浙江省杭州市西湖高级中学2015-2016学年高一数学10月月考试题


杭西高 2015 年 10 月高一数学月考
解答题: (本题共 4 小题) 17.已知 A={x|x -ax+a -19=0},B={ x|x -5x+6=0},C={x|x +2x-8=0},且
2 2 2 2

? (A∩B),A∩C= ? ,求 a 的值.

18.设 A 是实数集,满足若 a∈A,则

1 ∈A, a≠1 且 1 ? A. 1-a

(1)若 2∈A,则 A 中至少还有几个元素?求出这几个元素. (2)A 能否为单元素集合?请说明理由. (3)若 a∈A,证明:1-

1 ∈A. a

-1-

19.已知函数 f ( x) ?

x2 ? 2 x ? 1 ?

x ?1 x ?1

(1)求函数的定义域; (2)化简解析式并用分段函数表示; (3)作出函数图象,并说明函数单调性和值域

20.求函数 f(x)=2x -2ax+3 在区间[-1,1]上的最小值.

2

-2-

-3-

21.已知定义域为 R 的函数 f(x)= ax2 ? bx ? c ? b ? 0? 是奇函数. (1)求 a,c 的值; (2)若对任意的 t∈R,不等式 f(t -2t)+f(2t -k)<0 恒成立,求 k 的取值范围.
2 2

-4-

参考答案 三、解答题 17.参考答案:∵B={x|x -5x+6=0}={2,3},
2

C={x|x2+2x-8=0}={-4,2},
∴由 A∩C= ? 知,-4 ∈A ,2 ∈ A; 由 ? (A∩B)知,3∈A. ∴3 -3a+a -19=0,解得 a=5 或 a=-2. 当 a=5 时,A={x|x -5x+6=0}=B,与 A∩C= ? 矛盾.
2 2 2

当 a=-2 时,经检验,符合题意. 18.参考答案:(1)∵ 2∈A, ∴ ∴ ∴

1 1 = =-1∈A; 1-a 1-2 1 1 1 = = ∈A; 1 + 1 2 1-a
1 1 = =2∈A. 1-a 1- 1 2

因此,A 中至少还有两个元素:-1 和 (2)如果 A 为单元素集合,则 a= 数范围内,A 不可能是单元素集. (3)证明: a∈A?

1 . 2

1 2 ,整理得 a -a+1=0,该方程无实数解,故在实 1-a

1-a 1 1 1 ∈A? ∈A? ∈A,即 1- ∈A. 1 a 1-a 1-a+1 1- 1-a
2

a? a2 ? 19.参考答案: f(x)=2 ? x- ? +3- . 2? 2 ?

(1)当

a <-1,即 a<-2 时,f(x)的最小值为 f(-1)=5+2a; 2 a ≤1,即-2≤a≤2 时,f(x)的最小值为 2

(2)当-1≤

a2 ?a? f ? ? =3- ; 2 ?2?

(3)当

a >1,即 a>2 时,f(x)的最小值为 f(1)=5-2a. 2

-5-

?5+2a, a<-2, ? ? a2 ? 综上可知,f(x)的最小值为 ?3- , -2 ≤ a ≤ 2, 2 ? ?5-2a, a>2. ? ?

20.参考答案:(1)∵函数 f(x)为 R 上的奇函数, ∴ f(0)=0,即

-1+b =0,解得 b=1,a≠-2, 2+a


从而有 f(x)=

-2 x+1 2 x+1+a

1 - +1 -2+1 又由 f(1)=-f(-1)知 =- 2 ,解得 a=2. 1+ a 4+a

(2)先讨论函数 f(x)=

-2 x+1 2
x+1

+2

=-

1 1 + x 的增减性. 任取 x1, x2∈R, 且 x1<x2, f(x2) 2 2 +1


-f(x1)=

1 2 x2 + 1



1 2 x1 + 1



2 x1 -2 x2 (2 x2 +1)(2 x1 +1)

∵指数函数 2 为增函数,∴ 2 x1 -2 x2 <0,∴ f(x2)<f(x1),
x

∴函数 f(x)=
2

-2 x+1 2 x+1+2
2

是定义域 R 上的减函数.
2 2

由 f(t -2t)+f(2t -k)<0 得 f(t -2t)<-f(2t -k), ∴ f(t -2t)<f(-2t +k),∴ t -2t>-2t +k ( ? ).
2 2 2 2

由( ? )式得 k<3t -2t.
2

1? 1 2 1 1 1 ? 2 又 3t -2t=3(t- ) - ≥- ,∴只需 k<- ,即得 k 的取值范围是 ?-∞,- ? . 3? 3 3 3 3 ?

-6-


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