2015届高考数学总复习 第二章 第十三节导数在研究函数中的应用(一)课时精练 理


第十三节 导数在研究函数中的应用(一) ) 1.函数 y=x+xln x 的单调递减区间是( -2 -2 A.(-∞,e ) B.(0,e ) -2 2 C.(e ,+∞) D.(e ,+∞) 答案:B 2. (2013·广州二模)已知函数 y=f(x)的图象如下图所示, 则其导函数 y=f′(x)的图 象可能是( ) 解析:由函数 f(x)的图象看出,在 y 轴左侧,函数有两个极值点,且先增后减再增, 在 y 轴右侧函数无极值点, 且是减函数, 根据函数的导函数的符号和原函数单调性间的关系 可知,导函数在 y 轴左侧应有两个零点,且导函数值是先正后负再正,在 y 轴右侧无零点, 且导函数值恒负,由此可以断定导函数的图象是 A 的形状.故选 A. 答案:A 3.若函数 y=a(x -x)的递减区间为?- 3 ? ? 3 3? , ?,则 a 的取值范围是( 3 3? ) A.(0,+∞) C.(1,+∞) 2 B.(-1,0) D.(0,1) 解析:∵y′=a(3x -1)=3a?x+ ∴当- ? ? 3? ? 3? ??x- ?, 3 ?? 3? 3 3 3?? 3? ? <x< 时,?x+ ??x- ?<0. 3 3 3 ?? 3? ? ∴要使 y′<0,必须取 a>0.故选 A. 答案:A 4. (2013·福建教学检查)对于在 R 上可导的任意函数 f(x), 若满足(x-1)f′ (x)≥0, 则必有( ) A.f(0)+f(2)<2f(1) B.f(0)+f(2)≤2f(1) C.f(0)+f(2)≥2f(1) D.f(0)+f(2)>2f(1) 第 1 页 共 4 页 解析:依题意,当 x> 1 时, f′(x)≥0,所以 f(x) 在 (1,+∞)上单调递增,所以 f(2)≥f(1); 当 x<1 时,f′(x)≤0,所以 f(x)在(-∞,1)上单调递减,故 f(0)≥f(1),故 f(0) +f(2)≥2f(1).故选 C. 答案:C 5.设直线 x=t 与函数 f(x)=x ,g(x)=ln x 的图象分别交于点 M,N,则当|MN|达到 最小值时,t 的值为( ) 1 5 2 A.1 B. C. D. 2 2 2 解析:由题意知,|MN|=x -ln x(x>0),不妨令 h(x)=x -ln x(x>0),则 h′(x)= 1 2 2? ? ? 2 ? 2x- , 令 h′(x)=0 解得 x= , 因为当 x∈?0, ?时, h′(x)<0, 当 x∈? ,+∞?时, x 2 2? ? ?2 ? 2 2 2 h′(x)>0,所以当 x= 答案:D 2 2 时,|MN|达到最小,即 t= .故选 D. 2 2 6.函数 y= 在区间(1,+∞)上( ln x A.是减函数 B.是增函数 C.有极小值 D.有极大值 答案:C x ) 7.(2013·湖北卷)已知 a 为常数,函数 f (x)=x(ln x-ax)有两个极值点 x1,x2(x1 <x2),则( ) 1 A.f(x1)>0,f(x2)>- 2 1 B.f(x1)<0,f(x2)<- 2 1 C.f(x1)>0,f(x2)<- 2 1 D.f(x1)<0,f(x2)>- 2 解析:令 f′(x)=1-2ax+ln x=0 得 0<2a<1,ln xi= 2axi- 1(i=1,2). 1 ?1? 又 f′? ?>0,∴0<x1<1< <x2. 2 a 2a ? ? 2 2 2 ∴f(x1)=x1ln x1-ax1=x1(

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