北京市海淀区2015届高三上学期期末练习数学(理)试题 扫描版含答案


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海淀区高三年级第一学期期末练习

数学(理)答案及评分参考
一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)C (5)B (2)D (6)A (3)B (7)C

2015.1

(4)C (8)B

二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。有两空的小题,第一空 2 分,第二空 3 分) (9) 15 (12) (10) 2 3 (13) (11) 3 (14) A1 , B1 , D

2π 3

1 ;4 3

三、解答题(共 6 小题,共 80 分) (15) (共 13 分) 解: (Ⅰ ) ? 的值是

π . 6 5 x0 的值是 . 3

………………2 分 ………………5 分

(Ⅱ )由题意可得: f ( x ? ) ? cos( π(x ? ) ?

1 3

1 3

π π ) ? cos( πx ? ) ? ? sin πx . 6 2
………………7 分

所以 f ( x) ? f ( x ? ) ? cos( πx ?

π ) ? sin πx 6 π π ? cos πx cos ? sin πx sin ? sin πx 6 6 1 3

………………8 分

?

3 1 cos πx ? sin πx ? sin πx 2 2 3 3 π cos πx ? sin πx ? 3 cos( πx ? ) . 2 2 3
………………10 分

?
因为 x ? [?

1 1 , ], 2 3 π π 2π 所以 ? ? πx ? ? . 6 3 3 π 1 所以 当 πx ? ? 0 ,即 x ? ? 时, g ( x) 取得最大值 3 ; 3 3
当 πx ?

π 2π 1 3 ? ,即 x ? 时, g ( x) 取得最小值 ? . 3 3 3 2

………………13 分

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(16) (共 13 分) 解: (Ⅰ)抽取的 5 人中男同学的人数为

5 5 ? 30 ? 3 ,女同学的人数为 ? 20 ? 2 . 50 50
………………4 分

(Ⅱ)由题意可得: P( X ? 3) ? 因为 a ? b ? 所以 b ?

2 3 A2 A3 1 ? . 5 A5 10

………………6 分

3 2 ? ? 1, 10 5
………………8 分

1 . 5

所以 EX ? 3 ?
2 2 (Ⅲ) s1 . ? s2

1 1 3 2 ? 2 ? ? 1? ? 0 ? ? 1 . 10 5 10 5

………………10 分

………………13 分

(17) (共 14 分) 证明: (Ⅰ)连接 BC1 . 在正方形 ABB1 A 1 中, AB ^ BB 1. 因为 平面 AA 1B 1B ? 平面 BB 1C1C ,平面 AA 1B 1B 平面
C C1

BB1C1C ? BB1 , AB ? 平面 ABB1 A1 ,
所以 AB ^ 平面 BB1C1C . ………………1 分 因为 B1C ? 平面 BB1C1C ,

B A A1

B1

所以 AB ^ B1C .

………………2 分

在菱形 BB1C1C 中, BC1 ^ B1C . 因为 BC1 ? 平面 ABC1 , AB ? 平面 ABC1 , BC1 所以 B1C ^ 平面 ABC1 . 因为 AC1 ? 平面 ABC1 ,

AB = B ,
………………4 分

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所以 B1C ? AC1 . (Ⅱ) EF ∥平面 ABC ,理由如下: 取 BC 的中点 G ,连接 GE, GA . 因为 E 是 B1C 的中点, 所以 GE ∥ BB1 ,且 GE = 因为 F 是 AA1 的中点, 所以 AF =

………………5 分 ………………6 分

C

C1 G

1 BB1 . 2

E

1 AA1 . 2

B A F A1

B1

在正方形 ABB1 A 1 中, AA 1 ∥ BB1 , AA 1 = BB 1. 所以 GE ∥ AF ,且 GE = AF . 所以 四边形 GEFA 为平行四边形. 所以 EF ∥ GA . 因为 EF ? 平面 ABC , GA ? 平面 ABC , 所以 EF ∥平面 ABC . (Ⅲ)在平面 BB1C1C 内过点 B 作 Bz ^ BB1 .

………………8 分

………………9 分

由(Ⅰ)可知: AB ^ 平面 BB1C1C . 以点 B 为坐标原点,分别以 BA, BB1 所在的直线为 x , y 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 B ? xyz ,设 A(2, 0, 0) ,则 B1 (0, 2,0) . 在菱形 BB1C1C 中, ?BB1C1 =60 ,所以 C(0, ?1, 3) , C1 (0,1, 3) . 设平面 ACC1 的一个法向量为 n ? ( x, y,1) .
z C C1 E

? ?( x, y,1) ? (?2, ?1, 3) ? 0, ?n ? AC ? 0, ? 因为 ? 即? ? ?( x, y,1) ? (0, 2, 0) ? 0, ?n ? CC1 ? 0 ?

? 3 , ?x ? 所以 ? 2 即 ? y ? 0, ?
n?( 3 , 0,1) . 2
………………11 分
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B A x F A1

B1

y

由(Ⅰ)可知: CB1 是平面 ABC1 的一个法向量.

………………12 分

所以 cos ? n, CB1 ??

n ? CB1 n ? CB1

?

(

3 , 0,1) ? (0,3, ? 3) 7 2 ?? . 7 3 ?1 ? 9 ? 3 4

所以 二面角 B ? AC1 ? C 的余弦值为

7 . 7

………………14 分

(18) (共 13 分) 解: (Ⅰ)由

x2 y 2 ? ? 1 得: a ? 2, b ? 3 . 4 3
………………2 分

所以 椭圆 M 的短轴长为 2 3 . 因为 c ? a2 ? b2 ? 1 , 所以 e ?

1 c 1 ? ,即 M 的离心率为 . 2 a 2

………………4 分

(Ⅱ)由题意知: C (?2,0), F1 (?1,0) ,设 B( x0 , y0 )(?2 ? x0 ? 2) ,则

2 x0 y2 ? 0 ? 1. 4 3

………………7 分 因为 BF 1 ? BC ? (?1 ? x0 , ? y0 ) ? (?2 ? x0 , ? y0 )
2 2 ? 2 ? 3x0 ? x0 ? y0

………………9 分

? π 2

1 2 x0 ? 3 x0 ? 5 ? 0 , 4

………………11 分

所以 ?B ? (0, ) . 所以 点 B 不在以 AC 为直径的圆上,即:不存在直线 l ,使得点 B 在以 AC 为直径的圆上. ………………13 分

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另解:由题意可设直线 l 的方程为 x ? my ? 1 , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) .

? x2 y 2 ? 1, ? ? 2 2 由? 4 可得: (3m ? 4) y ? 6my ? 9 ? 0 . 3 ? x ? my ? 1 ?
所以 y1 ? y2 ?

6m ?9 , y1 y2 ? . 2 3m ? 4 3m 2 ? 4

………………7 分

所以 CA ? CB ? ( x1 ? 2, y1 ) ? ( x2 ? 2, y2 )

? (m2 ?1) y1 y2 ? m( y1 ? y2 ) ?1
? (m2 ? 1) ?9 6m ? m? 2 ?1 2 3m ? 4 3m ? 4
………………9 分

?
因为 cos C ?

?5 ?0. 3m 2 ? 4

CA ? CB CA ? CB

? (?1, 0) ,

所以 ?C ? ( , π ) .

π 2

………………11 分

所以 ?B ? (0, ) . 所以 点 B 不在以 AC 为直径的圆上,即:不存在直线 l ,使得点 B 在以 AC 为直径的圆上. ………………13 分

π 2

(19) (共 13 分) 解: (Ⅰ)函数 f ( x ) 是偶函数,证明如下: 对于 ?x ? [? ………………1 分 ………………2 分

π π π π , ] ,则 ? x ? [? , ] . 2 2 2 2

因为 f (? x) ? a cos(? x) ? x sin(? x) ? a cos x ? x sin x ? f ( x) , 所以 f ( x ) 是偶函数. ………………4 分

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(Ⅱ)当 a ? 0 时,因为 f ( x) ? a cos x ? x sin x ? 0 , x ? [ ? 所以 集合 A ? {x | f ( x) ? 0} 中元素的个数为 0. 当 a ? 0 时,令 f ( x) ? x sin x ? 0 ,由 x ? [ ? 得 x ? 0. 所以 集合 A ? {x | f ( x) ? 0} 中元素的个数为 1.

π π , ] 恒成立, 2 2
………………5 分

π π , ], 2 2

………………6 分

当 a ? 0 时,因为 f '( x) ? ?a sin x ? sin x ? x cos x ? (1 ? a) sin x ? x cos x ? 0, x ? (0, ) ,

π 2

π 2 π π 因为 f (0) ? a ? 0, f ( ) ? ? 0 , 2 2 π 所以 f ( x) 在 (0, ) 上只有一个零点. 2
所以 函数 f ( x) 是 [0, ] 上的增函数. 由 f ( x) 是偶函数可知,集合 A ? {x | f ( x) ? 0} 中元素的个数为 2.

………………8 分

………………10 分

综 上 所 述 , 当 a ? 0 时 , 集 合 A ? {x | f ( x) ? 0} 中 元 素 的 个 数 为 0 ; 当 a ? 0 时 , 集 合

A ? {x | f ( x) ? 0} 中元素的个数为 1;当 a ? 0 时,集合 A ? {x | f ( x) ? 0} 中元素的个数为
2. (Ⅲ)函数 f ( x ) 有 3 个极值点. (20) (共 14 分) 解: (Ⅰ)因为 (a1 , a2 ),(a3 , a2 ),(a2 , a4 ) ?T , 所以 dT (a2 , a1 ) ? 0 , dT (a2 , a3 ) ? 0 , dT (a2 , a4 ) ? 1 ,故 lT (a2 ) ? 1. ………………1 分 因为 (a2 , a4 ) ?T ,所以 dT (a4 , a2 ) ? 0 . 所以 lT (a4 ) ? dT (a4 , a1 ) ? dT (a4 , a2 ) ? dT (a4 , a3 ) ? 1 ? 0 ?1 ? 2 . 所以 当 (a2 , a4 ),(a4 , a1 ),(a4 , a3 ) ?T 时, lT (a4 ) 取得最大值 2 . (Ⅱ)由 dT (a, b) 的定义可知: dT (a, b) ? dT (b, a) ? 1. 所以 ………………3 分 ………………13 分

?l
i ?1

n

T

(ai ) ? [dT (a1 , a2 ) ? dT (a2 , a1 )] ? [dT (a1 , a3 ) ? dT (a3 , a1 )]

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? ??? ? [dT (a1 , an ) ? dT (an , a1 )] ? ??? ? [dT (an?1 , an ) ? dT (an , an ?1 )]
1 n(n ? 1) . 2

2 ? Cn ?

………………6 分

设删去的两个数为 lT (ak ), lT (am ) ,则 lT (ak ) ? lT ( am ) ?

1 n(n ? 1) ? M . 2

由题意可知: lT (ak ) ? n ?1, lT (am ) ? n ?1 ,且当其中一个不等式中等号成立,不放设

lT (ak ) ? n ?1 时, dT (ak , am ) ? 1 , dT (am , ak ) ? 0 .
所以 lT (am ) ? n ? 2 . 所以 lT (ak ) ? lT (am ) ? n ?1 ? n ? 2 ? 2n ? 3 . 所以 lT (ak ) ? lT ( am ) ? ………………7 分

1 1 n(n ? 1) ? M ? 2n ? 3 ,即 M ? n(n ? 5) ? 3 . 2 2
………………8 分

(Ⅲ)对于满足 lT (ai ) ? n ? 1( i ? 1, 2,3,

, n )的每一个集合 T ,集合 S 中都存在三个

不同的元素 e, f , g ,使得 dT (e, f ) ? dT ( f , g ) ? dT ( g, e) ? 3 恒成立,理由如下: 任取集合 T ,由 lT (ai ) ? n ? 1( i ? 1, 2,3,

, n )可知, lT (a1 ), lT (a2 ), ???, lT (an ) 中

存在最大数,不妨记为 lT ( f ) (若最大数不唯一,任取一个). 因为 lT ( f ) ? n ? 1 , 所以 存在 e ? S ,使得 dT ( f , e) ? 0 ,即 (e, f ) ? T . 由 lT ( f ) ? 1 可设集合 G ? {x ? S | ( f , x) ?T } ? ? . 则 G 中一定存在元素 g 使得 dT ( g, e) ? 1 . 否则, lT (e) ? lT ( f ) ? 1 ,与 lT ( f ) 是最大 数矛盾. 所以 dT ( f , g ) ? 1, dT ( g, e) ? 1 ,即 dT (e, f ) ? dT ( f , g ) ? dT ( g, e) ? 3 . ………………14 分

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