2016届高三数学一轮复习优题精练:平面向量


江苏省 2016 年高考优题精练 平面向量
一、填空题 1、 (2015 年江苏高考)已知向量 a ? (2,1) ,b ? (1, ?2) ,若 ma ?nb ? (9, ?8),( m ,n? R ) 则 m ? n 的值为_____ ?3 _____。 2 、 ( 2014 年 江 苏 高 考 ) 如 图 , 在 平 行 四 边 形 AB C D中 , 已 知 AB ? 8, AD ? 5 ,

r

r

r

r



CP ? 3PD, AP ? BP ? 2 ,则 AB ? AD 的值是 ▲ .

3 、( 2013 年江苏高考)设 D,E 分别是 ?ABC 的边 AB,BC 上的点, AD ?

1 AB , 2


BE ?

2 BC , 若 DE ? ?1 AB ? ?2 AC ( ?1,?2 为实数) , 则 ?1 ? ?2 的值为 3

4、(2015 届南京、盐城市高三二模)如图,在平面四边形 ABCD 中,AC,BD 相交于点 O, E 为线段 AO 的中点,若 BE ? ? BA ? ? BD ( ? , ? ? R ),则 ? ? ? ?
A E O B 第6题图 C

D

5、(南通、扬州、连云港 2015 届高三第二次调研(淮安三模))在平行四边形 ABCD 中,
???? ???? ???? ??? ? AC ? AD ? AC ? BD ? 3 ,则线段 AC 的长为

▲ .

6 、 ( 苏 锡 常 镇 四 市 2015 届 高 三 教 学 情 况 调 研 ( 二 ) ) 已 知 向 量

? ? ? ? ? ? a ? ?1, 2 ? , b ? ? 0, ?1? , c ? ? k , ?2 ? ,若 a ? 2b ? c ,则实数 k ?

?

?



7 、 ( 泰 州 市 2015 届 高 三 第 二 次 模 拟 考 试 ) 设 函 数 f ( x) ? 3 sin( πx ?

π ) 和 3

π g ( x) ? sin( ? πx) 的图象在 y 轴左、右两侧靠近 y 6

1

轴的交点分别为 M 、 N ,已知 O 为原点,则 OM ? ON ?

???? ? ????



8、(盐城市 2015 届高三第三次模拟考试)在边长为 1 的菱形 ABCD 中, ?A ?

2? ,若点 3

??? ? ??? ? P 为对角线 AC 上一点,则 PB ? PD 的最大值为
▲ . 9、(2015 届江苏南京高三 9 月调研)已知向量 a=(2,1),b=(0,-1).若(a+λb)⊥a, 则实数 λ= ▲ .

10、 (2015 届江苏南通市直中学高三 9 月调研)已知△ABC 中,∠C=90° ,CA ? 3,CB ? 4 , ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? D、 E 分别为边 CA、CB 上的点,且 BD ? CA ? 6 , AE ? CB ? 8 ,则 AE ? BD ? ▲ . 11、(2015 届江苏苏州高三 9 月调研)如图 , AB 是半径为 3 的圆 O 的直径 , P 是圆 O 上异 于 A, B 的一点 Q 是线段 AP 上靠近 A 的三等分点 , 且 AQ ? AB ? 4, 则 BQ ? BP 的值 为 ▲

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

12、 (苏州市 2015 届高三上期末) 如图, 在 ?ABC 中, 已知 AB ? 4, AC ? 6, ?BAC ? 60? , 点 D, E 分别在边 AB, AC 上,且 AB ? 2 AD, AC ? 3AE ,点 F 为 DE 中点,则 BF ?DE 的 值 为

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

13、(泰州市 2015 届高三上期末)在梯形 ABCD 中, AB ? 2DC , BC ? 6 , P 为梯形

??? ?

????

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ABCD 所在平面上一点,且满足 AP ? BP ? 4DP =0, DA ? CB ? DA ? DP , Q 为边 AD
上的一个动点,则 PQ 的最小值为

??? ?



14、 (无锡市 2015 届高三上期末) 已知菱形 ABCD 的边长为 2 ,? BAD

120o ,点 E , F

2

分别在边 BC, DC 上, BE = l BC, CF = l CD .若 AE ? BF

uuu r

uuu r uuu r

uuu r

uuu r uuu r

- 1,则 l =

15、(扬州市 2015 届高三上期末)已知 A(0,1),曲线 C:y=logax 恒过点 B,若 P 是曲 线 C 上的动点,且 AB?AP 的最小值为 2,则 a=____ 16、(南京市 2014 届高三第三次模拟)在 Rt△ABC 中,CA=CB=2,M,N 是斜边 AB 上 → → 的两个动点,且 MN= 2,则 CM · CN 的取值范围为 ▲ .

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? 17、 (苏锡常镇四市 2014 届高三 5 月调研 (二) ) 已知平面内的四点 O, A, B, C 满足 OA ? BC ? 2 , ??? ? ??? ? ???? ??? ? OB ? CA ? 3 ,则 OC ? AB =





→ → 18、(南京、盐城市 2014 届高三第二次模拟(淮安三模))已知| OA |=1,| OB |=2,∠ 2π → 1 → 1 → → → AOB= , OC = OA + OB ,则 OA 与 OC 的夹角大小为 3 2 4 ▲
??? ? ??? ?

19、(2014 南通二模)在△ABC 中,D 是 BC 的中点,AD=8,BC=20,则 AB ? AC 的值为 ▲ . 20、(苏锡常镇四市 2014 届高三 3 月调研(一))如图,在△ABC 中,BO 为边 AC 上的中 ??? ? ???? ???? ???? ???? 1 ??? ? ???? 线, BG ? 2GO ,设 CD ∥ AG ,若 AD ? AB ? ? AC (? ? R ) ,则 ? 的值为 ▲ 5

二、解答题 1、(2013 年江苏高考)已知 a =(cos ? ,sin ? ), b ? (cos ? ,sin ? ) , 0 ? ? ? ? ? ? 。 (1)若 | a ? b |? 2 ,求证: a ? b ;(2)设 c ? (0,1) ,若 a ? b ? c ,求 ? , ? 的值。

?

?

? ?

?

?

?

? ?

?

2、(2015 届南京、盐城市高三二模)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c.已 3 知 cosC= . 5 ?? 9 (1)若 CB ? CA = ,求△ABC 的面积; 2 B B (2)设向量 x=(2sin , 3),y=(cosB,cos ),且 x∥y,求 sin(B-A)的值. 2 2

3

3、 (南通、扬州、连云港 2015 届高三第二次调研(淮安三模))在平面直角坐标系 xOy 中, 已知向量 a ? (1,0), b ? (0,2).设向量 x ? a ? ( 1 ? cos ? ) b ,
y ? ? ka ? 1 b ,其中 0 ? ? ? π . sin ?

(1)若 k ? 4 , ? ? π ,求 x ? y 的值; 6 (2)若 x // y,求实数 k 的最大值,并求取最大值时 ? 的值.

4、 (泰州市 2015 届高三第二次模拟考试)已知向量 a ? (? ,

1 3 ) ,b ? (2cos ? , 2sin ? ) , 2 2

0 ? ? ? π.
(1)若 a ∥ b ,求角 ? 的大小; (2)若 a ? b ? b ,求 sin ? 的值.

5、(2012 年江苏高考)在 ?ABC 中,已知 AB ? AC ? 3BA? BC . (1)求证: tan B ? 3tan A ; (2)若 cos C ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

5 ,求 A 的值. 5

6、(连云港、徐州、淮安、宿迁四市 2015 届高三)在平面直角坐标系 xOy 中,设向量

π a ? (1 , 2sin? ) , b ? (sin(? ? ) ,1) , ? ? R . 3 (1) 若 a ? b ,求 tan ? 的值; π (2) 若 a ∥ b ,且 ? ? (0 , ) ,求 ? 的值. 2

7、(苏州市 2015 届高三上期末)已知向量 a ? (sin ? , 2), b ? (cos ? ,1) ,且 a , b 共线,其中

? ? ? (0, ) .
2
(1)求 tan(? ?

?
4

) 的值;

4

(2)若 5cos(? ? ? ) ? 3 5 cos ?,0 ? ? ?

?
2

,求 ? 的值.

8、(无锡市 2015 届高三上期末)已知向量 a = ( sin x, ) , b = ( cos x, - 1) .

r

3 r 4

p ) 的值; 4 r r r 轾p (2)设函数 f (x ) = 2( a + b) ? b ,当 x ? 犏 0, 时,求 f (x ) 的值域. 犏 臌2
(1)当 时,求 t an( x -

9、 (苏锡常镇四市 2014 届高三 5 月调研 (二) ) 在△ ABC 中, 已知 C ?

n ? (1,cos B) ,且 m ? n .
(1)求 A 的值;

π , 向量 m ? (sin A,1) , 6

??? ? ??? ? (2)若点 D 在边 BC 上,且 3BD ? BC , AD ? 13 ,求△ ABC 的面积.

10、(徐州市 2014 届高三上学期期中)设向量 a ? (2,sin ? ), b ? (1,cos? ),? 为锐角。
(1)若 a ? b ?

?

?

? ?

(2)若 a / / b ,求 sin(2? ?

?

?

13 ,求 sin ? ? cos ? 的值; 6

?

3

) 的值。

参考答案
一、填空题

5

1、因为 ? 2、22 3 4、 4 9、5 12、4 15、e 解 :

? 2m ? n ? 9 ?m ? 2 ? m ? n ? ?3 ,所以 ? ?m ? 2n ? ?8 ?n ?5
3、 ?1 ? ? 2 ?

1 2
6、8 11、24 14、 7、 ?

5、 3 10、-14 13、

8 9

8、 ?

1 2

4 2 3

2 2



A(

0

, ,

1B(1, ) 0)





P( x,loga x)





??? ? ??? ? AB ? AP ? ?1, ?1? ? ? x, log a x ? 1? ? x ? log a x ? 1 .
依题 f ( x ) ? x ? loga x ? 1 在 (0, ??) 上有最小值 2 且 f (1) ? 2 ,故 x ? 1 是 f ( x ) 的极值点, 即最小值点.

1 x ln a ? 1 ? ,若 0 ? a ? 1 , f '( x) ? 0 , f ( x ) 单调增,在 (0, ??) 无最小 x ln a x ln a 值;故 a ? 1 , f '( x) ? 1 ?
设 f '( x) ? 0 ,则 x ? loga e ,当 x ? (0, log 时, f '( x) ? 0 ,当 x ? (loga e, ??) 时, ae )

f '( x) ? 0 ,
从而当且仅当 x ? log a e 时, f ( x ) 取最小值,所以 loga e ? 1 , a ? e . 3 16、[ ,2] 2 二、解答题 1、解:(1)∵ | a ? b |?
又 ∵ a ?| a | ? c o s
2 2 2

17、-5

18、60°

19、-36 20、

6 5

2

∴| a ? b |

2

? 2 即 a ? b ? a ? 2ab ? b ? 2 ,
2

? ?

2

2

2

2 ? ?sin ? ? 1 , b ?| b | 2 ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? 1 ∴ 2 ? 2ab ? 2 ∴

ab ? 0 ∴ a ? b
( 2 ) ∵

a?b ?( c o ?? s c o?s, s i ? n?s i ? n) ? (0,1)



?cos? ? cos ? ? 0 即 ? ?sin ? ? sin ? ? 1

?cos? ? ? cos ? ? ?sin ? ? 1 ? sin ?
6

两边分别平方再相加得: 1 ? 2 ? 2 sin ? ∴? ?

∴ sin ? ?

1 2

∴ sin ? ?

1 2

∵0 ? ? ?? ??

5 1 ?,? ? ? 6 6

→→ 9 9 2、解:(1)由 CB · CA = ,得 abcosC= . 2 2 3 9 15 又因为 cosC= ,所以 ab= = . 5 2cosC 2 4 又 C 为△ABC 的内角,所以 sinC= . 5 1 所以△ABC 的面积 S= absinC=3. 2 …………………… 2 分 …………………… 4 分 …………………… 6 分 ………………… 8 分

B B (2)因为 x//y,所以 2sin cos = 3cosB,即 sinB= 3cosB. 2 2 因为 cosB≠0,所以 tanB= 3. π 因为 B 为三角形的内角,所以 B= . 3 2π 2π 所以 A+C= ,所以 A= -C. 3 3 π π 所以 sin(B-A)=sin( -A)=sin(C- ) 3 3 1 3 1 4 3 3 = sinC- cosC= × - × 2 2 2 5 2 5 = 4-3 3 . 10

………………… 10 分

………………… 14 分

3、解:(1)(方法 1)当 k ? 4 ,? ? π 时, x ? 1 ,2 ? 3 , y ? ( ?4 ,4 ), 6 分 则

?

?

…… 2

x ? y ? 1 ? (?4) ? 2 ? 3 ? 4 ? 4 ? 4 3 .

a ?b ? 0,

?

?

…… 6 分 2 ) 依 …… 2 分 题 意 ,





? ? 则 x ? y ? ?a ? 1 ? 3 b ? ? ? ?4a ? 2b ? ? ?4a 2 ? 2 ? 1 ? 3 b 2 2 2 ? ?

?

?

?

?

? ? 4 ?2 ? 1 ?3 2

?

?

? 4 ? 4 ? 4 . 3

…… 6 分

7

(2)依题意, x ? ?1, 2 ? 2cos? ? , y ? ?k , 2 , sin ? 因为 x // y, 所以 2 ? ?k (2 ? 2cos ? ) , sin ? 整
1 ?s ? ? k

?

?




n


o

??

?,

i

…… 9 分 c

令 f (? ) ? sin ? ? cos? ? 1? , 则 f ?(? ) ? cos? ? cos? ? 1? ? sin ? (? sin ? )
? 2 c o2s ?? c? o? s 1

? ? 2cos? ? 1?? cos? ? 1? .

…… 11 分

令 f ?(? ) ? 0 ,得 cos ? ? ? 1 或 cos ? ? 1 , 2 又 0 ? ? ? π ,故 ? ? 2π . 3 列表:

?

?0,23π ?
?

2π 3

? 23π ,π ?
?

f ?(? )

0

k 取最大值 ? 4 3 . 故当 ? ? 2π 时,f (? )min ? ? 3 3 , 此时实数 …… 极小值 3 f (? ) 4 9 ↘ ↗ 14 分 3 3 ? 4 2 ? 2cos? ? , y ? ?k , 2 ,及 k 与 ? 的等式,各 (注:第(2)小问中,得到 x ? ?1, sin ?

?

?

1 分.) 4. 解:(1) 因为 a / / b ,所以 ?

1 3 ? 2sin ? ? ? 2cos ? ,即 ? sin ? ? 3 cos ? , 2 2
2 π. 3
2

所以 tan ? ? ? 3 , 又 0 ? ? ? π ,所以 ? ?

……………7分

2 2 (2)因为 a ? b ? b ,所以 (a ? b) ? b ,化简得 a ? 2a ? b ? 0 ,

8

又 a ? (? ,

1 3 ) , b ? (2cos ? , 2sin ? ) ,则 a 2 ? 1 , a ? b ? ? cos? ? 3sin ? , 2 2
1 π 1 ,则 sin(? ? ) ? ? ? 0 , 2 6 4
……………10 分

所以 3 sin ? ? cos ? ? ?

又 0 ? ? ? π , cos(? ? ) ?

π 6

15 , 4

所以 sin ? ? sin[(? ? ) ?

π 6

π π π π π 15 ? 3 ] ? sin(? ? ) cos ? cos(? ? ) sin ? . 6 6 6 6 6 8

……………14 分 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 5 、 解 : ( 1 ) ∵ AB ? AC ? 3BA? BC , ∴ AB ?AC ?cos A=3BA?BC ?cos B , 即

A C ?c o s A = ? 3 B C 。 c o Bs

AC BC cos B 。 ,∴ sin B?cos A=3sin A? = sin B sin A sin B sin A 又 ∵ 0 < A ? B < ? , ∴ cos A > 0,cos B > 0 。 ∴ 即 =3? cos B cos A
由正弦定理,得

tan B ? 3tan A 。
(2)∵ cos C ?

? 5? 5 2 5 , 0 <C < ? ,∴ sin C ? 1 ? ? = 。∴ tan C ? 2 。 ? ? ? 5 5 5 ? ?

2

tan A ? tan B ? ?2 。 1 ? tan A?tan B 1 4tan A 由 (1) ,得 ? ?2 ,解得 tan A=1 , tan A= ? 。 2 3 1 ? 3tan A
∴ tan ? ?? ? ? A ? B ?? ? ? 2 ,即 tan ? A ? B ? ? ?2 。∴ ∵ cos A > 0 ,∴ tan A=1 。∴ A=

?
4



6、(1)因为 a ? b ,所以 a ? b =0 ,…………………………………………………………2 分 所以 2sin ? ? sin ? ? ?

? ?

5 3 π? cos ? ? 0 . ? ? 0 ,即 sin ? ? 2 2 3?

…………………4 分

因为 cos ? ? 0 ,所以 tan ? ? ? (2)由 a ∥ b ,得 2sin ? sin ? ? ? 即 2sin
2

3 . 5

…………………………………………6 分

? ?

π? ? ? 1, ………………………………………………8 分 3?

? cos ? 2sin ? cos ? sin
? ? π? 1 ?? , 6? 2

π 3

π 1 3 ? 1 ,即 ?1 ? cos 2? ? ? sin 2? ? 1 , 3 2 2
……………………………………………………11 分

整理得, sin ? 2? ?

9

又 ? ? ? 0,

? ?

π π π π ? π 5π ? π? ? ,所以 2? ? ? ? ? , ? ,所以 2? ? 6 ? 6 ,即 ? ? 6 . ……14 分 6 ? 6 6 ? 2?

7、解 (1)∵a∥b,∴ sin ? ? 2 cos? ? 0 ,即 tan ? ? 2 . ……………………………… 4 分 ∴ tan(? ?

π 1 ? tan ? 1 ? 2 )? ? ? ?3 . 4 1 ? tan ? 1 ? 2

………………………………………………7 分

(2)由(1)知 tan ? ? 2 ,又 ? ? (0, ) ,∴ sin ? ? ∴ 5cos(? ? ? ) ? 3 5 cos ? ,

π 2

2 5 5 , …………9 分 , cos ? ? 5 5

∴ 5(cos? cos ? ? sin ? sin ? ) ? 3 5 cos ? ,即 5 cos ? ? 2 5 sin ? ? 3 5 cos ? , ∴ cos ? ? sin ? ,即 tan ? ? 1 , 又0 ?? ? 8、 ………………………………………………………12 分

?
2

,∴ ? ?

?
4



……………………………………………………………14 分

9、(1)由题意知 m ? n ? sin A ? cos B ? 0 ,

………………………………2 分

π 5π 又 C ? , A ? B ? C ? π ,所以 sin A ? cos( ? A) ? 0 , ………………………4 分 6 6 π 3 1 cos A ? sin A ? 0 ,即 sin( A ? ) ? 0 , ……………………………6 分 即 sin A ? 2 2 6 5π π π 2π π π 又0? A? ,所以 ( A ? ) ? (? , ) ,所以 A ? ? 0 ,即 A ? . …………7 分 6 6 6 ??? ?6 ??? ? 6 3 ??? ??? ? ? (2)设 BD ? x ,由 3BD ? BC ,得 BC ? 3 x ,

10

由(1)知 A ? C ?

??? ? π 2π ,所以 BA ? 3 x , B ? , 6 3

在△ ABD 中,由余弦定理,得 ( 13)2 =(3x)2 ? x2 ? 2 ? 3x ? x cos

2π , 3

……10 分

解得 x ? 1 ,所以 AB ? BC ? 3 , ………………………12 分 1 1 2π 9 3 ? 所以 SΔ ABC ? BA ? BC ? sin B ? ? 3 ? 3 ? sin . …………………………14 分 2 2 3 4 13 1 10、解:(1)因为 a· b =2 + sinθcosθ = , 所以 sinθcosθ = , ……2 分 6 6 所以(sinθ +cosθ)2 = 1+2sinθcosθ = 3 2 3 .又因为 θ 为锐角,所以 sinθ + cosθ = …6 分 4 3 ……8 分 ……10 分 ……12 分 ……14 分

(2)因为 a∥b,所以 tanθ = 2, 2sinθcosθ 2tanθ 4 所以 sin2θ = 2sinθcosθ = = , 2 2 = 2 sin θ+cos θ tan θ+1 5 cos2θ = cos2θ-sin2θ = 所以 sin(2θ+ cos2θ-sin2θ 1-tan2θ 3 = = — . 2 2 sin θ+cos θ tan2θ+1 5

π 1 3 1 4 3 3 4-3 3 ) = sin2θ + cos2θ = × + × (- ) = . 3 2 2 2 5 2 5 10

11


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