圆锥曲线中焦点弦长为定长的弦的条数问题


14

数 学 通 讯               1998 年第 2 期 

由一道试题引起的讨论
朱伟卫
( 武钢四中 430080)

  有这样一道选择题: 过双曲线 2x 2 - y 2 8x + 6= 0 右焦点 F 作直线 l 交双曲线于 A , . 若 AB B 两点 (   ) (A ) 1 条 .    (B ) 2 条 . (C ) 3 条 .    ( 4) 4 条 . = 4, 则这样的直线 l 存在

条数 设圆锥曲线 C 的离心率为 e, 焦点为 F , 极坐标方程为 Θ =
. 为方便计, 允许 1- eco sΗ ≤2Π , 其通径长为 2ep. Θ取负值, 限定 0≤Η
ep

在解这道题 时, 部 分 学 生 将 方 程变 为 ( x - 2 ) 2 y
2

设 A B 是过 F 的一条弦, A , B 两点的坐 ) , (Θ ) , 其中 0 ≤ Α 标分别是 ( Θ + Π < Π . A , Α B, Α 则
AB =

Θ A + Θ B
ep ep

2

= 1, 再根据双曲

线 的 对 称 性, 作 出 图 1, 从 而 误 选
(D ).
图1

+ ) 1- co sΑ 1- eco s ( Α + Π 2ep = ① 1- e2 co s2 Α 在 式 ① 中 令 AB = 2ep , 可 得 2ep = 2ep 即 1- e2 co s2 Α = 1, 从而 1- e2 co s2 Α = 0 或 e co s Α= 2 即 co sΑ= 0 或 co sΑ e co s Α
2 2 2 2

=

事实上, 已知双曲线实轴长为 2, 过右焦 点 F ( 2+
3 , 0 ) 且垂直于实轴的弦即双曲

线的通径长为 4, 因此与双曲线右支相交于 两点且使弦长为 4 的直线只有一条, 而与双 曲线两支都相交且所得弦长为 4 的直线对称 地有两条, 因此应选 (C ). 这个问题的实质是, 在双曲线的焦点弦 中, 等于通径长的弦有几条? 更一般地, 在圆 锥曲线中, 等于通径长的焦点弦有几条? 本文 拟用圆锥曲线的统一的极坐标方程来解决这 一问题, 并由此解决在圆锥曲线中, 焦点弦长 为定长 l 的弦的条数问题, 而且由文中的讨 论, 能够较方便地解决一些与此相关的问题. 一、 圆锥曲线中, 等于通径长的焦点弦的

= ±

2
e

. 所以 Α =

Π , 且当 co sΑ = 2
2
e

2
e



1 即 e≥ - a rcco s

2 时, 还有 Α = a rcco s 2
e

或Α = Π

. 2 时, 使 A B = 2ep 的

由此我们得到如下结论:
( 1 ) 当 0< e <

弦 A B 只有一条, 它就是通径, 所在直线方程 Π 为Η = ; 2 ( 2) 当 e = 2 时, 使 A B = 2ep 的弦 有两条, 其中一条是通径, 另一条所在直线方 程 为 Η = a rcco s
2
e

= 0 或 Η= Π-

 1998 年第 2 期              数 学 通 讯

15 2p
e

a rcco s

2
e

= Π , 就是实轴; 2 时, 使 A B = 2ep 的弦

2 = 1co s Α

. 由 0 ≤ co s2 Α < 1 得 l ≥ 2p. 所

( 3) 当 e >

以在抛物线中, 焦点弦中通径最短, 即使定长
l = 2p 的焦点弦只有一条, 即通径, 使定长 l

有 3 条, 其中一条是通径, 另两条关于极轴对 称, 其 所 在 直 线 的 方 程 分 别 是 Η =
a rcco s 2
e

> 2p 的焦点弦有两条, 它们所在直线的方程

和Η = Π - a rcco s

2
e


. 3> 2,

Η =

a rcco s 12p
l

1-

2p
l



Η =

Π

显然, 本文开篇试题中 e = 为第 ( 3) 种情形.

- a rccco s

, 它们关于极轴 ( 或抛物

线的对称轴) 对称.
( 3) 若 e> 1, 则
e l 2 ep l 2 ep 时, 由 式 ② 得 co s2 Α= , 0≤ < 2 2 le le

在上面讨论的启发下, 我们来研究 二、 在圆锥曲线中, 等于定长 l ( l > 0 ) 的 焦点弦的条数 如上所述, 我们在式①中令 A B = l , 可 得
2ep    = l ② 1- e2 co s2 Α ( 1 ) 若 0< e < 1, 则 1- e2 co s2 Α > 0, 从而 2ep l - 2ep 式②即为 = l , 即 co s2 Α = 2 . 由 1- e2 co s2 Α le l - 2ep 0 ≤ co s2 Α≤ 1 得 0 ≤ ≤ 1, 即 2ep ≤ l ≤ 2
le

( i) 当 1- e2 co s2 Α > 0 即-

1
e

< co sΑ <

1

1
e

2

, 所以 l ≥ 2ep. 这时使 l > 2ep 的焦点弦有

两条, 它们关于极轴对称, 所在直线的方程为 Η =
a rcco s a rcco s
l - 2ep 2 . le l - 2ep 2 le



Η =

Π -

2ep , 从而这时有 Α = a rcco s 1- e2 = Π - a rcco s
l - 2ep 2 . le

l - 2ep ,或Α 2 le

由此我们得到: 在椭圆中, 弦长为定长 l 2ep 的焦点弦存在的充要条件是 2ep ≤ l ≤ . 1- e2 其中使 l = 2ep 的焦点弦只有一条, 即通径, 2ep 并且它是焦点弦中最短的一条; 使 l = 1- e2 的焦点弦也只有一条, 即长轴, 并且它是焦点 2ep 弦中最长的一条; 其余使 2ep < l < 的焦 1- e2 点弦有两条, 它们关于极轴 ( 或长轴) 对称, 且 所在直线的方程分别是 Η = a rcco s 和Η = Π - a rcco s
l - 2ep 2 . le l - 2ep 2 le

e 1 l + 2ep 1 2 < 时, 由 式 ② 得: co s Α= , 2< 2 e le e l + 2ep 2ep 2ep ≤1, 即 l ≥ 2 . 从而使 l > 2 的焦 2 le e- 1 e- 1

( ii) 当 1- e2 co s2 Α < 0 即co sΑ >

1

或co sΑ

点弦有两条, 它们关于极轴对称, 其所在直线 的 方 程 为 Η= a rcco s
a rcco s
l + 2ep 和 Η= Π2 le

l + 2ep 2ep ; 使 l= 2 的焦点弦只有 2 le e- 1

一条, 即实轴, 所在直线方程为 Η = 0. 2ep 又比较 2ep 与 2 的大小可知, 当 1< e e- 1 2ep < 2 时, 2ep < 2 ; 当 e= 2 时, 2ep = e- 1 2ep 2ep ; 当 e> 2 时, 2ep > 2 . 2 e- 1 e- 1 因此, 对双曲线来讲, 有如下结论:

( 2) 若 e= 1, 则由式②,

2p = l, 即 1- co s2 Α

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数 学 通 讯               1998 年第 2 期 
符合条 件的焦 焦点弦的特点及所在直 点弦条 线方程 数
1

e 的范围 定长 l 的范围

a rcco s a rcco s

l - 2ep = a rcco s 2 le l - 2ep 5 = . Π 2 6 le

3 2

=

Π 和Α = Π 6

l= 2ep

通径 Η =

Π
2

关于极轴对称
2ep < l< 1< e < 2
l=

例 2  双曲线的中心在坐标原点 O , 焦
3 5 的直线交双曲线于 P , Q 两点, 若 O P ⊥OQ ,

2ep e2 - 1

2

= arcco s Η = Π - arcco s Η

l- 2ep , le2 l- 2ep le2

点在 x 轴上, 过双曲线右焦点且斜率为
. PQ = 4, 求双曲线的方程

2ep e2 - 1

3

在上一种情况下添上实 轴Η = 0.
= arcco s Η - arcco s Π
l ±2ep ,Η = le2 l ±2ep ※ le2

分析: 可设双曲线方程为
> 0, b> 0) , 题中 Α满足 tg Α =

x y 22 = 1 (a a b

2

2

l>

2ep e2 - 1

4

l= 2ep e=

2 4 1

通径 Η = 方程同※

Π
2

, 实轴 Η = 0

2

3 . 5 为利用 O P ⊥OQ , 可令 x = Θ ,y= co sΗ 1 co s2 Η , 则双曲线方程即变为 2 = Θ sin Η 2 sin 2 Η Π) 1 1 + , 则 2+ 2 1, Η 1) , Q (Θ 2, Η 2 . 设 P (Θ 2 b Θ Θ 1 2 = ( co s2 Η 1
a
2

l> 2ep l=

Θ

a

2ep e2 - 1

实轴 Η = 0. 关于极轴对称

2ep < l< 2ep e2 - 1
e>

2

= arcco s Η - arcco s Π

l + 2ep ,Η = le2 l + 2ep le2

-

sin 2 Η 1
b
2

) + [ 1
b

co s2 ( Η 1+
a
2

Π) 2

-

2

sin 2 ( Η 1+
b
2

Π) 2

]=

1
a
2

-

2

. 在 R t △O PQ 中, 由

l= 2ep l> 2ep

3 4

在上一种情况下添上通 Π 径Η =
2

面积关系有 Θ , 由勾股定 1Θ 2= PQ ?c ? sin Α 1 1 2 2 2 理, Θ 1+ Θ 2= PQ . 由 此 可 得: 2 2 =
a b
2 2 2 Θ 1+ Θ 2 PQ 1 2 = 2 2 = 2 2 2 . 又 sin Α 2 Θ Θ PQ c ? sin Α 1+ ctg Α 1 2 3 = , 代入上式并整理得: 3a 4 + 8a 2 b2 - 3b4 = 8 0 即 ( 3a 2 - b2 ) ( a 2 + 3b2 ) = 0, ∴ b2 = 3a 2 , c2 =

方程同※.

利用以上的讨论, 我们来看下面两道例 题 . 例 1  已知椭圆长轴 A 1A
F 1F 2 = 4
2

= 6, 焦距

2 , 过椭圆焦点 F 1 作一直线,

a + b = 4a , e =

2

2

2

c = 2. a

交椭圆于两点 M , N , 设∠F 2 F 1M = Α ( 0 ≤ Α ) , 当 Α取什么值时, M N 等于椭圆的短 < Π 轴的长. 分析: 2a = 6, 2c = 4
2 2 , b= 1, e= 2 2 2 , ∴ a = 3, c =
2

定长 M N 得 这 样 的

b 1 = , 3 c 2 2 = 2b = 2, 故由上面 e < 1 的结论

< 1, p =

由 e = 2> 2 , 定长 PQ = 4, co s2 Α = 1 5 1 1 5 = > = , 由前面的结论, 有 2 e 8 1+ tg 2 Α 8 2 2 4+ 2?2?p 3 b b = . ∴p = = = , b2 = 3a. 2 c 2a 4?22 从而 3a 2 = 3a , ∴a 2 = 1, b2 = 3, 故所求方程为
x 2

y

2

3

= 1.

MN

有 两 条, 且 Α =


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