太原2014-2015高三第一学段测评


1.已知集合 M={x||x|<2},N={x|?1 ≤ x ≤ 3},M∪N=( ) A.{?1,2} 2.函数 y=log
1
2 (x ?1)

B.[?1,2) 的定义域是( )

C.{?2,3}

D.(?2,3]

选D

A.(1,+∞) 解:

B.(1,2)∪(2,+∞)

C.(1,2)

D.(2,+∞) 选B

x?1>0 x>1 , 。 x?1≠1 x≠2

3.已知等差数列{an }中,a1 =1,a3 + a5 =8,则a7 =( ) A.7 B.8 C.13 D.15 解:∵ a3 + a5 =a1 + a7 =8,∴a7 =7 4.已知实数 a,b 满足 a<b,则下列结论正确的是( ) A. <
a 1 1 b

选A

B.2a > 2b

C.lna<lnb

D.a3 < b3 选D

解:A 中 a,b 同号不成立;B 中2x 递增,错;C 中无意义错;D 中x 3 递增,正确。 5.函数 f(x)=lnx? x 的零点所在的区间是( ) A.(1,2)
3 3

B.(1,e)

C.(e,3)

D.(e,+∞) 选C

解:f(e)=1? e <0,f(3)=ln3?1>0

6. 已知等比数列{an }的公比 q>1, 且a1 a4 = 8, a 2 + a 3 = 6, 则数列{an }的前 n 项和Sn = ( ) A.2n B.2n ?1 C.2n ? 1 D.2n ?1 ? 1 解:a1 a4 = 8,a2 a3 = 8,又a2 + a3 = 6,∴a2 =2,a3 =4,∴q=2。 选C 2 x 7.函数 y=(x ? 8)e 的单调递减区间是( ) A.(?4,2) B.(?∞, ?4)∪(2,+∞) ′ 2 解:y = (x + 2x ? 8)ex =(x+4)(x?2)ex 8.设曲线 y= A.?
1 2 2 x ?1 x+1

C.(?2,4)

D.(?∞, ?2)∪(4,+∞) 选A

在点(?2,f(?2))处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直,则实数 a=( ) B.
1 2

C.?2
1

D.2
1

解:y ′ = (x+1)2 ,y ′ |x=?2 =2,∴?a=? 2,则 a=2 9.函数 y=2x ?1的图像大致是( )
x2

选B

A

B

C

D

解:x→0,y→0;x<0,y<0;x→+∞,y→0。 10.设等差数列{an }的前 n 项和为Sn ,且满足S20 > 0,S21 < 0,则 1 ,
a1 S S2 a2

选B ,?,
S 21 a 21

中最大

的项为( ) A. a 8
8

S

B. a 9

S

9

C. a 10

S

10

D. a 11
11

S

1/4

解: 显然公差 d<0, S20 > 0, a1 + a20 > 0, a10 + a11 > 0; S21 < 0, a1 + a21 < 0, a11 < 0, ∴a10 > 0;则n ≤ 10 时,S10 最大,而a10 最小,故a 10 最大。
10

S

选C

11. 已知函数 f(x)满足 f(x+1)=

1

f x +1

, 且当 x∈(0,1]时, f(x)=x, g(x)=m(x+3), 若方程 f(x)=g(x)

在区间(?1,1]上有两个不同的实根,则实数 m 的取值 范围是( ) A.(0, ]
4 1

B.(0, ]
3

1

C.( , 1]
4

1

D.( , 1]
3

1

(1,1)

解:f(x)的图像如实曲线,g(x)的图像过(?3,0),斜率 为 m,如虚直线。依题意,可知 m∈(0, 4]。
1

(?3,0)

选A
1 2

12.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,f ′ (x)<0,且 f(2)=? ,则不等式 xf(x)<?1 的 解集为( ) A.(?∞, ? )∪( , +∞)
2 2 1 1

B.(? , )
2 2

1 1

C.(?∞, ?2)∪(2,+∞)
1 1

D.(?2,2)
1

解: 作草图: f(x)在 R 上递减。 当 x>0 时, f(x)<? x , 且其交点是(2,? 2), 当 x<0 时, f(x)> ? x , 其交点是(?2, 2),所以解集为(?∞, ?2)∪(2,+∞)。
1

选C

13.已知 p:x<1 或 x>3,q:a?1<x<a+1,若?q是?p的必要不充分条件,则实数 a 的取 值范围为________ 解:?q ? ?p,则 q?p,∴a+1≤1 或 a?1≥3,即 a≤0 或 a≥4. 填 ?∞, 0 ∪ [4, +∞) 14.已知数列{an }中,a1 = 3,an+1 = a 解:an+1 ? 1 = a
1
n ?1

1
n ?1

+ 1,则a2014 =_________

= an ?1 ? 1,∴{an ? 1}为周期数列且周期为 2,a1 ? 1=2,
1
1 ?1

∴a2014 ? 1=a2 ? 1=a 15.已知函数 f(x)=

= 2,∴a2014 = 2。

1

3

填2

3

若 f[f(a)]=2,则实数 a=__________ 1 ( 2 ) x , x ≤ 0,
1 2

log2 x,x > 0,

解:⑴当log2 f(a)=2 时,f(a)=4。当log 2 a = 4,则 a=16,当( )a = 4,则 a=?2; ⑵当(2)f(a) = 2时,f(a)=?1。当log2 a = ?1,则 a=2,当(2)a = ?1,则无解。 故 a=16 或?2 或2
1 1 1 1

填 16 或?2 或2

1

16.已知函数 f(x)的定义域为 D,若存在区间[a,b]?D,使得 f(x)满足: ⑴f(x)在[a,b]上是单调函数; ⑵f(x)在[a,b]上的值域是[2a,2b],则称区间[a,b]是函数 f(x)的“理想区间” ,给出下列命题: ①函数 f(x)=log 3 x不存在“理想区间” ; x ②函数 f(x)=2 存在“理想区间” ;
2/4

③函数 f(x)=x 2 ? 3 x ≥ 0 不存在“理想区间”; ④函数 f(x)=
8x x 2 +1

(x ≥ 0)存在“理想区间” 。 其中真命题的是________(填上所有真命题的序号)
log 3 e e

解: ①函数 f(x)=log3 x递增, 且 f(x)=log 3 x过原点的切线斜率为 无实根,∴不存在“理想区间” ,故真;

, ∵

log 3 e e

< 2, ∴log3 x = 2x

②函数 f(x)=2x 递增, 且 f(x)=2x 过原点的切线斜率为log e , ∵ log
2

e

e
2e

= eln2<2.8×0.7=1.96<2,

∴2x = 2x有两个不等根,存在“理想区间” ,故真; 2 2 ③函数 f(x)=x ? 3 x ≥ 0 递增,当x ? 3 = 2x,x 2 ? 2x ? 3=0,x=3 或 x=?1,在 x≥0 上 有一个根,∴不存在“理想区间” ,故真; ④函数 f(x)=x 2 +1=
8x 8 x+
1 x

,在[0,1)递增,(1,+∞)递减,而x 2 +1 = 2x的两根为 0、 3,在单调区

8x

间上只有一个根,不存在“理想区间” ,故假。 填①②③ 2 17.已知集合 A={x|x ? 3x ≤ 0},函数 y=log2 (x + 1)(x∈A)的值域为集合 B。 ⑴求 A∩B; ⑵若 x∈A∩B,求函数 y=2x + x的值域。 解:⑴A=[0,3],B=[0,2],∴A∩B=[0,2]; ⑵y=2x + x递增,∴y∈[1,6],故值域为[1,6]. 18.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且当 x≤0 时,f(x)=?xex 。 ⑴求函数 f(x)的解析式; ⑵求函数 f(x)的单调区间。 解:⑴当 x>0 时,?x<0,∴f(?x)=xe?x ,又为偶函数,∴f(x)=f(?x)= xe?x . 则 f(x)= ; ?xex ,x ≤ 0 xe?x ,x > 0

⑵当 x>0 时, f ′ (x)=e?x ? xe?x = (1 ? x)e?x , ∴(0,1)时f ′ (x)>0, f(x)递增, (1,+∞)时f ′ (x)<0, f(x)递减;由于偶函数,据对称性,(?∞, ?1)时f ′ (x)>0,f(x)递增,(?1,0)时f ′ (x)<0,f(x) 递减。 19.已知等差数列{an }的首项a1 =1,公差 d>0,其前 n 项和为Sn ,数列{bn }是等比数列, 且b1 = a2 ,b2 = a5 ,b3 = a14 。 ⑴求数列{an }和{bn }的通项公式; ⑵若数列{cn }满足b1 + b2 + ? + bn = Sn (n∈N ?),求数列{cn }的前 n 项和Tn 。
1 2 n

c

c

c

解:⑴数列{bn }的公比 q= b1 = a2 = 3,bn = 3n ;

14 ?5 5?2

= 3,∴a5 = 3a2 ,3(1+d)=1+4d,∴d=2。∴an = 2n ? 1,

⑵∵ bn = an ,∴cn = bn an =(2n?1)3n 。
n

c

Tn = 1 ? 3 + 3 ? 32 + ? + (2n ? 1) ? 3n , 3Tn = 1 ? 32 + 3 ? 33 + ? + (2n ? 1) ? 3n+1 , ∴?2Tn =3+2? 32 + 2 ? 33 + ? + 2 ? 3n ? (2n ? 1)3n+1 =3+2× =?6+(2?2n)3n+1 ,∴Tn = 3 + (n ? 1) ? 3n+1 .
3/4
9?3n +1 1?3

?(2n?1)3n+1

20.已知函数 f(x)=ax+

a ?1 x

? lnx+1(a∈R).

⑴讨论 f(x)的单调性; ⑵当 x∈(0,1)时,若不等式 f(x)<1 恒成立,求实数 a 的取值范围。 解:⑴f ′ x = a ?
a ?1 x2

? =
x

1

ax 2 ?x ?(a ?1) x2

,(x>0)

①a=0 时,f ′ x = a≠0 时,f ′ x =

1?x x2

,则(0,1)递增,(1,+∞)递减;
1 ?a ) a

a x ?1 (x ? x2

,∵

1 ?a a

?1=

1?2a a



0

②a<0 时,则(0,1)递增,(1,+∞)递减; ③0<a< 时,则(0,1),(
2 1 1 1?a a

1 2

, +∞)递增,(1,

1?a a

)递减;

④a=2时,则(0,+∞)递增; ⑤ < < 1时,则(0,
2 1 1?a a

),(1, +∞)递增,(

1?a a

,1)递减;

⑥a≥1 时,则(0,1)递减,(1,+∞)递增。 ⑵ ax+
a ?1 x

? lnx+1<1,∴a<

xlnx +1 x 2 +1

,设 g(x)=

xlnx +1 x 2 +1

,g′ x =

x 2 ?2x+1 +(1?x 2 )lnx (x 2 +1)2


1

设 φ(x)= x 2 ? 2x + 1 + (1 ? x 2 )lnx,φ′ x = x + x ? 2 ? 2xlnx,∵0<x<1,x + x > 2 ∴φ′ x > 0,φ(x)递增,φ(x)< φ(1)=0,∴g′ x < 0,g(x)递减,g(1)=2,∴g(x)>2, ∴a≤ 。
2 1 1 1

1

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