3.1.1方程的根与函数的零点2


第三章

函数的应用

方程的根与函数的零点2

1. ①函数 y =f(x)的零点:

对于函数 y =f(x), 我们把 f(x)=0的实数x
叫做函数 y =f (x)的零点。

②方程f(x)=0有实数根
函数 y=f(x)的图象与x轴有交点

函数 y=f(x)有零点

2. 函数、方程、不等式三者联系: 函数 ①
转化 方程

不等式

②利用图象法研究函数注意:
数形结合,以点为主

零点存在性定理:
如果函数y=f(x)在区间[a, b]上的图象是连续不断的一

条曲线, 并且f(a) · f(b)<0, 那么函数y=f(x)在区间(a, b)
内有零点, 即存在c∈(a, b), 使得f(c)=0, 这个c也就是

方程f(x)=0的根, c也是函数y=f(x)的一个零点。
1.函数 y=f(x)的方程的图象在区间(a,b) 上必须是连续曲线,才能用上述方法判定.我们所研 究的大部分函数,其图象都是连续曲线. 2.在区间(a,b)内,当f(a)· f(b)>0时,并 不能判定方程f(x)=0没有解. 3.上述方法只能判定f(x)=0解的存在,即至少 有一解,但不能判断具体解的个数.

函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续,f(a)·f(b)<0,且在

区间[a,b]上单调则函数y=f(x)有零点且唯一。
如何确定函数在某个区间内有唯一零点 (1)利用零点存在定理判定存在性; (2)利用单调性证明唯一性。

三、求函数零点或零点个数的方法:
(1)定义法:解方程 f(x)=0,
得出函数的零点。

(2)图象法:画出y= f(x)的图象,其图象
与x轴交点的横坐标。 (3)定理法:函数零点存在性定理。

例 1. 判断函数 f ( x) ? 2 x ? 3x ? 8 的零点个数, 并指出其零点所在的大致区间.

例2.方程 2 ? x ? 2的实数根个数有 ____ 个
| x|

例3.若函数f ( x) ? ax2 ? x ? 1
数a的取值范围。

仅有一个零点,求实

练习
判断函数 f ( x ) ? ? x 3 ? 3 x ? 5的零点个数?

你能写出以上函数零点所在的一个整数区间吗?

例4: 求实数m的范围, 使关于x 的方程
x2+2(m-1)x+2m+6=0
(1)有两个实根, 且一个比1大, 一个比1小; (2)有两个实根, 且都比1大; (3)有两个实根α、β, 且满足0<α<1<β<4 课后思考:(4)至少有一个正根.

三、巩固知识
1.函数f(x)=x(x2-16)的零点为( D )
A. (0,0),(4,0) C. (–4,0),(0,0),(4,0) B.0,4 D.–4,0,4

2.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且f(x)在(0,+∞) 上有一个零点,则f(x)的零点个数为(

A)

A.3 B.2 C.1 D.不确定 3.已知函数f(x)的图象是连续不断的,有如下对应值表:

x 1 f(x) 23

2 9

3 -7

4 11

5 -5

6 7 -12 -26

那么函数在区间[1,6]上的零点至少有( C)个
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个

4:下列函数在区间(1,2)上有零点的是( D ) (A) f(x)=3x2-4x+5 (C) f(x)=lnx-3x+6 (B) f(x)=x? -5x-5 (D) f(x)=ex+3x-6

5:f(x)=x3+x-1在下列哪个区间上有 零点(B ) A.(-2,-1) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)

2 6.方程 ln x ? 必有一个根的区间是 ( x 1 A.(1,2) B.(2,3) C.( ,1) D.(3,??) e

)

课堂小结:
1.函数零点的定义; 2.三个等价关系;
方程f(x)=0的实数根 函数y=f(x)的零点 函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标

3.函数零点存在性定理;
4.函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续,f(a)·f(b)<0, 且在区间[a,b]上单调则函数y=f(x)有零点且唯一。

   1、不等式mx ? nx ? 3 ? 0的解为
2

{x/ ? 1 ? x ? 2}, 求m, n的值. 2    2、 关于x的方程x ? ax ? a ? 1 ? 0有异 号两实根, 则a的取值取值范围是? x 3.k为何值时 , 关于 x的方程 | 3 ? 1 |? k 无解?有一解?有两解 ?


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