2013届高考数学专项讲练测 专题10 推理证明、复数、算法框图


【考纲解读】 1.理解复数的基本概念;理解复数相等的充要条件;了解复数的代数表示法及其几何意义. 2.会进行复数代数形式的四则运算.② 了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 3.了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,了解合情推理在数学发现中 的作用. 4.了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理. 5.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异. 6.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特 点. 7.了解间接证明的一种基本方法——反证法;了解反证法的思考过程、特点. (理科)8.了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 9.了解算法的含义,了解算法的思想;理解程序框图的三种基本逻辑结构:顺序、条件分支、 循环. 10.理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义. 【考点预测】 今年高考对本部分知识的命题主要有以下两个方面: 1.复数与算法框图是历年高考的热点内容,考查方式主要在客观题中出现,一般只有一个 选择或填空,考查复数的基础知识、算法框图以循环结构为主,难度较低。 2.推理证明也是高考的一个重点内容, 考查方式多样, 在客观题中主要考查合情推理中的 归纳与类比,证明题目多以解答题的一个分支出现,常与数列、导数、不等式等知识结合, 理科可能考查数学归纳法,难度较高,将继续强调考查逻辑推理、归纳等能力。 【要点梳理】 1.合情推理与演绎推理:合情推理包括归纳与类比,明确演绎推理的三个模式(大前提、 小前提、结论). 2.直接证明与间接证明:直接证明包括分析法(执果索因)与综合法(执因索果);常用的间接 证明方法是反证法,反证法主要用于证明唯一性与否定性命题,其主要步骤是否定结论、证明、 得出矛盾、肯定结论. 3.(理科)数学归纳法:用来证明与自然数有关的等式、 不等式、 整除及几何等问题。 证明时,

特别注意第二步,要弄清式子的构成规律,充分利用题目中的条件和假设,适当变形。 4.复数:掌握复数的分类、复数相等、模、几何意义、复数的四则运算。 【考点在线】 考点一 推理

例 1. (2012 年高考湖北卷文科 17)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点 或用小石子表示数。他们研究过如图所示的三角形数:

将三角形数 1,3, 6,10,?记为数列{an},将可被 5 整除的三角形数按从小到大的顺序组成一 个新数列{bn},可以推测: (Ⅰ)b2012 是数列{an}中的第______项; (Ⅱ)b2k-1=______。 (用 k 表示)

【名师点睛】本题考查合情推理中的归纳推理,推理归纳与类比,是近几年高考的一个热点问 题之一,几乎年年必考,一般以选择或填空题的形式考查. 【备考提示】推理分为合情推理与演绎推理,都是高考的重点内容之一,必须熟练其模式. 练习 1: (2012 年高考陕西卷理科 11)观察下列不等式

1 3 ? 22 2 1 1 5 1? 2 ? 3 ? , 2 3 3 1?

1?

1 1 1 7 ? 2? 2 ? , 2 2 3 4 4


?? 照此规律,第五个不等式为 ...

考点二

间接证明与直接证明

例 2. (2011 年高考安徽卷理科 19) (Ⅰ)设 x ? 1, y ? 1, 证明 x ? y ?

1 1 1 ? ? ? xy , xy x y

(Ⅱ) 1 ? a ? b ? c ,证明 loga b ? logb c ? logc a ? logb a ? logc b ? loga c . 【证明】(Ⅰ)由于 x ? 1, y ? 1 ,所以 要证明: x ? y ?

1 1 1 ? ? ? xy xy x y

只要证明: xy( x ? y) ? 1 ? y ? x ? ( xy)2 只要证明: ( xy)2 ?1 ? ( x ? y) ? xy( x ? y) ? 0 只要证明: ( xy ? 1)( xy ? 1 ? x ? y) ? 0 只要证明: ( xy ? 1)( x ? 1)( y ? 1) ? 0 由于 x ? 1, y ? 1 ,上式显然成立,所以原命题成立。 (Ⅱ)设 loga b ? x , logb c ? y ,由换底公式得

log c a ?

1 logb a 1 1 ? , log b a ? , log c b ? , log a c ? xy ,故 x y logb c xy

要证: loga b ? logb c ? logc a ? logb a ? logc b ? loga c 只要证明: x ? y ?

1 1 1 ? ? ? xy ,其中 x ? loga b ? 1 , y ? logb c ? 1 xy x y

由(Ⅰ)知所要证明的不等式成立。 【名师点睛】本题考查不等式的基本性质,对数函数的性质和对数换底公式等基本知识,考 查代数式恒定变形能力和推理论证能力,用的分析法证明的。第二问的处理很有艺术性,借助 第一问题的结论巧妙地解决了,这也是一题多问的问题解决常规思路,前面的问题结论对后 面问题解决常常有提示作用。 【备考提示】 :证明不等式常规的方法有分析法,综合法,作差法和作商法,无论哪种方法不 等式性质和代数式恒定变形是处理这类问题的关键。 练习 2: (2012 年高考安徽卷理科 21)(本小题满分 13 分)
2 数列 {xn } 满足: x1 ? 0, xn?1 ? ? xn ? xn ? c(n ? N * )

(I)证明:数列 {xn } 是单调递减数列的充分必要条件是 c ? 0 (II)求 c 的取值范围,使数列 {xn } 是单调递增数列。

2 2 xn?2 ? xn?1 ? ?( xn?1 ? xn ) ? ( xn?1 ? xn ) ? ?( xn?1 ? xn )( xn?1 ? xn ?1)

当c ?

1 1 时, xn ? c ? ? xn ? xn ?1 ? 1 ? 0 ? xn ? 2 ? xn ?1 与 xn?1 ? xn 同号, 4 2

由 x2 ? x1 ? c ? 0 ? xn?2 ? xn ? 0 ? xn?1 ? xn
2 lim xn?1 ? lim(? xn ? xn ? c) ? lim xn ? c n?? n?? n??

当c ?

1 1 时,存在 N ,使 xN ? ? xN ? xN ?1 ? 1 ? xN ? 2 ? xN ?1 与 xN ?1 ? xN 异号 4 2

与数列 {xn } 是单调递减数列矛盾

得:当 0 ? c ? (理科)考点三

1 时,数列 {xn } 是单调递增数列。 4
数学归纳法

例 3. (2012 年高考湖北卷理科 22) (本小题满分 14 分) (I)已知函数 f(x)=rx-xr+(1-r) (x>0) ,其中 r 为有理数,且 0<r<1.求 f(x)的最小值; (II)试用(I)的结果证明如下命题: 设 a1≥0,a2≥0,b1,b2 为正有理数,若 b1+b2=1,则 a1b1a2b2≤a1b1+a2b2; (III)请将(II)中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法证明你所推广的命题。注:当α 为正有理数时,有求道公式(x )r=α x
α α

-1

(Ⅲ) (Ⅱ)中命题的推广形式为:

? a1b1 ? a2b2 ? ? ? ak bk ? ak ?1bk ?1 ,
b b 1 b b 从而 a11 a22 ?akk akk??1 ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? ak bk ? ak ?1bk ?1 .

故当 n ? k ? 1 时,③成立. 由(1) (2)可知,对一切正整数 n ,所推广的命题成立. 说明: (Ⅲ)中如果推广形式中指出③式对 n ? 2 成立,则后续证明中不需讨论 n ? 1 的情况. 【名师点睛】本小题考查导数的应用、数学归纳法,分类讨论等知识,考查同学们分类讨论 等数学思想,考查了同学们分析问题和解决问题的能力。 【备考提示】数学归纳法是理科考查的内容之一,要熟练其证明模式,特别是在步骤以及 容易出错的地方加以注意。 练习 3:(2012 年高考上海卷理科 23)(4+6+8=18 分)对于数集 X ? {?1 x1,x2, ,xn } , , ? 其中 0 ? x1 ? x2 ? ? ? xn , n ? 2 ,定义向量集 Y ? {a | a ? (s, t ), s ? X , t ? X } ,若对任意

a1 ? Y ,存在 a2 ? Y ,使得 a1 ? a2 ? 0 ,则称 X 具有性质 P .例如 {?1,1,2} 具有性质 P .
(1)若 x ? 2 ,且 {?1,1,2, x} 具有性质 P ,求 x 的值; (2)若 X 具有性质 P ,求证: 1 ? X ,且当 xn ? 1 时, x1 ? 1 ;

(3)若 X 具有性质 P ,且 x1 ? 1 、 x2 ? q ( q 为常数) ,求有穷数列 x1,x2, ,xn 的通项 ? 公式.

因为 Ak ?1 具有性质 P,所以有 a2 ? (s1, t1 ) , s1 、 t1 ? Ak ?1 ,使得 a1 ? a2 ? 0 , 从而 s1 和 t1 中有一个是-1,不妨设 s1 =-1. 假设 t1 ? Ak ?1 且 t1 ? Ak ,则 t1 ? xk ?1 .由 (s, t ) ? (?1, xk ?1 ) ? 0 ,得 s ? txk ?1 ? xk ?1 ,与

考点四

复数

例 4. (2012 年高考广东卷理科 1)设 i 为虚数单位,则复数 A 6+5i B 6-5i C -6+5i D -6-5i
[Z_xx_k.Com]

5 ? 6i =( i



【答案】C 【解析】因为

5 ? 6i = (5 ? 6i) ? (?i) =6 ? 5i ,故选 C. i

【名师点睛】本题考查复数的基本运算,属简单题. 【备考提示】复数是高考的热点内容,年年必考,以选择或填空题的形式出现,主要考查复 数的概念、复数相等、几何意义以及复数的四则运算,熟练基础知识是解决本类问题的关键. 练习 4:(2012 年高考北京卷理科 3)设 a,b∈R,“a=0”是“复数 a+bi 是纯虚数”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 【答案】B 【解析】当 a ? 0 时,如果 b ? 0 同时等于零,此时 a ? bi ? 0 是实数,不是纯虚数,因此不是 充分条件;而如果 a ? bi 已经为纯虚数,由定义实部为零,虚部不为零可以得到 a ? 0 ,因此 想必要条件,故选 B. 考点五 算法框图 ( ) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

例 5. (2012 年高考辽宁卷理科 9)执行如图所示的程序框图, 则输出的 S 的值是

(A) ? 1 (C)

(B)

2 3

3 2

(D) 4

【答案】D 【解析】根据程序框图可计算得 s ? 4, i ? 1; s ? ?1, i ? 2; s ?

2 , i ? 3; 3

s?

3 , i ? 4; s ? 4, i ? 5, 由此可知 S 的值呈周期出现,其周期为 4,输出时 2

i ? 9 ,因此输出的值与 i ? 1 时相同,故选 D。
【名师点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构、数列的周期性以及运 算求解能力,属于中档题。此类题目需要通过计算确定出周期(如果数值 较少也可直接算出结果) ,再根据周期确定最后的结果。 【备考提示】:框图仍然是高考的一个热点,在高考中,一个般一个选择或填空题,难度不 大,大多与数列或不等式等知识结合起来命题,故熟练其基础知识是解决本类问题的关键. 练习 5:(2012 年高考天津卷理科 3)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,当输入 x 的值为

?25 时,输出 x 的值为(
(A) ?1 (B) 1

) (C) 3 (D) 9

【答案】C 【解析】根据图给的算法程序可知:第一次 x =4 ,第二次 x =1 ,则输出 x =2 ? 1+1=3 . 【考题回放】

1. (山东省济南外国语学校 2013 届高三上学期期中考试文科)复数 A. 2 ? i 【答案】C 【解析】 B. 1 ? 2i C. ?2 ? i

5i =( 1 ? 2i

)

D. ?1 ? 2i

5i 5i(1 ? 2i) 5i ? 10 ? ? ? ?2 ? i ,选 C. 1 ? 2i (1 ? 2i)(1 ? 2i) 5
1 ? 2i (i为虚数单位) 在复 1? i

2.(山东省师大附中 2013 届高三 12 月第三次模拟检测文)复数 z ? 平面上对应的点位于( A.第一象限 【答案】D 【解析】 z ? 选 D. 3.(2012 年高考浙江卷理科 2)已知 i 是虚数单位,则 A.1-2i 【答案】D 【解析】
3 + i ? 3 + i ??1+ i ? 2 + 4i = = =1+2i. 1? i 2 2 3+i =( 1? i

) B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3 1 1 ? 2i (1 ? 2i)(1 ? i) 3 ? i 3 1 = ? ? ? i ,对应的点为 ( , ? ) ,所以为第四象限, 2 2 1? i (1 ? i)(1 ? i) 2 2 2

) D. 1+2i

B.2-i

C.2+i

4 . (2012 年高考山东卷理科 1)若复数 x 满足 z(2-i)=11+7i(i 为虚数单位),则 z 为( A 3+5i B 3-5i C -3+5i D -3-5i



5



(2012









西







6)









各 )





a ? b ? 1, a2 ? b2 ? 3, a3 ?
A.28 B.76

b3 4 , ?

a4 ?

b4 7 , ?

a5 ?则 a1 ?1 10 ,? ( ? b5 10 b ?

C.123

D.199

6.(2012 年高考安徽卷理科 1)复数 z 满足: ( z ? i)(2 ? i) ? 5 ;则 z ? (



( A) ?2 ? 2i
【答案】 D

( B ) ?2 ? 2i

i (C ) ? ? ?

( D) ? ? ?i

【解析】 ( z ? i )(2 ? i) ? 5 ? z ? i ?

5 5(2 ? i) ? z ?i? ? 2 ? 2i . 2?i (2 ? i)(2 ? i)
2

7. (2012 年高考湖北卷理科 1)方程 x +6x +13 =0 的一个根是( A -3+2i B 3+2i C -2 + 3i D 2 + 3i

)

【答案】A 【解析】由求根公式得

?6 ? 52 ? 36i ?6 ? 4i = = ?3 ? 2i ,故选 A. 2 2

8.(2012 年高考上海卷理科 15)若 1 ? 根,则( )

2i 是关于 x 的实系数方程 x 2 ? bx ? c ? 0 的一个复数
C. b ? ?2, c ? ?1 D. b ? 2, c ? ?1

A. b ? 2, c ? 3

B. b ? ?2, c ? 3

9. (2012 年高考上海卷理科 18)设 a n ? 中,正数的个数是( A.25 【答案】C ) B.50

1 n? sin ,S n ? a1 ? a2 ? ? ? an , S1 , S 2 ,?, S1 在 0 n 25
C.75 D.100

【解析】依据正弦函数的周期性,可以找其中等于零或者小于零的项. 10. (天津市天津一中 2013 届高三上学期一月考文) i 是虚数单位,复数 z ? A.

2?i ?( 1? i

)

3 1 ? i 2 2

B.

1 3 ? i 2 2

C. 1 ? 3i

D. 3 ? i

【答案】A

【解析】 z ?

2 ? i (2 ? i)(1+i) 3 ? i 3 1 ? ? ? ? i ,选 A. 1 ? i (1 ? i)(1+i) 2 2 2
?? ?i ,则复数 z ? ( i
C. ) D. ? ? i

11.(2011 年高考江西卷理科 1)若 z ? A. ?? ? i 【答案】D 【解析】因为 z ?

B. ?? ? i

??i

?? ?i = (?? ?i)(?i) ? ? ? i ,所以复数 z ? ? ? i ,选 D. i
1 ? i 2011 ) =( 1? i

12.(2011 年高考湖北卷理科 1)i 为虚数单位,则 ( A.-i 【答案】A B.-1

) D.1

C.i

1? i 1 ? i 2011 2011 ?i ( ) ? i ? (i 2 )505 ? i ? ?i, 【解析】因为 1 ? i ,故 1 ? i 所以选 A.
13. (2012 年高考福建卷理科 14)数列 {an } 的通项公式 a n ? n cos 则 S 2012 ? ___________。

n? ? 1 ,前 n 项和为 Sn , 2

14. (2012 年高考湖南卷理科 12)已知复数 z ? (3 ? i)2 (i 为虚数单位),则|z|=_____. 【答案】10
2 2 【解析】 z ? (3 ? i) = 9 ? 6i ? i ? 8 ? 6i , z ? 8 ? 6 ? 10 .
2 2

15. (2012 年高考湖南卷理科 16)设 N=2n(n∈N,n≥2) ,将 N 个数 x1,x2,?,xN 依次放入编 号为 1,2,?,N 的 N 个位置,得到排列 P0=x1x2?xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的 数取出,并按原顺序依次放入对应的前

N N 和后 个位置,得到排列 P1=x1x3?xN-1x2x4?xN, 2 2

将此操作称为 C 变换,将 P1 分成两段,每段 ≤n-2 时,将 Pi 分成 2i 段,每段

N 个数,并对每段作 C 变换,得到 p2 ;当 2≤i 2

N 个数,并对每段 C 变换,得到 Pi+1,例如,当 N=8 时, 2i

P2=x1x5x3x7x2x6x4x8,此时 x7 位于 P2 中的第 4 个位置. (1)当 N=16 时,x7 位于 P2 中的第___个位置; (2)当 N=2n(n≥8)时,x173 位于 P4 中的第___个位置. 【答案】 (1)6; (2) 3 ? 2 【解析】 (1)当 N=16 时,
n? 4

? 11

16.(2012 年高考重庆卷理科 11)若 ?1 ? i ?? 2 ? i ? =a+bi ,其中 a, b ? R, i 为虚数单位,则

a?b ?
【答案】4



【解析】 (1 ? i)(2 ? i) ? 1 ? 3i ? a ? bi ? a ? 1, b ? 3 ? a ? b ? 4 . 17. (2012 年高考江西卷文科 15)下图是某算法的程序框图,则程序运行后输入的结果是 _________。

【答案】3 【解析】当 k=1,a=1,T=1 当 k=2,a=0,T=1 当 k=3,a=0,T=1 当 k=4,a=1,T=2 当 k=5,a=1,T=3,则此时 k=k+1=6 所以输出 T=3. 18.(2012 年高考上海卷理科 1)计算:

3-i = 1+i

( i 为虚数单位).

【答案】 1-2i 【解析】

3-i (3-i)(1-i) 2-4i = = =1-2i . 1+i (1+i)(1-i) 2

19.(2011 年高考全国卷理科 20)设数列 ?an ? 满足 a1 ? 0 且

1 1 ? ? 1. 1 ? a n ?1 1 ? a n
n

(Ⅰ)求 ?a n ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

1 ? an?1 n

, 记Sn ? ? bk , 证明:Sn ? 1.
k ?1

20 . (2012 年 高 考 上 海 卷 文 科 23) 对 于 项 数 为 m 的 有 穷 数 列 数 集 {an } , 记 , bk ? m a xa1, a2 , ?, ak }(k=1,2,?,m) 即 bk 为 a1 , a2 , ?, ak 中的最大值,并称数列 {bn} 是 {

{an } 的控制数列.如 1,3,2,5,5 的控制数列是 1,3,3,5,5.
(1)若各项均为正整数的数列 {an } 的控制数列为 2,3,4,5,5,写出所有的 {an } ; 分) (4 (2)设 {bn } 是 {an } 的控制数列,满足 ak ? bm? k ?1 ? C (C 为常数,k=1,2,?,m). 求证: bk ? ak (k=1,2,?,m)(6 分) ;
2 (3)设 m=100,常数 a ? ( 1 , 1) .若 an ? an ? (?1) 2
n ( n ?1 ) 2

n , {bn} 是 {an } 的控制数列,

求 (b1 ? a1 ) ? (b2 ? a2 ) ? ? ? (b100 ? a100 ) .

因此, bk ? ak .

……10 分

=

? (a4k ? 2 ? a4k ?1 ) = (1 ? a)? (8k ? 3) = 2525(1 ? a) .
k ?1 k ?1

25

25

……18 分

【高考冲策演练】 一、选择题: 1.(2012 年高考福建卷理科 1)若复数 z 满足 zi ? 1 ? i ,则 z 等于( A. ? 1 ? i 【答案】A 【解析】 z ? B. 1 ? i C. ? 1 ? i D. 1 ? i )

1? i i

(1 ? i )(?i ) i ( ?i ) ? i ?1 ? 1 ? ?i ? 1 . ?
2.(2012 年高考辽宁卷理科 2)复数 (A)

2?i ?( 2?i
(C) 1 ?

)

3 4 ? i 5 5

(B)

3 4 ? i 5 5

4 i 5

(D) 1 ? i

3 5

【答案】A 【解析】

2 ? i (2 ? i)(2 ? i) 3 ? 4i 3 4 ? ? ? ? i ,故选 A 2 ? i (2 ? i)(2 ? i) 5 5 5
2 的四个命题: ?1 ? i

3.(2012 年高考新课标全国卷理科 3)下面是关于复数 z ?

p1 : z ? 2

p2 : z 2 ? 2i


p3 : z 的共轭复数为 1 ? i

p4 : z 的虚部为 ?1

其中的真命题为(

( A) p2 , p3

( B ) p1, p2

(C ) p? , p?

( D ) p? , p?

4.(2012 年高考天津卷理科 1) i 是虚数单位,复数 z = (A) 2 ? i 【答案】B 【解析】 z = (B) 2 ? i (C) ?2 ? i

7?i = 3?i
(D) ?2 ? i

7 ? i (7 ? i )(3 ? i ) 21 ? 7i ? 3i ? 1 = = =2?i . 3 ? i (3 ? i )(3 ? i ) 10

5. (2012 年高考陕西卷理科 3)设 a, b ? R , i 是虚数单位,则“ ab ? 0 ”是“复数 a ? 虚数”的( ) (B) 必要不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件

b 为纯 i

(A)充分不必要条件 (C)充分必要条件 【答案】B

【解析】 ab ? 0 ”则 a ? 0 或 b ? 0 , “ “复数 a ?

b 为纯虚数”则 a ? 0 且 b ? 0 ,则 i

“ ab ? 0 ”是“复数 a ?

b 为纯虚数”的必要不充分条件,故选 B. i
) C、 i D、 ?i

(1 ? i) 2 ?( 6. (2012 年高考四川卷理科 2)复数 2i
A、 1 【答案】B 【解析】 B、 ?1

(1 ? i ) 2 1 ? i 2 ? 2i ? ? ?1 . 2i 2i
?1 ? 3i ? 1? i
C. 1 ? 2i D. 1 ? 2i

7.(2012 年高考全国卷理科 1)复数 A. 2 ? i 【答案】C 【解析】

B. 2 ? i

? 1 ? 3i (?1 ? 3i)(1 ? i) 2 ? 4i ? ? ? 1 ? 2i ,选 C. 1? i (1 ? i)(1 ? i) 2

8. (2012 年高考全国卷理科 12)正方形 ABCD 的边长为 1, E 在边 AB 上, F 在边 BC 上, 点 点

AE ? BF ?

3 ,动点 P 从 E 出发沿直线向 F 运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹 7

时反射角等于入射角。当点 P 第一次碰到 E 时, P 与正方形的边碰撞的次数为 A.16 B.14 C.12 D.10

9.(云南师大附中 2013 届高三高考适应性月考卷三文)在复平面内,复数 位于( ) B.第三象限 D.第一象限

1 ? i 3 对应的点 1? i

A.第四象限 C.第二象限 【答案】A 【解析】 z ?

1? 1 i ?1 故选 A. ? 对应的点是 ? , ? ? , 2? 2 2 ?2

10.(2011 年高考浙江卷理科 2)把复数 z 的共轭复数记作 z ,若 z ? 1 ? i , i 为虚数单位,则

(1 ? z ) z =(
(A) 3 ? i

) (B) 3 ? i (C) 1 ? 3i (D) 3

【答案】 A 【解析】 (1 ? z) z ? z ? zz ? 1 ? i ? (1 ? i)(1 ? i) ? 1 ? i ? 2 ? 3 ? i 故选 A 11.(2011 年高考广东卷理科 1)设复数 z 满足(1+i)z=2,其中 i 为虚数单位,则 Z=( A.1+i 【答案】B 【解析】由题得 z ? B.1-i C.2+2i D.2-2i )

2 2 ? (1 ? i ) ? 1 ? i 所以选 B. 1? i 2

12.(2011 年高考辽宁卷理科 1)a 为正实数,i 为虚数单位,

a?i ? 2 ,则 a=( i



(A)2 【答案】B 【解析】?

(B) 3

(C) 2

(D)1

a?i ?|1 ? ai |? 1 ? a 2 ? 2 ,a>0,故 a= 3 . i

二.填空题:

b 13. (2012 年高考江苏卷 3) a , ? R , ? bi ? 设 a
【答案】 8 【解析】据题 a ? bi ? 而 a ? b ? 8.

11 ? 7i (i 为虚数单位) 则 a ? b 的值为 , 1 ? 2i



11 ? 7i (11 ? 7i)(1 ? 2i) 25 ? 15i ? ? ? 5 ? 3i ,所以 a ? 5, b ? 3, 从 1 ? 2i (1 ? 2i)(1 ? 2i) 5

14. (2012 年高考江苏卷 4)右图是一个算法流程图,则输出的 k 的值是



15. (2012 年高考湖北卷理科 13)回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数。如 22,,11,3443,94249 等。显然 2 位回文数有 9 个:11,22,33?,99.3 位回文数有 90 个: 101,111,121,?,191,202,?,999.则 (Ⅰ)4 位回文数有______个; (Ⅱ)2n+1(n∈N+)位回文数有______个。

16.(2012 年高考湖北卷文科 16)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果 s=_________。

【答案】9 【解析】 a ? 1, n ? 1 时,计算出的 s ? 1 ;当 a ? 3, n ? 2 时,计算出的 s ? 4 ;当 a ? 5, n ? 3 时, 当 计算出的 s ? 9 ,此时输出的结果 s=9. 三.解答题:

17.(2011 年高考上海卷理科 19)(12 分)已知复数 z1 满足 ( z1 ? 2)(1 ? i) ? 1 ? i ( i 为虚数单 位) ,复数 z2 的虚部为 2 , z1 ? z2 是实数,求 z2 。 【解析】 ( z1 ? 2)(1 ? i) ? 1 ? i ? z1 ? 2 ? i ??????(4 分) 设 z2 ? a ? 2i, a ? R ,则 z1 z2 ? (2 ? i)(a ? 2i) ? (2a ? 2) ? (4 ? a)i ,????(12 分) ∵ z1 z2 ? R ,∴ z2 ? 4 ? 2i ??????(12 分)

18. (2012 年高考陕西卷理科 18) (本小题满分 12 分) (Ⅰ) 如图, 证明命题 a 是平面 ? 内的一条直线,b 是 ? 外的一条直线 b 不垂直于 ? ) “ ( ,

c 是直线 b 在 ? 上的投影,若 a ? b ,则 a ? c ”为真;
(Ⅱ)写出上述命题的逆命题,并判断其真假(不需证明)

(Ⅱ)逆命题为:a 是平面 ? 内的一条直线,b 是平面 ? 外的一条直线( b 不垂直于 ? ) c 是 , 直线 b 在 ? 上的投影,若 a ? b ,则 a ? c .逆命题为真命题. 19. (2012 年高考福建卷文科 20)(本小题满分 13 分) 某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数。 (1)sin213°+cos217°-sin13°cos17°

(2)sin215°+cos215°-sin15°cos15° (3)sin218°+cos212°-sin18°cos12° (4)sin2(-18°)+cos248°- sin(-18°)cos48° (5)sin2(-25°)+cos255°- sin(-25°)cos55° Ⅰ. 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数 ; Ⅱ .根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论。

20.(2012 年高考重庆卷理科 21)(本小题满分 12 分, (I)小问 5 分, (II)小问 7 分。 ) 设数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足 Sn?1 ? a2 Sn ? a1 ,其中 a2 ? 0 。 (I)求证: ?an ? 是首项为 1 的等比数列; (II)若 a2 ? ?1,求证: S n ?

n (a1 ? an ) ,并给出等号成立的充要条件。 2

【解析】 (1)证明:由 S2 ? a2 S1 ? a1 ,得 a1 ? a2 ? a1a2 ? a1 ,即 a2 ? a2 a1 。 因 a2 ? 0 ,故 a1 ? 1 ,得

a2 ? a2 , a1

又由题设条件知 Sn?2 ? a2 Sn?1 ? a1 , Sn?1 ? a2 Sn ? a1 两式相减得 Sn?2 ? Sn?1 ? a2 ? Sn?1 ? Sn ? ,即 an?2 ? a2 an?1 , 由 a2 ? 0 ,知 an?1 ? 0 ,因此

an ? 2 ? a2 an ?1

综上,

an ? 2 ? a2 对所有 n ? N * 成立,从而 ?an ? 是首项为 1,公比为 a2 的等比数列。 an ?1
n (a1 ? an ) ,等号成立。 2
n?1

16.当 n ? 1 或 2 时,显然 S n ?

设 n ? 3 , a2 ? ?1且 a2 ? 0 ,由(1)知, a1 ? 1 , an ? a2

,所以要证的不等式化为:

n ?1 ? a2n?1 ? ? n ? 3? 2 n ?1 2 n 即证: 1 ? a2 ? a2 ? ? ? a2 ? ?1 ? a2n ? ? n ? 2 ? 2 1 ? a2 ? a2 2 ? ? ? a2 n ?1 ?
当 a2 ? 1时,上面不等式的等号成立。 当 ?1 ? a2 ? 1 时, a2r ?1 与 a2n?r ?1 , r ?3 , ( ,1 2 当 a2 ? 1时,

1? n ? )同为负;

( ,1 2 a2r ?1 与 a2n?r ?1 , r ?3 , 1? n ? )同为正;

因此当 a2 ? ?1且 a2 ? 1时,总有 ( a2r ?1 ) a2n?r ?1 )>0,即 ( ( 。 ,1 2 a2r ? a2n?r ? 1 ? a2n , r ?3 , 1? n ? )
2 n?r n 上面不等式对 r 从 1 到 n ? 1 求和得, 2( a2 ? a2 ? ? ? a2 ) ? (n ? 1) 1 ? a2

?

?

n ?1 ?1 ? a2n ? 2 n 综上,当 a2 ? ?1且 a2 ? 0 时,有 S n ? (a1 ? an ) ,当且仅当 n ? 1, 2 或 a2 ? 1时等号成立. 2
由此得 1 ? a2 ? a2 ? ? ? a2 ?
2 n

21. (2012 年高考全国卷理科 22)(本小题满分 12 分) (注意:在试卷上作答无效) ........
函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? 3 .定义数列 ?xn ? 如下:x1 ? 2, xn?1 是过两点 P(4,5), Qn ( xn , f ( xn )) 的直 线 PQn 与 x 轴交点的横坐标. (1)证明: 2 ? xn ? xn?1 ? 3 ; (2)求数列 ?xn ? 的通项公式.

由 xn?1 ? xn ?

4 xn ? 3 4 x ? 3 ? xn 2 ? 2 xn ?( xn ? 1)2 ? 4 ? xn ? n ? xn ? 2 xn ? 2 xn ? 2

由 2 ? xn ? 3 ? 1 ? xn ?1 ? 2 ? 0 ? ?( xn ?1)2 ? 4 ? 3 ,故有 xn?1 ? xn ? 0 即 xn ? xn?1 综上可知 2 ? xn ? xn?1 ? 3 恒成立。 (2) xn ?1 ? 由

4x ? 3 4 xn ? 3 2 得到该数列的一个特征方程 x ? 即 x ? 2x ? 3 ? 0 , 解得 x ? 3 或 x?2 xn ? 2

x ? ?1

? xn?1 ? 3 ?

4 xn ? 3 x ?3 ?3 ? n xn ? 2 xn ? 2



xn?1 ? (?1) ?

4 xn ? 3 5x ? 5 ?1 ? n ② xn ? 2 xn ? 2

两式相除可得

xn ?1 ? 3 1 xn ? 3 x ?3 2?3 1 ? ? ? ?? ,而 1 xn ?1 ? 1 5 xn ? 1 x1 ? 1 2 ? 1 3

故数列 ?

? xn ? 3 ? 1 1 ? 是以 ? 为首项以 为公比的等比数列 3 5 ? xn ? 1 ?

xn ? 3 9 ? 5n?1 ? 1 4 1 1 ? 3? 。 ? ? ? ( )n?1 ,故 xn ? n ?1 3? 5 ?1 3 ? 5n?1 ? 1 xn ? 1 3 5
22.(2012 年高考北京卷理科 20)(本小题共 13 分) 设 A 是由 m ? n 个实数组成的 m 行 n 列的数表,满足:每个数的绝对值不大于1 ,且所有 数的和为零. 记 S ? m, n ? 为所有这样的数表组成的集合. 对于 A ? S ? m, n ? , ri ( A) 为 A 的第 记

i 行各数之和( 1 剟i

m ) c j ( A) 为 A 的第 j 列各数之和(1 剟 j ,

;记 n ) k ( A) 为 r1 ( A) ,

r2 ( A) ,?, rm ( A) , c1 ( A) , c2 ( A) ,?, cn ( A) 中的最小值.
(1)对如下数表 A ,求 k ( A) 的值;

1

1

?0.8
?1

0.1

?0.3

(2)设数表 A ? S ? 2,3? 形如

1

1

c
?1

a

b

求 k ( A) 的最大值; (3)给定正整数 t ,对于所有的 A ? S ? 2,2t ?1? ,求 k ( A) 的最大值.

由题目所有数和为 0 即 a ? b ? c ? ?1 ∴ c ? ?1 ? a ? b ? ? 1 与题目条件矛盾 ∴ k ? A?≤ . 1

易知当 a ? b ? 0 时, k ? A? ? 1 存在 ∴ k ? A? 的最大值为 1 (3) k ? A? 的最大值为

2t ? 1 . t?2 2t ? 1 首先构造满足 k ( A) ? 的 A ? {ai , j }(i ? 1, 2, j ? 1, 2,..., 2t ? 1) : t?2 t ?1 a1,1 ? a1,2 ? ... ? a1,t ? 1, a1,t ?1 ? a1,t ? 2 ? ... ? a1,2 t ?1 ? ? , t?2

a2,1 ? a2,2 ? ... ? a2,t ?

t 2 ? t ?1 , a2,t ?1 ? a2,t ?2 ? ... ? a2,2t ?1 ? ?1 . t (t ? 2)

经计算知, A 中每个元素的绝对值都小于 1,所有元素之和为 0,且

| r1 ( A) |?| r2 ( A) |?

2t ? 1 , t?2

| c1 ( A) |?| c2 ( A) |? ... ?| ct ( A) |? 1 ?

t 2 ? t ?1 t ? 1 2t ? 1 , ?1? ? t (t ? 2) t ?2 t ?2
t ? 1 2t ? 1 ? . t?2 t?2

| ct ?1 ( A) |?| ct ? 2 ( A) |? ... ?| c2t ?1 ( A) |? 1 ?
下面证明

2t ? 1 是 最 大 值 . 若 不 然 , 则 存 在 一 个 数 表 A ? S (2, 2t ? 1) , 使 得 t?2 2t ? 1 k ( A) ? x ? . t?2
由 k ( A) 的定义知 A 的每一列两个数之和的绝对值都不小于 x ,而两个绝对值不超过 1 的 数的和, 其绝对值不超过 2, A 的每一列两个数之和的绝对值都在区间 [ x, 2] 中. 由于 x ? 1 , 故 故

A




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