【南方凤凰台】2014届高考数学(理)二轮复习回归训练 第一部分 微专题训练-第1练 三角恒等变换与解三角形


【回归训练】 一、 填空题 1. 在 △ ABC 中 , 内 角 A,B,C 的 对 边 分 别 是 a,b,c, 若 a2=b2+bc,sin C=2sin B, 则 A= .

3 π 3π π π 3π 5 2. 已知α ∈( 4 , 4 ),β ∈(0, 4 ),cos(α - 4 )= 5 ,sin( 4 +β )= 13 ,则sin(α

+β )=

.

3 π 1 3. 已知sin α = 5 ,α ∈( 2 ,π ),tan(π -β )= 2 ,则tan(α -2β )=

.

4. 已知sin α -cos α = 2 ,α ∈(0,π ),则tan α =

.

π 1 1 5. 已知 α ∈ (0, 4 ), β ∈ (0, π ), 且 tan( α - β )= 2 ,tan β =- 7 , 则 2 α - β

=

.

6. 在△ ABC 中 ,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边 , 如果 a,b,c 成等差数列 ,B=30 ° , △
3 ABC的面积为 2 ,那么b=

.

sinA ? sinB 7. 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,tan C= cosA ? cosB ,sin(B-A)=cos

C,则B=

.

8. 若△ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c满足(a+b)2-c2=4,且C=60°,则a+b的最小 值为 二、 解答题
4 9. 如图,角A为钝角,且cos A=- 5 . ,点P,Q分别在角A的两边上.

.

(1) 若AP=5,AQ=2,求PQ的长;
1

12 (2) 设∠APQ=α ,∠AQP=β ,若cos α = 13 ,求sin(2α +β )的值.

(第9题)

10. 在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且2sin (1) 求角A的度数; (2) 若a= 3 ,b+c=3(b>c),求b和c的值.

B?C 2 2

1 7 - 2 cos 2A= 4 .

11. 如图,某气象仪器研究所按以下方案测试一种 “弹射型”气象观测仪器的垂直 弹射高度:在C处进行该仪器的垂直弹射,观测点A,B两地相距100 m,∠BAC=60°,
2 在 A 地听到弹射声音的时间比 B 地晚 17 s.A 地测得该仪器在 C 处时的俯角为

15°,A地测得最高点H的仰角为30°,求该仪器的垂直弹射高度 CH.(声音的传播 速度为340 m/s)

(第11题)

2

第一部分 第1练 【方法引领】

微专题训练——回归教材 三角恒等变换与解三角形


— 从一边开始证它的另一边,一般由繁到简

— 证明三角恒等式的常用方法 — — 证明左右两边都等于同一个式子(或值)

— 运用分析法,证明其他等式成立 —化异为同,切化弦, 1 的代换是常用技巧 — —角的变换是三角变换的核心,如β ? (α ? β)-α,2α ? (α ? β) ? (α-β)



三角恒等变形的 基本思路



3

—内容及常见变形 —三角形面积公式 —已知两角和任一边,求其他边和角 —解三角形方面的应用 —已知两边和其中一边对角,求其他边和角 —内容及常见变形(含推论) —余弦定理— —已知三边求角 —解三角形方面的应用 —已知两边和它们的夹角,求第三边和其他角 —正弦定理、余弦定理的应用——主要是测量、航行、几何等方面的应用

—正弦定理—

第一部分 第1练
π 1. 3
56 2. 65

微专题训练——回归教材 三角恒等变换与解三角形

7 3. 24

4. -1
3π 5. - 4

6. 1+ 3
5π 7. 12
4

4 3 8. 3
4 9. (1) 因为∠A是钝角,cos A=- 5 ,AP=5,AQ=2,

在△APQ中,由余弦定理得PQ2=AP2+AQ2-2AP·AQcos A,
4 所以PQ =5 +2 -2×5×2× - 5 =45,
2 2 2

所以PQ=3 5 .
12 5 (2) 由cos α = 13 ,得sin α = 13 .
3 4 又sin(α +β )=sin A= 5 ,cos(α +β )=-cos A= 5 ,

所 以 sin(2 α

+ β

)=sin=sin

α

cos( α

+ β

)+cos

α

sin( α

+

4 12 3 56 5 β )= 13 · 5 + 13 · 5 = 65 . B?C 2 2 1 7 7 2 - 2 cos 2A= 4 及A+B+C=180°,得2-2cos A+1= 2 ,

10. (1) 由2sin

4(1+cos A)-4cos2A=5,
1 所以4cos A-4cos A+1=0.所以cos A= 2 .
2

因为0°<A<180°,所以A=60°.
b 2 ? c 2 -a 2 (2) 由余弦定理,得cos A= 2bc . b 2 ? c 2 -a 2 1 1 因为cos A= 2 ,所以 2bc =2,
5

所以 (b+c)2-a2=3bc. 将a= 3 ,b+c=3代入上式得bc=2.

?b ? c ? 3, ?b ? 2, ? ? 由 ?bc ? 2, 及b>c,得 ?c ? 1.
2 11. 由题意,设AC=x,则BC=x- 17 ×340=x-40,

在△ABC中,由余弦定理可得BC2=BA2+CA2-2BA·CA·cos∠BAC, 即(x-40)2=x2+10 000-100x,解得x=420. 在△ACH中,AC=420,∠CAH=30°+15°=45°,∠CHA=90°-30°=60°,
CH AC 由正弦定理得 sin? CAH = sin? AHC ,

sin? CAH 可得CH=AC· sin? AHC =140 6 .

答:该仪器的垂直弹射高度CH为140 6 m.

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