14.3《空间直线和平面的位置关系》教案(1)(沪教版高三上)教师版


中小学 1 对 1 课外辅导专家

空 间 直 线 和 平 面的 位 置 关 系
引例:简述下列问题的结论,并画图说明: (1)直线 a ? 平面? ,直线 b ? a ? A ,则 b 和 ? 的位置关系如何?
?

(2)直线 a ? 平面? ,直线 b // a ,则 b 和 ? 的位置关系如何?
?

解: (1) b ? 平面? , 或b ? ? ? A ; (2) b ?平面? , 或b // ? .
? ?

[说明] (1)引导学生掌握空间直线与平面的各种位置关系,学会各种位置关系的画法与表 示方法.注意立体几何中,文字、符号语言与图形直观的互相转化. (2)小结空间直线和平面的位置关系

直线在平面上---有无数个公共点 ? ? 平行---没有公共点 ? ? 直线和平面 ?直线不在平面上--- ? ?相交---有且只有一个公共点 ? ?(直线在平面外) ?
[说明]同时用图形语言、符号语言、几何语言表述这些位置关系. 今天我们来探索空间直线和平面相交中的一种特殊位置关系 ——直线和平面垂直 二、学习新课 问题 1:在日常生活中你见到最多的直线与平面垂直的情形是什么?请举例说明. [说明]引导学生举出生活中常见的直线与平面垂直的例子,如旗杆与地面的位置关系, 大桥的桥柱与水面的位置关系, 教室内直立的墙角线和地面的 位置关系等.

问题 2: 结合对下列问题的思考,讨论能否用一条直线垂直于一个

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中小学 1 对 1 课外辅导专家 平面内的直线,来定义这条直线和这个平面垂直呢? (1)如图 1,阳光下直立于地面的旗杆 AB 与它在地面上的影子 BC 的位置关系是什么?随着太阳的移动, 旗杆 AB 与影子 BC 所成的角度会 发生改变吗? (2)旗杆 AB 与地面上任意一条不过旗杆底部 B 的直线 B′C′的 B 位置关系又是什么?依据是什么?由此得到什么结论? (3)如图 2,当旗杆 AB 倾斜时,还能保证 AB 与地面上的任一直 线都垂直吗? 图1 A C B’ C’ A

B 图2

定义:一般地,如果一条直线 l 与平面 α 上的任何直线都垂直,那么我们就说直线 l 与平面 α 垂直 (line

l perpendicular to plane α ) 记作: l⊥α . ,
l

直线 l 叫做平面 α 的垂线 (perpendicular line) 平面 α 叫做直线 ,

l 的垂面.l 与面 α 的交点叫做垂足.
画法:画直线与平面垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四 边形的一边垂直,如图 3. 辨析 1:下列命题是否正确?为什么? (1)如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,那么这条直线与这个平面垂直. (2)如果一条直线垂直一个平面,那么这条直线就垂直于这个平面内的任一直线. [说明]通过问题辨析,加深概念的理解.由(1)使学生明确定义中的“任意一条直线” 是“所有直线”的意思.而(2)给出了直线与直线垂直的一种判定方法. 引导学生给出命题(2)的符号表示: α 图3 P

a ??? ? ?a?b b ?? ? ? ? ?

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中小学 1 对 1 课外辅导专家 问题 3:通常定义可以作为判定的依据,那么用上述定义判定直线与平面垂直是否方便?为什 么?如何改进? [说明]感受用定义作判断不方便,引发学生探索判定定理的需要,体会有限与无限的辨 证关系. 引导学生思考用定义作判断不方便的原因,再讨论平面内的直线减少到多少条才合适, 先排除一条和两条平行的情形,对两条相交情形,可引导学生观察直立地面的棋杆与其在地 面的影子,还可进行如下实验. 实验:如图 4,请同学们拿出准备好的一块(任意)三角形的 纸片,我们一起来做一个试验:过△ABC 的顶点 A 翻折纸片, 得到折痕 AD,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上, BD、DC 与 ( 桌面接触). 问题 4: 如何翻折才能使折痕 AD 与桌面所在的平面垂直?由此 你能得到什么结论? [说明]通过折纸让学生发现当且仅当折痕娥 AD 是 BC 边上的高,即 AD⊥BC 时翻折后的折 痕 AD 与桌面垂直. 引导学生发现折痕 AD 与桌面垂直的本质特征: AD 是 BC 边上的高时,无论怎样翻折,翻 折之后垂直关系不变,即 AD⊥CD,AD⊥BD,同时 CD、BD 是两相交直线不变,这就是说,当 B D 图4 C A

AD 垂直于桌面内的两条相交直线 CD、BD 时,它就垂直于桌面所在的平面.
定理 2:如果直线 l 与平面 ? 上的两条相交直线 a 、 b 都垂直,那么直线 l 与平面 ? 垂直.

a ?? , b ?? , a ? b ? O? ? ? ? 用符号语言表示为: ??l ?? l ? a, l ? b ? ?
辨析 2: (1)下列命题是否正确?为什么? 如果一条直线与一个平行四边形的两条边垂直,那么这条直线垂直于平行四边形所在的 平面. (2)如图 5,若 α 内两条相交直线 m、n 与 l 无公共点且 l⊥m、l⊥n,直线 l 还垂直平 面 α 吗?

l

m

?
[说明] 通过辨析,让学生明白要判断一条直线与一个平面是否

o 垂

n
图5 -3-/8

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中小学 1 对 1 课外辅导专家 直,取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直,至于这两条相交直线是否和 已知直线有公共点是无关紧要的.所谓:“线不在多,相交则灵”. 三、巩固练习 例 1:如图,观察跨栏、跳高架,你认为跨栏的支架、跳高架的立竿能竖直立于地面的原因是 什么?

[说明]

用学习到的知识解释实际生活中的问题, 增强学生

运用数学的意识,深化对直线与平面垂直定理的理解. 例 2:如图 6,已知 a∥b,a⊥α ,求证:b⊥α . [说明]初步感受如何运用直线与平面垂直的定理与定义解决问题,明确 运用线面垂直定理时的具体步骤,防止缺少条件,特别是“相交”的条件. 让学生用文字语言叙述:如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面, 那么另一条直线也垂直于这个平面.命题体现了平行关系与垂直关系的联系, 其结果给出了直线和平面垂直的又一个判定方法.

a

b
\ b

α
图6

例 3: (1)如图 7,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是 AA1、CC1 的 中点,判断下列结论是否正确: ①AC⊥面 CDD1C1 ③AC⊥面 BDD1B1 ⑤ AC⊥BD1 A (2)将(1)中正方体改成长方体呢,以上结论是否正确? 图7 B ②A A 1⊥面 A1B1C1D1 ④ EF⊥面 BDD1B1 A1 E D C D1 B1 C1 F

[说明]利用所学知识解决直线与平面垂直的有关问题,体会转化思想在解决问题中的作用. 其中①是定义的应用,②是定理的应用,④是思考题 2 结论的应用,③⑤是定理与定义的综 合应用. 四、应用 应用之一是利用直线与平面垂直的定义、定理进行一些简单的推理,体会几何推理证明的思 精锐教育网站:www.1smart.org 直线和平面位置关系——垂直 作者: 李忠华 -4-/8

中小学 1 对 1 课外辅导专家 考方法,基本规则和严谨性. 我们继续研究图 7 例 4:如图 7, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是 AA1、CC1 的中点, AC ? BD ? O ,连 接 A1D, A1B, DF , BF ,求证: BD ? A1F [说明]要证线线垂直,可找线面垂直,反之亦然.即: 直线与直线垂直 直线与平面垂直

这是立体几何证明垂直时常用的转化方法.除此之外,也要注意有时是从数量关系通过计算找 线线垂直,如勾股定理等,有时会利用平面几何的性质,如等腰三角形底边上的三线合一等 等. 应用之二是利用直线与平面垂直的定义、定理解决一些度量问题,如角、距离等,我们现在 来探究距离的度量问题. 问题 5:你能举例说明距离在日常生活中的重要性吗? [说明] 引导学生举出生活中常见的需要测量距离的例子,如为了有合适的照明,需要确定吊 灯与桌面的距离;为了保证安全,高压线离地面需要相当的距离;为了购买家具,需要知道 天花板与地面的距离等等,体验探究距离的必要性, 距离定义: (1)点 M 和平面 ? 的距离:过点 M 作平面 ? 的垂线,垂足为 N ,我们把点 M 到垂足

N 之间的距离叫做点 M 和平面 ? 的距离.
(2)直线 l 和平面 ? 的距离:设直线 l 平行于平面 ? .在直线 l 上任取一点 M ,我们把 点 M 到平面 ? 的距离叫做直线 l 和平面 ? 的距离. (3)设平面 ? 平行平面 ? ,在平面 ? 上任取一点 M ,我们把点 M 到平面 ? 的距离叫 做平面 ? 和平面 ? 的距离. (4)异面直线 a 和 b 的距离:设直线 a 和 b 是异面直线,当点 M 、 N 分别在 a 和 b 上, 且直线 MN 既垂直于直线 a ,又垂直于直线 b 时,我们把直线 MN 叫做异面直线 a 和 b 公垂 线,,垂足 M 、 N 之间的距离叫做异面直线 a 和 b 的距离. [说明]立体几何中,求距离的关键是化归,即空间距离向平面距离的化归,体现了“降维” 的思想. 我们继续研究图 7 精锐教育网站:www.1smart.org 直线和平面位置关系——垂直 作者: 李忠华 -5-/8

中小学 1 对 1 课外辅导专家 例 5:如图 7, 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, AA , AB 和 AD 的长分别为 3cm, 4cm 和 5cm . 1 (1)求点 A 和点 C1 的距离; (2)求点 A 到棱 B1C1 的距离; (3)求棱 AB 和平面 A BC1D1 的距离; 1 1 (4)求异面直线 AD 和 A B1 的距离. 1 [说明]求距离的基本步骤是作、证、算,此外还要特别注意融 合在运算中的推理过程,推理是运算的基础,运算只是推理过程的延续.因此求距离的关键是 直线与平面位置关系的论证. 四、课堂小结 A1 E D A 图7 B C

D1 B1

C1 F

(1)通过本节课的学习,你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法? (2)上述判断直线与平面垂直的方法体现了什么数学思想? (3)你会利用直线与平面垂直的定义和定理找到点、线、面的距离并计算吗? 五、作业布置 1、点 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点,O 是对角线 AC 与 BD 的交点,且 PA=PC,PB=PD. 求证:PO⊥平面 ABCD.

2、探究题:如图,直四棱柱 A′B′C′D′-ABCD(侧棱与底面垂直的 棱柱称为直棱柱)中,底面四边形满足什么条件时, A′C⊥B′D′? 3、课本 P14 练习 4.AB 是⊙O 的直径,C 为圆上一点,AB=2,AC=1, P 为⊙O 所在平面外一点,且 PA⊥⊙O, PB 与平面所成角为 45 (1)证明:BC⊥平面 PAC ; (2)求点 A 到平面 PBC 的距离. B B’

A’ D’ A C’ D 题3 C

[说明]通过训练,巩固本课所学知识,检测运用所学知识解决问题的能力.其中第 1 题主 要运用直线与平面垂直的判定定理,第 2、是活用直线与平面垂直的定义与判定定理.第 3、4 题是利用直线与平面垂直的定义与判定定理找到点、线、面的距离并计算. 六、教学设计说明 精锐教育网站:www.1smart.org 直线和平面位置关系——垂直 作者: 李忠华 -6-/8

中小学 1 对 1 课外辅导专家 空间直线与平面垂直是直线和平面相交中的一种特殊情况,它是空间中直线与直线垂直 位置关系的拓展,又是平面与平面垂直的基础,是空间中垂直位置关系间转化的重心,同时 它又是点、直线、平面和平面之间的距离以及直线和平面所成的角等内容的基础,因而它是 空间点、直线、平面间位置关系中的核心概念之一. 在探索空间直线与平面垂直的定义及判定定理时,注意从具体实例出发,通过观察、思 考与讨论,让学生感悟“一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直”是这条直线与平面 垂直的本质内涵.引导学生思考用定义作判断不方便的原因,再讨论平面内的直线减少到多少 条才合适,先排除一条和两条平行的情形,对两条相交情形,通过折纸活动进行讨论,再通 过辨析,让学生明白要判断一条直线与一个平面是否垂直,取决于在这个平面内能否找到两条 相交直线和已知直线垂直,至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点是无关紧要的.所 谓:“线不在多,相交则灵”.在这个过程中,用问题驱动课堂教学,引导学生自主探索、归 纳、总结出相关概念,充分发挥学生主体作用, 在应用定义和定理证明空间直线与平面垂直的过程中,注意引导学生把在直线和平面关 系转化为直线和直线的关系,渗透转化思想的应用.这种转化思想同样要渗透在求直线和平 面、平面和平面之间的距离中,它们都可转化成求点和平面的距离. 空间直线与平面垂直的问题是立体几何中一个基本的问题,在后面的多面体学习中会 继续涉及,因此,教学中要注意把握好“度”.所选例题和习题都不宜太难.同时,应注重思 维过程的严谨性,无论是判断、证明,都要紧扣定义和定理.

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