2013年海淀二模高三数学(理)试题及答案


愚蠢的 shenhe 君啊

2013 海淀高三二模数学理科

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海淀区高三年级第二学期期末练习 数 学 (理科) 2013.5

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项.
1.集合 A ? ?x | ( x ? 1)( x ? 2) ? 0? , B ? ?x x ? 0? ,则 A ? B ? A. ( ??,0] B. ( ??,1] C. [1,2] D. [1, ??)

2.已知数列 ?an ? 是公比为 q 的等比数列,且 a1 ? a3 ? 4 , a4 ? 8 ,则 a1 ? q 的值为 A. 3 B. 2 C. 3 或 ?2 D. 3 或 ?3

3. 如图,在边长为 a 的正方形内有不规则图形 ? . 向正方形内随机撒豆子,若 撒在图形 ? 内和正方形内的豆子数分别为 m, n ,则图形 ? 面积的估计值为 A.

?

ma n

B.

na m

C.

ma 2 n

D.

na 2 m
5

4.某空间几何体的三视图如右图所示,则该几何体的表面积为 A. 180 C. 276 B. 240 D. 300
主视图 6

6

左视图

??? ? ???? ???? ??? ? 5.在四边形 ABCD 中, ?? ? R ,使得 AB ? ? DC, AD ? ? BC ”是“四边形 “
俯视图

6

ABCD 为 平

行四边形”的 A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件 B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

6.用数字 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数,且 5 不排在百位,2,4 都不排在个位和万位,则这样的 五位数个数为 A. 32 B. 36 C. 42 D. 48

7.双曲线 C 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,且 F2 恰为抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点,设双曲线 C 与该抛物线的一个交点为

A ,若 ?AF1F2 是以 AF1 为底边的等腰三角形,则双曲线 C 的离心率为
A.

2

B. 1 ? 2

C. 1 ? 3

D. 2 ? 3

8. 若数列 {an } 满足:存在正整数 T ,对于任意正整数 n 都有 an ?T ? an 成立,则称数列 {an } 为周期数列,周期

?an ? 1, an ? 1, ? 为 T . 已知数列 {an } 满足 a1 ? m (m ? 0) , an ?1 = ? 1 0 ? an ? 1. ?a , ? n
则下列结论中错误的是 ..
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A. 若 a3 ? 4 ,则 m 可以取 3 个不同的值 B. 若 m ? 2 ,则数列 {an } 是周期为 3 的数列 C. ?T ? N* 且 T ? 2 ,存在 m ? 1 , {an } 是周期为 T 的数列 D. ?m ? Q 且 m ? 2 ,数列 {an } 是周期数列

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
9.在极坐标系中,极点到直线 ? cos? ? 2 的距离为_______.
? 1 1 10.已知 a ? ln , b ? sin , c ? 2 2 ,则 a , b, c 按照从大到小排列为______. .... 2 2 1

11.直线 l1 过点 ( ?2,0) 且倾斜角为 30? ,直线 l2 过点 (2, 0) 且与直线 l1 垂直,则直线 l1 与直线 l2 的交点坐标为 ____. 12.在 ?ABC 中, ?A ? 30? , ?B ? 45? , a ? 2 ,则 b ? _____; S?ABC ? _____ .

? 13. 正 方 体 A B C D
______________.

1

? ? ?? ? ? ?? A 1B 1C 1的 棱 长 为 1 , 若 动 点 P 在 线 段 BD1 上 运 动 , 则 D C? A P的 取 值 范 围 是 D

14.在平面直角坐标系中,动点 P ( x, y ) 到两条坐标轴的距离之和等于它到点 (1,1) 的距离,记点 P 的轨迹为曲线

W.
(I) 给出下列三个结论: ①曲线 W 关于原点对称; ②曲线 W 关于直线 y ? x 对称; ③曲线 W 与 x 轴非负半轴, y 轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于 其中,所有正确结论的序号是_____; (Ⅱ)曲线 W 上的点到原点距离的最小值为______.

1 ; 2

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
15.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ? 1 ?

cos2 x π 2 sin( x ? ) 4

.

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的定义域; (Ⅱ) 求函数 f ( x ) 的单调递增区间.

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16.(本小题满分 13 分) 福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业,现在福彩中心准备发行一种面值为 5 元的福利彩 票刮刮卡,设计方案如下: (1)该福利彩票中奖率为 50%; (2)每张中奖彩票的中奖奖金有 5 元,50 元和 150 元三种; (3)顾客购买一张彩票获得 150 元奖金的概率为 p ,获得 50 元奖金的概率为 2% . (I)假设某顾客一次性花 10 元购买两张彩票,求其至少有一张彩票中奖的概率; (II)为了能够筹得资金资助福利事业, 求 p 的取值范围.

17. (本小题满分 14 分) 如图 1,在直角梯形 ABCD 中, ?ABC ? ?DAB ? 90? , ?CAB ? 30? , BC ? 2 ,

AD ? 4 . 把 ?DAC 沿对角线 AC 折起到 ?PAC 的位置,如图 2 所示,使得点 P 在平面 ABC 上的正投影 H 恰好落
在线段 AC 上,连接 PB ,点 E , F 分别为线段 PA, AB 的中点. (I) 求证:平面 EFH / / 平面 PBC ; (II)求直线 HE 与平面 PHB 所成角的正弦值; (III)在棱 PA 上是否存在一点 M ,使得 M 到点 P, H , A, F 四点的距离相等?请说明理由.
D

P E
C

A

图1

B

A F

H B
图2

C

18.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ? e x ,点 A( a,0) 为一定点,直线 x ? t (t ? a ) 分别与函数 f ( x ) 的图象和 x 轴交于点 M , N ,记

?AMN 的面积为 S (t ) .
(I)当 a ? 0 时,求函数 S (t ) 的单调区间; (II)当 a ? 2 时, 若 ?t0 ? [0,2] ,使得 S (t0 ) ? e , 求实数 a 的取值范围.

19. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 M :

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0) 的四个顶点恰好是一边长为 2,一内角为 60? 的菱形的四个顶点. a 2 b2

(I)求椭圆 M 的方程;

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1 (II)直线 l 与椭圆 M 交于 A , B 两点,且线段 AB 的垂直平分线经过点 (0, ? ) ,求 ?AOB 2
( O 为原点)面积的最大值.

20.(本小题满分 13 分) 设 A 是由 m ? n 个实数组成的 m 行 n 列的数表,如果某一行(或某一列)各数之和为负数,则改变该行(或 该列)中所有数的符号,称为一次“操作”. (Ⅰ) 数表 A 如表 1 所示,若经过两次“操作” ,使得到的数表每行的各数之和与每 列的各数之和均为非负实数,请写出每次“操作”后所得的数表(写出一种方法即 可) ;表 1 (Ⅱ) 数表 A 如表 2 所示,若必须经过两次“操作” ,才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为 非负整数,求整数 a 的所有可能值; .. (Ⅲ)对由 m ? n 个实数组成的 m 行 n 列的任意一个数表 A , 能否经过有限次“操作”以后,使得到的数表每行的各数之 表 2 和与每列的各数之和均为非负整数?请说明理由. 1 2 1 3 0

?7
1

?2

a a 2 ? 1 ?a ?a 2 2 ? a 1 ? a2 a ? 2 a2

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参考答案
说明: 合理答案均可酌情给分,但不得超过原题分数. 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 B 2 D 3 C 4 B 5 C 6 A 7 B 8 D

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分, 有两空的小题,第一空 3 分,第二空 2 分, 共 30 分) 9. 2;10. c ? b ? a ;11.

(1, 3) ;12. 2, 3 ? 1 ;13. [0,1] ;14. ②③; 2 ? 2 2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15. (本小题满分 13 分) 解: (I)因为 sin( x ? ) ? 0 所以 x ?

π ? kπ, k ? Z 4 π 所以函数的定义域为 {x | x ? kπ+ , k ? Z} 4 2 2 cos x ? sin x (II)因为 f ( x ) ? 1 ? sin x ? cos x

π 4

????????2 分 ????????4 分 ????????6 分

π = 1+(cos x ? sin x ) = 1 ? 2 sin( x ? ) ????????8 分 4 π π 又 y ? sin x 的单调递增区间为 (2kπ ? ,2kπ ? ) , k ? Z 2 2 π π π 3π π ? x ? 2kπ ? 令 2kπ ? ? x ? ? 2kπ ? 解得 2kπ ? ????????11 分 4 4 2 4 2 π 又注意到 x ? kπ+ , 4 3π π 所以 f ( x ) 的单调递增区间为 (2kπ ? ,2kπ ? ) , k ? Z ???????13 分 4 4
16. 解: (I)设至少一张中奖为事件 A
2 则 P( A) ? 1 ? 0.5 ? 0.75

???????4 分

(II) 设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为 ? 则 ? 可以取 5,0, ?45, ?145 ???????6 分

? 的分布列为 ?

5
50%

0
50% ? 2% ? p

? 45

?145

P

2%

p

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???????8 分 所以 ? 的期望为 E? ? 5 ? 50% ? 0 ? (50% ? 2% ? p) ? ( ?45) ? 2% ? ( ?145) ? p

? 2.5 ? 90% ? 145p
所以当 1.6 ? 145 p ? 0 时,即 p ? 所以当 0 ? p ?

???????11 分 ???????12 分

8 725

8 时,福彩中心可以获取资金资助福利事业???????13 分 725

17.解: (I)因为点 P 在平面 ABC 上的正投影 H 恰好落在线段 AC 上 所以 PH ? 平面 ABC ,所以 PH ? AC ???????1 分

因为在直角梯形 ABCD 中, ?ABC ? ?DAB ? 90? , ?CAB ? 30? ,

BC ? 2 , AD ? 4
所以 AC ? 4 , ?CAB ? 60? ,所以 ?ADC 是等边三角形, 所以 H 是 AC 中点, 所以 HE / / PC 同理可证 EF / / PB 又 HE ? EF ? E , CP ? PB ? P 所以 EFH / / PBC 平面 PBC (II)在平面 ABC 内过 H 作 AC 的垂线 如图建立空间直角坐标系, 则 A(0, ?2,0) , P(0,0,2 3) , B( 3,1,0) 因为 E(0, ?1, 3) , HE ? (0, ?1, 3) 设平面 PHB 的法向量为 n ? ( x, y, z ) 因为 HB ? ( 3,1,0) , HP ? (0,0,2 3) ???????6 分
z P E A F x H B C y

???????2 分 ???????3 分

???????5 分

??? ?

?

??? ?

??? ?

??? ? ? ? HB ? n ? 0 ? 3x ? y ? 0 ? ? ? 所以有 ? ??? ? ,即 ? , ?z ? 0 ? HP ? n ? 0 ? ?
令 x ? 3, 则 y ? ?3, 所以 n ? ( 3, ?3,0)

?

???????8 分

? ???? ? ???? n ? HE 3 3 ? cos ? n, HE ?? ? ????? ? ? 4 | n | ?| HE | 2 ? 2 3
所以直线 HE 与平面 PHB 所成角的正弦值为 (III)存在,事实上记点 E 为 M 即可 因为在直角三角形 PHA 中, EH ? PE ? EA ?
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???????10 分

3 4

???????11 分 ???????12 分

1 PA ? 2 , 2

???????13 分

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在直角三角形 PHB 中,点 PB ? 4, EF ? 所以点 E 到四个点 P , O , C , F 的距离相等 18.解: (I) 因为 S (t ) ? 当 a ? 0 , S (t ) ?

1 PB ? 2 2
???????14 分 ???????2 分

1 | t ? a | e t ,其中 t ? a 2

1 | t | et ,其中 t ? 0 2 1 1 当 t ? 0 时, S (t ) ? tet , S '(t ) ? (t ? 1)et , 2 2
所以 S '(t ) ? 0 ,所以 S (t ) 在 (0, ??) 上递增, 当 t ? 0 时, S (t ) ? ? tet , S '(t ) ? ? (t ? 1)et , ???????4 分

1 2

1 2

1 2 1 令 S '(t ) ? ? (t ? 1)et ? 0 , 解得 t ? ? 1 ,所以 S (t ) 在 ( ?1,0) 上递减 ?????7 分 2
令 S '(t ) ? ? (t ? 1)et ? 0 , 解得 t ? ? 1 ,所以 S (t ) 在 ( ??, ?1) 上递增 综上, S (t ) 的单调递增区间为 (0, ??) , ( ??, ?1)

S (t ) 的单调递减区间为 ( ?1,0)
(II)因为 S (t ) ?

1 | t ? a | et ,其中 t ? a 2 1 当 a ? 2 , t ? [0,2] 时, S (t ) ? (a ? t )et 2

因为 ?t0 ? [0,2] ,使得 S (t0 ) ? e ,所以 S (t ) 在 [0,2] 上的最大值一定大于等于 e

1 S '(t ) ? ? [t ? (a ? 1)]et ,令 S '(t ) ? 0 ,得 t ? a ? 1 2
当 a ? 1 ? 2 时,即 a ? 3 时

???????8 分

1 S '(t ) ? ? [t ? (a ? 1)]et ? 0 对 t ? (0,2) 成立, S (t ) 单调递增 2 1 所以当 t ? 2 时, S (t ) 取得最大值 S (2) ? (a ? 2)e2 2 1 2 a ? ?2 , 令 (a ? 2)e2 ? e ,解得 2 e
所以 a ? 3 当 a ? 1 ? 2 时,即 a ? 3 时 ???????10 分

1 S '(t ) ? ? [t ? (a ? 1)]et ? 0 对 t ? (0, a ? 1) 成立, S (t ) 单调递增 2 1 S '(t ) ? ? [t ? (a ? 1)]et ? 0 对 t ? ( a ? 1,2) 成立, S (t ) 单调递减 2 1 所以当 t ? a ? 1 时, S (t ) 取得最大值 S (a ? 1) ? ea ?1 2 1 a ?1 令 S (a ? 1) ? e ? e ,解得 a ? ln 2 ? 2 2
所以 ln 2 ? 2 ? a ? 3
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???????12 分
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综上所述, ln 2 ? 2 ? a 19.解:(I)因为椭圆 M :

???????13 分

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0) 的四个顶点恰好是一边长为 2, a 2 b2

一内角为 60? 的菱形的四个顶点, 所以 a ? 3, b ? 1 ,椭圆 M 的方程为

x2 ? y2 ? 1 3

???????4 分

(II)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 因为 AB 的垂直平分线通过点 (0, ? ) , 显然直线 AB 有斜率, 当直线 AB 的斜率为 0 时,则 AB 的垂直平分线为 y 轴,则 x1 ? ? x2 , y1 ? y2

1 2

1 x2 x2 1 2 所以 S?AOB = | 2 x1 || y1 |?| x1 || y1 |?| x1 | 1 ? 1 ? x12 (1 ? 1 ) ? x1 (3 ? x12 ) 2 3 3 3
因为 x12 (3 ? x12 ) ? 所以 S ?AOB

x12 ? (3 ? x12 ) 3 ? , 2 2 3 6 3 ,当且仅当 | x1 |? 时, S ?AOB 取得最大值为 ? 2 2 2

??????6 分

当直线 AB 的斜率不为 0 时,则设 AB 的方程为 y ? kx ? t

? y ? kx ? t ? 2 2 2 所以 ? x 2 ,代入得到 (3k ? 1) x ? 6kt ? 3t ? 3 ? 0 2 ? 3 ? y ?1 ?
2 2 当 ? ? 4(9k ? 3 ? 3t ) ? 0 ,

即 3k 2 ? 1 ? t 2 ①

方程有两个不同的解 又 x1 ? x2 ?

?6kt x ? x2 ?3kt ? 2 , 1 2 2 3k ? 1 3k ? 1

???????9 分

y1 ? y2 1 ? y1 ? y2 t 2 2 ? ? 1 ,化简得到 2 ? 2 所以 ,又 3k ? 1 ? 4t x1 ? x2 k 2 3k ? 1 0? 2
代入 ① ,得到 0 ? t ? 4 又原点到直线的距离为 d ? ???????10 分



|t | k2 ?1

| AB |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? 1 ? k 2

4(9k 2 ? 3 ? 3t 2 ) 3k 2 ? 1

1 1 |t | 所以 S?AOB = | AB || d |? 1? k2 2 2 2 k ?1
化简得到 S?AOB =

4(9k 2 ? 3 ? 3t 2 ) 3k 2 ? 1

1 3(4t ? t 2 ) 4

???????12 分

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因为 0 ? t ? 4 ,所以当 t ? 2 时,即 k ? ? 综上, ?AOB 面积的最大值为 20.(I)解:法 1:

7 3 时, S ?AOB 取得最大值 3 2
???????14 分

3 2

1 2 3 ?7 1 2 3 7 1 2 3 7 改变第4列 改变第2行 ????? ? ????? ? ?2 1 0 1 ?2 1 0 ?1 2 ?1 0 1
法 2:

1 2 3 ?7 1 2 3 ?7 1 2 3 7 改变第2行 改变第4列 ????? ? ????? ? ?2 1 0 1 2 ?1 0 ?1 2 ?1 0 1
法 3:

1 2 3 ?7 ?1 2 3 ?7 ?1 2 3 7 改变第1列 改变第4列 ????? ? ????? ? ?2 1 0 1 2 1 0 1 2 1 0 ?1

???????3 分 (II) 每一列所有数之和分别为 2,0, ?2 ,0,每一行所有数之和分别为 ?1 ,1; ①如果首先操作第三列,则

a a2 ? 1 a ?a 2 2 ? a 1 ? a2 2 ? a a2
则第一行之和为 2 a ? 1 ,第二行之和为 5 ? 2a , 这两个数中,必须有一个为负数,另外一个为非负数, 所以 a ?

1 5 或a ? 2 2 1 时,则接下来只能操作第一行, 2
?a a 2 2 ? a a2

当a ?

?a 1 ? a 2 2 ? a 1 ? a2

此时每列之和分别为 2 ? 2a,2 ? 2a 2 ,2 ? 2a,2a 2 必有 2 ? 2a 2 ? 0 ,解得 a ? 0, ?1 当a ?

5 时,则接下来操作第二行 2

a a2 ? 1 a ?a 2 a ? 2 a 2 ? 1 a ? 2 ?a 2
此时第 4 列和为负,不符合题意. ② 如果首先操作第一行 ???????6 分

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?a 1 ? a 2 2 ? a 1 ? a2

a a2 a ? 2 a2

则每一列之和分别为 2 ? 2a , 2 ? 2a 2 , 2a ? 2 , 2a 2 当 a ? 1 时,每列各数之和已经非负,不需要进行第二次操作,舍掉 当 a ? 1 时, 2 ? 2a , 2a ? 2 至少有一个为负数, 所以此时必须有 2 ? 2a 2 ? 0 ,即 ?1 ? a ? 1 ,所以 a ? 0 或 a ? ?1 经检验, a ? 0 或 a ? ?1 符合要求 综上: a ? 0, ?1 ???????9 分

(III)能经过有限次操作以后,使得得到的数表所有的行和与所有的列和均为非负实数。证明如下: 记数表中第 i 行第 j 列的实数为 cij ( i ? 1,2,?, m; j ? 1,2,?, n ) ,各行的数字之和分别为 a1 , a2 ,?, am ,各列 的数字之和分别为 b1 , b2 ,?, bn , A ? a1 ? a2 ? ? ? am , B ? b1 ? b2 ? ? ? bn ,数表中 m ? n 个实数之和为 S ,则

S ? A ? B 。记

K ? min k1ci1 ? k2ci 2 ? ? ? kn cin | kl ? 1或 ? 1(l ? 1,2,?, n)且 k1ci1 ? k2ci 2 ? ? ? kncin ? 0
1?i ?m

T ? min t1c1 j ? t2c2 j ? ? ? tmcmj ts ? 1或 ? 1(s ? 1,2,?, m)且 t1c1 j ? t2c2 j ? ? ? tmcmj ? 0
1? j ?n

?

?

|

?

?

? ? min?K , T ? .
按要求操作一次时,使该行的行和(或该列的列和)由负变正,都会引起 A (和 B )增大,从而也就使得

S 增加,增加的幅度大于等于 2? ,但是每次操作都只是改变数表中某行(或某列)各数的符号,而不改变其绝
对值, 显然,S 必然小于等于最初的数表中 m ? n 个实数的绝对值之和, 可见其增加的趋势必在有限次之后终止。 终止之时,必是所有的行和与所有的列和均为非负实数,否则,只要再改变该行或该列的符号, S 就又会继续 上升,导致矛盾,故结论成立。 ???????13 分

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