高一数学圆的一般方程教案


课题:圆的一般方程
学习目标 1、知识与技能: 一、知识目标:(1)理解记忆圆的一般方程的代数特征。 (2)掌握方程 表示圆的条件。 二、能力目标:(1)能应用配方法将圆的一般方程化为圆的标准方程。 (2)能应用待定系数法求圆的一般方程。 (3)能应用代入法求一般曲线的方程。 (4)培养探索发现及分析解决问题的能力。 三、情感目标:(1)培养学生勇于探索的精神。 (2)渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法,提高学生的整 体素质。 教学重点圆的一般方程的代数特征、 一般方程与标准方程的互化、 待定系数法求 圆的一般方程 的步骤教学难点二元二次方程与圆的一般方程的关系及求动点的轨迹方程 教学过程 1、本节教材的理论知识有问题提出、探索研究、思考交流三个板块组成。 编写形式上采用了特殊到一般,由具体到抽象的认知方式。 第一板块 问题提出 解读 方 程 对给出的方程通过配方, 化成圆的标准方程 的形式,第一个方程为 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 , x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 1 ? 0 表 示 它表示以(1,-2)为圆心,2 为半径的圆;第二 什 么 图 形 ? 方 程 个方程为 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? ?1 , 由于不存在点 2 2 x ? y ? 2x ? 4 y ? 6 ? 0 表 示 的坐标 ( x, y) 满足这个方程,所以它不表示任 何图形。 什么图形? 第二板块 探索研究 解读 方 程 配 方 得 2 2 D E D ? E ? 4F x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 在 什 ( x ? ) 2 ? ( y ? ) 2 ? 。 (1) 当 2 2 4 么条件下表示圆? D E D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,方程表示以 (? ,? ) 为 2 2 1 D 2 ? E 2 ? 4 F 为半径的圆; 圆心, 2 (2)当 D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,方程表示一个点 D E ( ? ,? ) ; 2 2 (3) 当 D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,方程不表示任何

图 形。 关于 x, y 的二元二次方程

Ax2 ? Bxy ? Cy 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 成 为 圆方程的充要条件是(1) x 2 和 y 2 的系数相同且 不等于 0,即 A=C ? 0;(2)没有 xy 这样的二次 项,即 B=0;(3) D 2 ? E 2 ? 4 AF ? 0 。 对于圆的一般方程,要熟练地通过配方 法,求出圆的圆心坐标和半径。 根据已知条件求圆的方程,仍然采用待 定系数法,但要注意的是待定的方程是设标准 方程还是设一般方程, 这要根据已知条件而定。 第三板块 思考交流 解读 1、圆的标准方程和圆的一 1、圆的标准方程指出了圆心坐标与半径大 般方程各有什么特点? 小,几何特征明显;圆的一般方程表明圆的方 2、 课本 P.129 例 4 解完后, 程是一种特殊的二元二次方程, 代数特征明显。 问:与例 2 的方法比较,你有 圆的一般方程与圆的标准方程可以相互转化。 什么体会? 2、 让学生通过对同一个类似问题的两种解 法的比较,一方面加深对解题方法的理解;另 一方面促使学生养成解题后反思的良好习惯.
2、典型例题 例 1:已知方程 x +y +2kx+4y+3k+8=0 表示一个圆,求 k 的取值范围。 点拨由二元二次方程成为圆方程的条件,得到关于 k 的不等式。 解答 ? 方程 x2+y2+2kx+4y+3k+8=0 表示一个圆, ∴ (2k ) 2 ? 4 2 ? 4(3k ? 8) ? 0 ,解得 k ? 4或k ? ?1 ∴当 k ? 4或k ? ?1 时,方程 x2+y2+2kx+4y+3k+8=0 表示一个圆。 总 结 在圆的一般方程 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 中,系数 D 、 E 、 F 必须满足
D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 。
2 2

例 2:求经过三点 A(1,-1) 、B(1,4) 、C(4,-2)的圆的方程。 点拨利用圆的一般方程,寻找关于 D、E、F 的方程组。 解答设所求圆的方程为 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 , 、B(1,4) 、C(4,-2)三点在圆上,代入圆的方程并化简, ? A(1,-1) 得

? D ? E ? F ? ?2 ? ? D ? 4 E ? F ? ?17 ,解得 D=-7,E=-3,F=2 ?4 D ? 2 E ? F ? ?20 ?

∴所求圆的方程为 x 2 ? y 2 ? 7 x ? 3 y ? 2 ? 0 。 总结待定系数法是求圆的方程最常见的方法,但是在求圆的方程时是设标准方程 还是设一般方程,要由已知条件确定。一般地,如果由已知条件易求得圆心坐标、 半径或需要利用圆心坐标或半径列方程,常选用标准方程;如果已知条件与圆心 坐标、半径无直接关系,常选用一般方程。 例 3、已知线段 AB 的端点 B 的坐标是(4,3) ,端点 A 在圆上 ? x ? 1? ? y 2 ? 4 运
2

动,求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程。 点拨 如图点 A 运动引起点 M 运动, 而点 A 在已知圆上运动, 点 A 的坐标满足方程

? x ? 1?

2

? y 2 ? 4 。建立点 M 与点 A 坐标之间的关系,就可以建立点 M 的坐标满足

的条件,求出点 M 的轨迹方程。 解 答 设 点 M 的 坐 标 是 ( x,y ) , 点 A 的 坐 标 是

3? 且M是线段AB的重点,所以 ? x0 , y0 ?.由于点B的坐标是? 4,
x0 ? 4 y ?3 ,y? 0 , 2 2 于是有x0 ? 2 x ? 4, y0 ? 2 y ? 3 x?
2



因为点A在圆 ? x ? 1? ? y 2 ? 4 上 运 动 , 所 以 点 A 的 坐 标 满 足 方 程

? x ? 1?

2

? y 2 ? 4 ,即 ? x0 ? 1? ? y0 2 ? 4
2 2

? x0 ? 1?

? y0 2 ? 4


2

? 2 x ? 4 ? 1? 把①代入②,得

? ? 2 y ? 3? ? 4,
2

3? ? 3? ? 整理,得 ? x- ? ? ? y ? ? ? 1 2? ? 2? ?

2

2

?3 3? 所以,点M的轨迹是以? , ? 为圆心,半径长为1的圆 ?2 2?

总结

1、 “轨迹”与“轨迹方程”是不同的两个概念,前者是图形,要指出形状、

位置、大小(范围)等特性;后者是方程(等式) ,不仅要给出方程,还要指出 变量的取值范围。

2、在探求点的轨迹时,可先用信息技术工具探究轨迹的形状,对问题有一个直 观的了解,然后再从本质上分析轨迹形成的原因,找出解决问题的方法,制订合 理的解题策略。 3、学法指导 1、用待定系数法求圆方程的大致步骤是:(1)根据题意,选择标准方程或一 般方程; (2)根据条件列出关于 a、b、r 或 D、E、F 的方程组;(3)解出 a、b、r 或 D、E、F,代入标准方程或一般方程。 2、 “曲线”和“方程”是动点运动规律在“形”和“数”方面的反映。在解 析几何的问题中, 求动点的轨迹方程是一种常见题型。求动点的轨迹方程的常用 方法有:直接法、代入法: 四、课堂小结,反馈回授 1、对方程 的讨论和圆的一般方程的代数特征理解. 2、圆的一般方程和标准方程的互化. 3、待定系数法求解圆的一般方程. 4、代入法求解曲线的轨迹方程. 4、当堂练习 1、若(2m2+m-1)x2+(m2-m+2)y2+m+2=0 的图形表示一个圆,则 m 的值是___。 2、已知 ? ABC 的顶点坐标分别是 A(1,1)、B(3,1)、C(3,3),求 ? ABC 外接圆的方 程。 3、过圆外一点 Q ( a, b) 向圆 O: x 2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 作割线,交圆于 A、B 两点, 求弦 AB 中点 M 的轨迹。 课后作业: p130 习题 4.1 第 2、3、6 题


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