江苏省淮州中学2012年高一数学暑假作业(12)


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高一数学暑假作业十二
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分共 70 分) . 1.某班级共有学生 54 人,现根据学生的学号,用系统抽样的方法,抽取一个容量为 4 的样 本.已知 3 号,29 号,42 号同学在样本中,那么样本中还有一个同学的学号是 . 2.设 Sn 为等差数列 {an } 的前 n 项和,若 S3 ? 3,S6 ? 24 ,则 a9 ? 3.计算: .

cos 10 ? ? 3 sin 10 ? 1 ? cos 80 ?



.

2 4.已知各项不为 0 的等差数列 {an } ,满足 2a3 ? a7 ? 2a11 ? 0 ,数列 {bn } 是等比数列,

且 b7 ? a7 ,则 b6 b8 ? 5. 已知 sin ? ? 6.若 sin(

. .

2m ? 5 m , cos ? ? ? , ? 为第二象限角, 且 则实数 m 的取值为 m ?1 m ?1

1 2? ? ? ) ? , 则 cos( ? 2? ) 的值为 . 6 3 3 13? 7.已知等差数列 {an } 的前 13 项之和为 ,则 tan( 6 ? a7 ? a8 ) 等于 . a 4 8.在 ?ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a, b, c ,已知 a, b, c 成等比数列,且 a ? c ? 3 ,

?

tan B ?

7 ,则 ?ABC 的面积为 3

.

9. 把一根均匀木棒随机地按任意点折成两段,则“其中一段的长度大于另一段长度的 2 倍” 的概率为 _____. 10.若 x>0,y>0,且 ( x ? 1)( y ? 2) ? 8, 则 x ? y 的最小值为____ 11.设 x, y 均为正实数,且

3 3 ? ? 1 ,则 xy 的最小值为 2? x 2? y

.

?a x ( x ? 0) f ( x1 ) ? f ( x2 ) 12. 已知函数 f ( x) ? ? , 满足对任意 x1 ? x2 , 都有 ?0 x1 ? x2 ?(a ? 3) x ? 4a ( x ? 0) 成立,则 a 的取值范围是 . x ?1? 13.已知函数 f (x) 满足:当 x ? 4时,f ( x) ? ? ? ;当 x ? 4时,f ( x) ? f ( x ? 1) .则 ? 2? f (2 ? log2 3) =________. ? ???? cos B ??? cos C ???? AB ? AC ? 2mAO 14. 已知 O 是锐角△ ABC 的外接圆的圆心, ?A ? ? ,若 且 sin C sin B 则 m? __.
二.解答题: (14+14+15+15+16+16) 15.一次口试中,每位考生要在 8 道口试题中随机抽出 2 道题目回答,答对了其中 1 题即为 及格: (1) 、某考生会答 8 道题目中的 5 道题,这位考生的及格率有多大?

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(2) 、若一位考生的及格概率小于 50%,则他最多会几道题?

.

16. (1)解关于 x 的不等式: ( x ? a)(x ? 1) ? a.

(2)在实数集 R 上定义运算 ? : x ? y ? x(1 ? y). 若不等式 ( x ? a) ? ( x ? a) ? 1 对任 意实数 x 成立,求整数 a 的值.

17.已知函数 f ( x) ? 2 cos x sin(x ?

?
3

)?

3 . 2

(1)求函数 f (x) 的最小正周期 T ;
2 (2)若 ?ABC 的三边 a, b, c 满足 b ? ac ,且边 b 所对角为 B ,试求 cos B 的取值范围,

并确定此时 f (B ) 的最大值.

? BC ? 7m 的 18.如图, ABC 是一块边长 AB ? 3m, AC ? 5m , 剩余角料.现要从中裁剪出一块面积最大的平行四边形用料 APQR ,要求顶点 P, Q, R 分别在边 AB, BC, CA 上.问点 Q 在 BC 边上的什么位置时,剪裁符合要求?并求这个最大值.

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19. .已知 a >0 , 函数 f ( x) ? ax ?

1 3 a ? 1 的定义域为区间 [ , ] . 2 2 x

(Ⅰ)试用 a 表示函数 f (x) 的值域; (Ⅱ) f (x) 的最小值为 g (a ), 问: 设 是否存在与 a 无关的实数 k, 使不等式

3 a ? k ? g (a) 对 2

一切正数 a 恒成立?如果存在,求出 k 的取值集合;如果不存在,说明理由. (说明:如果需要,以下结论可以直接运用:函数 g (t ) ? t ? 单调递减,在区间 [ m,??) 上单调递增.)

m (m ? 0) 在区间 (0, m ] )上 t

20.已知数列 ?an ? 满足: a1 ? 1, a 2 ?

1 , 且 3 ? (?1) n an?2 ? 2an ? 2 (?1) n ? 1 ? 0 2 (1)求 a3 , a4 , a5 ,a 6 的值及数列 ?an ? 的通项公式;
(2)设 bn ? a2 n?1 ? a2 n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n .

?

?

?

?

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高一数学暑假作业十二 1.16 2.15 3. 2 4.16 5。4 6?

7 9

7。-1 8。 1 13。 24

7 4

3- 3 9. 4

10 。f(x)=4sin(

? ? + ) 2 4

11。16

12。 0 ? a ?

1 4

14。 sin ?

15.解:

25 , 2道 28

16. (1)解:原不等式可化为 x[ x ? (a ? 1)] ? 0. 所以, (1)当 a ? ?1 时,原不等式的解集是 {x x ? a ? 1或x ? 0}; (2) 当 a ? ?1 时,原不等式的解集是 {x x ? 0} ; (3) 当 a ? ?1 时,原不等式的解集是 {x x ? 0或x ? a ? 1 . } (2)解:由 ( x ? a) ? ( x ? a) ? 1 得 ( x ? a)(1 ? x ? a) ? 1, 整理得 x ? x ? a ? a ? 1 ? 0.
2 2

所以 1 ? 4(?a 2 ? a ? 1) ? 0, 即 4a 2 ? 4a ? 3 ? 0, 解得 ? 数,所以 a ? 0,1. π 3 17.解:(1)f(x)=2cosx·sin(x+ )- 3 2

1 3 ? a ? , 因为 a 是整 2 2

π π 3 1 3 3 =2cosx(sinxcos +cosxsin )- =2cosx( sinx+ cosx)- 3 3 2 2 2 2 =sinxcosx+ 3·cos x-
2

3 1 1+cos2x 3 = sin2x+ 3· - 2 2 2 2

1 3 π = sin2x+ cos2x=sin(2x+ ). 2 2 3 2π 2π ∴T= = =π . |ω | 2 a +c -b a +c -ac (2)由余弦定理 cosB= 得,cosB= 2ac 2ac a +c 1 2ac 1 1 1 = - ≥ - = ,∴ ≤cosB<1,而 0<B<π , 2ac 2 2ac 2 2 2 π π π π π π ∴0<B≤ .函数 f(B)=sin(2B+ ),∵ <2B+ ≤π ,当 2B+ = , 3 3 3 3 3 2 π 即 B= 时,f(B)max=1. 12
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2 2 2 2 2 2 2

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18.解:设 BQ=x,则 CQ=7-x,且 0<x<7. 11 13 由余弦定理,得 A=120°,cosB= ,cosC= , 14 14 5 3 3 3 ∴sinB= ,sinC= . 14 14 xsinB 在△PQB 中,由正弦定理,得 PQ= . sin120° (7-x)sinC 在△RQC 中,由正弦定理,得 RQ= . sin120° x(7-x)sinBsinC ∴S?APQR=PQ·RQ·sin120°= sin120° = 15 3 7 15 3 x(7-x),当 x= 时,取最大值 . 98 2 8

15 3 故当 Q 是 BC 中点时,平行四边形 APQR 面积最大,最大面积为 米. 8 19.解:(Ⅰ) (1)当 0 ? a ?

1 a 1 1 3 时, f ( x) ? ax ? ? 1 ? a( x ? ) ? 1, 它在区间 [ , ] 上是递增函数, 2 x x 2 2 3 5 所以其值域为 [ ? a ? 1, a ? 1] ; 2 6

1 1 ? ?a ( x ? x ) ? 1, 2 ? x ? a, 1 3 ? (2)当 ? a ? 时, f ( x) ? ? , 1 3 2 2 ?a ( x ? ) ? 1, a ? x ? . ? x 2 ?
1 1 ) ? 1( ? x ? a ) , x 2 1 1 2 5 ①当 ? a ? 1 时, f (x) 在区间 [ , a ] 上单调递减,所以 f ( x ) ? [a , a ? 1] ; 2 2 2 3 1 ② 当 1 ? a ? 时 , f (x) 在 区 间 [ ,1] 上 单 调 递 减 , 在 区 间 [1, a] 上 单 调 递 增 , 2 2 1 5 1 f ( x) m i n ? 2a ? 1 . 又 f (a) ? f ( ) ? a 2 ? ( a ? 1) ? (a ? 2)( a ? ) ? 0, 所 以 2 2 2 5 f ( x) m a ?x a ? 1 . 2 1 3 对于 f ( x ) ? a ( x ? ) ? 1 ( a ? x ? ) , x 2 3 5 2 它在区间 [a , ] 上单调递增,所以 f ( x) min ? a , f ( x) max ? a ? 1 . 2 6 5 5 5 6 2 2 因为 a ? (2a ? 1) ? (a ? 1) ? 0, ( a ? 1) ? ( a ? 1) ? (a ? ) , 2 6 3 5
对于 f ( x ) ? a ( x ?

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1 5 ? a ? 1 时, f ( x) ? [a 2 , a ? 1] , 2 6 6 5 当 1 ? a ? 时, f ( x) ? [2a ? 1, a ? 1] , 5 6 6 3 5 当 ? a ? 时, f ( x) ? [2a ? 1, a ? 1] . 5 2 2 3 1 1 3 a ( 3 ) 当 a? 时 , f ( x ) ? a ( x ? ) ? 1 , 因 为 f ( ) ? f ( ) ? ? 0, 所 以 2 x 2 2 3 5 f ( x) ? [2a ? 1, a ? 1] . 2
所以,当 综上所述,

1 3 5 时, f (x) 的值域是 [ ? a ? 1, a ? 1] ; 2 2 6 1 2 5 当 ? a ? 1 时, f (x) 的值域是 [a , a ? 1] ; 6 2 6 5 当 1 ? a ? 时, f (x) 的值域是 [2a ? 1, a ? 1] ; 5 6 6 5 当 a ? 时, f (x) 的值域是 [2a ? 1, a ? 1] . 5 2
当0 ? a ?

? 3 ?? 2 a ? 1, ? ? 2 (Ⅱ) g ( a ) ? ?a , ? ?2a ? 1, ? ?


0?a?

1 , 2

1 ? a ? 1, 2 a ? 1.

3 a ? k ? g (a ) 对一切正数 a 恒成立,得 2 1 3 3 1 当 0 ? a ? 时, a ? k ? ? a ? 1, k ? ?3a ? 1 对一切 0 ? a ? 的 a 恒成立,所以 2 2 2 2 1 k?? ; 2 1 3 3 1 2 2 当 ? a ? 1 时, a ? k ? a , k ? a ? a 对一切 ? a ? 1 的 a 恒成立,所以 2 2 2 2 9 k?? ; 16 3 a 1 当 a ? 1 时, a ? k ? 2a ? 1, k ? ? 1 对一切 a ? 1 的 a 恒成立,所以 k ? ? ; 2 2 2 3 9 因此,由 a ? k ? g (a ) 对一切正数 a 恒成立,得 k ? ? . 2 16 3 故存在与 a 无关的实数 k,使不等式 a ? k ? g (a ) 对一切正数 a 恒成立,k 的取值集 2 9 合是 {k k ? ? } . 16
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1 1 20.解:(1)经计算 a3=3,a4= ,a5=5,a6= . 4 8 当 n 为奇数时,an+2=an+2,即数列{an}的奇数项成等差数列, ∴a2n-1=a1+(n-1)·2=2n-1. 1 当 n 为偶数时,an+2= an,即数列{an}的偶数项成等比数列, 2

?n (n为奇数), ? 1 n-1 1 n ∴a2n=a2·( ) =( ) .因此,数列{an}的通项公式为 an=? 1 n 2 2 ?( ) (n为偶数). ? 2 2
1 n (2)∵bn=(2n-1)·( ) , 2 1 1 2 1 3 1 n-1 1 n ∴Sn=1· +3·( ) +5·( ) +?+(2n-3)·( ) +(2n-1)·( ) , 2 2 2 2 2 1 1 2 1 3 1 4 1 n 1 n+1 Sn=1· ) +3· ) +5· ) +?+(2n-3)· ) +(2n-1)· ) , ( ( ( ( ( 2 2 2 2 2 2 ①②两式相减, 1 1 1 2 1 3 1 n 1 n+1 得 Sn=1· +2[( ) +( ) +?+( ) ]-(2n-1)·( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 n-1 ·[1-( ) ] 2 1 2 1 n+1 3 1 n+1 = + -(2n-1)·( ) = -(2n+3)·( ) . 2 1 2 2 2 1- 2 1 n ∴Sn=3-(2n+3)·( ) . 2 ②

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