数列求和解题方法总结


高考数列求和解题方法大全
数列求和问题是数列的基本内容之一,也是高考的热点和重点。 由于数列求和问题题型多样, 技巧性也较强, 以致成为数列的一个难 点。鉴于此,下面就数列求和问题的常见题型及解法技巧作一归纳, 以提高同学们数列求和的能力。 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式: Sn ?
n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

(q ? 1) ? na1 ? n 2、等比数列求和公式: S n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? a n q ? (q ? 1) ? 1? q ? 1? q

3、

n 1 S n ? ? k ? n(n ? 1) 2 k ?1

4 、

n 1 S n ? ? k 2 ? n(n ? 1)( 2n ? 1) 6 k ?1 n 1 S n ? ? k 3 ? [ n(n ? 1)]2 2 k ?1

5、

例 1. 已知 log 3 x ?

?1 ,求 x ? x 2 ? x3 ? ? ? ? ? x n ? ? ? ? 的前 n 项和. log 2 3

二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法, 这种 方法主要用于求数列{an· bn}的前 n 项和,其中{ an }、{ bn }分别是

等差数列和等比数列.
例2.

求和: S n ? 1 ? 3x ? 5 x 2 ? 7 x 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n?1

例 3.已知 a ? 0, a ? 1 ,数列 ?a n ?是首项为 a,公比也为 a 的等比数列, 令
bn ? a n ? lg a n (n ? N ) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n 。

三、反序相加法求和 这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法, 就是将一个数 列倒过来排列 (反序) , 再把它与原数列相加, 就可以得到 n 个 (a1 ? an ) .
1 例 4.函数 f ( x) 对任意 x ? R ,都有 f ( x) ? f (1 ? x) ? 。 (1)求 f ( ) 和 2

1 2

1 n ?1 f( )? f( ) 的 值 ; ( 2 ) 数 列 ?a n ? 满 足 : n n 1 2 n ?1 数列 ?a n ?是等差数列吗?请给 an ? f (0) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( ) ? f (1) , n n n

与证明。 (3)bn ?
S n 的大小。

4 4a n ? 1

,S n ? 32 ?

16 ,Tn ? b1 2 ? b2 2 ? ? ? bn 2 试比较 Tn 与 n

四、分组法求和 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列 适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再 将其合并即可. 例 5.求数列的前 n 项和: 1 ? 1, ? 4,
1 a 1 1 ? 7,? ? ?, n?1 ? 3n ? 2 ,… 2 a a

五、裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用 . 裂项法的实质 是将数列中的每项 (通项) 分解, 然后重新组合, 使之能消去一些项, 最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)如: (1) an ? f (n ? 1) ? f (n) (3) a n ?
1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

(2)

sin1? ? tan(n ? 1)? ? tan n ? ? ? cos n cos(n ? 1) ( 2n) 2 1 1 1 ? 1? ( ? ) (2n ? 1)( 2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

( 4) a n ?

(5) an ? (6) an ?

1 1 1 1 ? [ ? ] n(n ? 1)( n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)( n ? 2)

n?2 1 2(n ? 1) ? n 1 1 1 1 ? n ? ? n ? ? , 则S n ? 1 ? n ?1 n n(n ? 1) 2 n(n ? 1) 2 n?2 (n ? 1)2 (n ? 1)2 n

例 7.

求数列

1 1? 2

,

1 2? 3

,? ? ?,

1 n ? n ?1

,? ? ? 的前 n 项和.

例 8. 在数列{an}中, an ? 列{bn}的前 n 项的和.

2 1 2 n ,又 bn ? ,求数 ? ? ??? ? a n ? a n?1 n ?1 n ?1 n ?1


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