直线 BD1∥平面 PAC (2)连接 OB1,由于四边形 ABCD 是正方形,所以 AC⊥BD BB1⊥平面 ABCD 所以:AC⊥平面 BB1D1D 则:AC⊥PB1 由于: 所以:PB1⊥OP 直线 PB1⊥平面 PAC

点评: 本题考查的知识要点:线面平行的判定,线面垂直的判定和性质的应用,属于基础题型.

21. (14 分)已知函数 f(x)=

的图象经过点(2,﹣ )

(1)求实数 p 的值,并写出函数 f(x)的解析式 (2)若 x≠0,判断 f(x)的奇偶性,并证明 (3)求函数 f(x)在上的最大值. 考点: 函数奇偶性的判断;函数解析式的求解及常用方法;函数的最值及其几何意义. 专题: 计算题;分类讨论;函数的性质及应用. 分析: (1)运用代入法,解方程即可得到 p 和 f(x)的解析式; (2)运用定义法判断奇偶性,首先判断定义 域是否关于原点对称,再计算 f(﹣x)和 f(x)比较,即可 得到奇偶性; (3)运用导数,对 t 讨论,当 <t≤1 时,当 t>1 时,结合函数的单调性,即可判断函数的最大值.

解答: 解: (1)函数 f(x)= 则 f(2)=﹣ ,即 解得 p=2, 则 f(x)= ; =﹣ ,

的图象经过点(2,﹣ ) ,

(2)若 x≠0,f(x)为奇函数. 理由如下:定义域{x|x≠0}关于原点对称, f(﹣x)= =﹣f(x) ,

则 f(x)为奇函数; (3)f′(x)=﹣ (1﹣ ) ,

当 <t≤1 时,f′(x)≥0,f(x)在上递增,f(t)最大,且为



当 t>1 时,当 ≤x<1,f′(x)>0,f(x)递增;当 1<x<t 时,f′(x)<0,f(x)递减. 则 x=1 时 f(x)取得最大值,且为﹣ .

综上可得,当 <t≤1 时,f(x)的最大值为 当 t>1 时,f(x)的最大值为﹣ .



点评: 本题考查函数的解析式的求法,考查函数 的奇偶性的判断,考查函数的最值的求法,考查分类讨 论的思想方法,考查运算能力,属于中档题.


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