函数与导数压轴题方法归纳与总结


函数与导数压轴题方法归纳与总结 题型与方法 题型一 例1 切线问题 (二轮复习资料 p6 例 2)

归纳总结:

题型二 例2

利用导数研究函数的单调性

a 已知函数 f(x)=ln x- . x (1)求 f(x)的单调区间; 3 (2)若 f(x)在[1,e]上的最小值为 ,求 a 的值; 2 (3)若 f(x)<x2 在(1,+∞)上恒成立,求 a 的取值范围.

归纳总结:

题型三 已知函数的单调性求参数的范围 例 3. 已 知 函 数 g ? x ? ?

f ? x ? ? mx ?

(1)求 ? 的值.

m ?1 ? ln x, m ? R x

1 ? ln x 在 ?1, ?? ? 上 为 增 函 数 , 且 ? ? ? 0, ? ? , x ? sin ?

(2)若 f ( x) ? g ( x)在?1, ?? ? 上为单调函数,求 m 的取值范围.

归纳总结:

题型四 已知不等式成立求参数的范围 a 例 4..设 f(x)= +xln x,g(x)=x3-x2-3. x (1)当 a=2 时,求曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线方程; (2)如果存在 x1,x2∈[0,2]使得 g(x1)-g(x2)≥M 成立,求满足上述条件的最大整数 M; 1 ? (3)如果对任意的 s,t∈? ?2,2?都有 f(s)≥g(t)成立,求实数 a 的取值范围.

归纳总结:

跟踪 1.已知 f ( x) ?

m ? n ln x (m,n 为常数)在 x=1 处的切线为 x+y-2=0(10 月重点高 x ?1

中联考第 22 题) (1) 求 y=f(x)的单调区间; (2) 若任意实数 x∈ ? ,1? ,使得对任意的 t∈[1,2]上恒有 f ( x) ? t ? t ? 2at 成立,求
3 2

?1 ? ?e ?

实数 a 的取值范围。 1 1 跟踪 2. 设 f(x)=- x3+ x2+2ax.(加强版练习题) 3 2 2 (1)若 f(x)在( ,+∞)上存在单调递增区间,求 a 的取值范围; 3 16 (2)当 0<a<2 时,f(x)在[1,4]上的最小值为- ,求 f(x)在该区间上的最大值. 3 题型五 例5 利用导数研究函数的零点或方程根的方法

已知函数 f(x)=x3-3ax-1,a≠0. (1)求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)在 x=-1 处取得极值, 直线 y=m 与 y=f(x)的图象有三个不同的交点, 求m 的取值范围.

归纳总结:

跟踪 1.已知函数 f(x)=x2-aln x 在(1,2]是增函数,g(x)=x-a x在(0,1)为减函数. (1)求 f(x)、g(x)的解析式; (2)求证:当 x>0 时,方程 f(x)=g(x)+2 有唯一解.

题型六 已知函数的零点(或两函数的交点分布或方程根的分布)求参数的范围 ln x+a 1 例 6.已知函数 f(x)= (a∈R),g(x)= . x x (1)求 f(x)的单调区间与极值; (2)若函数 f(x)的图象与函数 g(x)的图象在区间(0, e2]上有公共点, 求实数 a 的取值范围.

归纳总结:

跟踪 1.已知 f(x)=ax2 (a∈R),g(x)=2ln x.(第三章专题一例 3) (1)讨论函数 F(x)=f(x)-g(x)的单调性; (2)若方程 f(x)=g(x)在区间[ 2,e]上有两个不等解,求 a 的取值范围.

题型七 利用导数求函数的极值与最值 例 7.已知函数 f(x)=xln x. (1)求函数 f(x)的极值点; (2)设函数 g(x)=f(x)-a(x-1),其中 a∈R,求函数 g(x)在区间[1,e]上的最小值.(其中 e 为自然对数的底数).

归纳总结: 题型八 证明函数不等式 例 8. 1.证明:ln x≤x-1 2.已知函数 f(x)=ax+lnx,其中为常数 (1)求 f(x)的单调区间 (2)若 a<0,且 f(x)在区间 (0,e]上的最大值为-2,求 a 的值 (3)当 a=-1 时,试证明:

x f ( x) ? ln x ?

1 x 2

归纳总结:

跟综 1.已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? (1) 当 a ? ?

a ?1 (a∈R)(5 月摸底考试最后一题) x

1 时,讨论 f(x)的单调性; 2

(2) 当 a=1 时,若关于 x 的不等式 f ( x) ? m2 ? 5m ? 3 恒成立,求实数 m 的取值范 围; (3) 证明: ln n ? 3 ? 2n ?

1 * (n∈ N ) n

题型九 解决优化问题 7.某分公司经销某品牌产品,每件产品的成本为 3 元,并且每件产品需向总公司交 a 元 (3≤a≤5)的管理费,预计当每件产品的售价为 x 元(9≤x≤11)时,一年的销售量为(12- x)2 万件. (1)求分公司一年的利润 L(万元)与每件产品的售价 x 的函数关系式; (2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润 L 最大,并求出 L 的最大值 Q(a).

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