上海市静安区2015-2016学年高三年级第一学期期末教学质量检测理科数学试卷


上海市静安区 2015-2016 学年高三年级第一学期期末教学 质量检测理科数学试卷
(试卷满分 150 分 考试时间 120 分钟) 2016.1
考生注意: 本试卷共有 23 道题,答题前,请在答题纸上将学校、班级、姓名、检测编号等填涂清楚. 一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空 格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.已知抛物线 y ? ax 的准线方程是 y ? ?
2

2.在等差数列 ?an ? ( n ? N ? 3. 设 x ? cos ? ,且 ? ? [?

1 ,则 a ? . 4 )中 ,已知公差 d ? 2 , a2007 ? 2007 ,则 a2016 ?

.

, ] ,则 arcsin x 的取值范围是 . 4 4 4. 已知球的半径为 24cm,一个圆锥的高等于这个球的直径,而且球的表面积等于圆锥的表面积,则这个圆锥的 体积是 cm3.
5.方程 l o g ( x ?1) ( x 3 ? 9 x ? 8) ? l o g ( x ?1) ( x ? 1) ? 3 的解为 6.直线 x ? y ? 2 ? 0 关于直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 对称的直线方程是 7.已知复数 z 满足 z ? z ? 2 ? 8i ,其中为虚数单位,则 z ? 8. ( x ? y ? z ) 的展开式中项 x yz 的系数等于
8 3 4

? 3?

. . . .(用数值作答)

9.在产品检验时,常采用抽样检查的方法.现在从 100 件产品(已知其中有 3 件不合格品)中任意抽出 4 件检查, 恰好有 2 件是不合格品的抽法有 种. (用数值作答) 10.经过直线 2 x ? y ? 3 ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 的两个交点,且面积最小的圆的方程是 11.在平面直角坐标系 xOy 中,坐标原点 O (0, 0) 、点 P (1, 2) ,将向量 量 ,则点 Q 的横坐标是 . 绕点 O 按逆时针方向旋转 .

5? 后得向 6

12. 在△ABC 中,∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,若△ABC 的面积 S ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ,则

sin A ?

. (用数值作答)

13. 已知各项皆为正数的等比数列 ?an ?( n ? N ? ) , 满足 a7 ? a6 ? 2a5 , 若存在两项 am 、an 使得 am an ? 4a1 , 则

1 4 ? 的最小值为 m n

.

14. 在平面直角坐标系 xOy 中,将直线沿 x 轴正方向平移 3 个单位, 沿 y 轴正方向平移 5 个单位,得到直线 l1 .

再将直线 l1 沿 x 轴正方向平移 1 个单位, 沿 y 轴负方向平移 2 个单位,又与直线重合 .若直线与直线 l1 关于点

(2,3) 对称,则直线的方程是

.

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上, 填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.组合数 Cn (n ? r ? 1, n, r ? N ) 恒等于(
r

)

A.

r ? 1 r ?1 Cn ?1 n ?1
x 2 ?1

B.

n ? 1 r ?1 Cn ?1 r ?1

C.

r r ?1 Cn ?1 n
)

D.

n r ?1 Cn ?1 r

16.函数 y ? 3

(?1 ? x ? 0) 的反函数是 (
1 3

A. y ? ? 1 ? log 3 x ( x ? ) C. y ? 1 ? log 3 x ( ? x ? 1) 17.已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ? ? A. ?2 B.0 C.2

B. y ? ? 1 ? log 3 x ( ? x ? 1) D. y ? 1 ? log 3 x ( x ? )

1 3

1 3

1 3

? ??n,

n?4

2 ? ? n ? 4 n ? n, n ? 4

(n ? N *) ,则 lim an ? (
n ???

)

D.不存在

18.下列四个命题中,真命题是 ( ) A.和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线; B.和两条异面直线都垂直的直线是异面直线的公垂线; C.和两条异面直线都相交于不同点的两条直线是异面直线; D.若 a、b 是异面直线, b、c 是异面直线,则 a、c 是异面直线. 三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的 步骤. 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E 为 AB 的中点. 求: (1)异面直线 BD1 与 CE 所成角的余弦值; (2)点 A 到平面 A1 EC 的距离.

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 10 分,第 2 小题满分 4 分.

李克强总理在很多重大场合都提出“大众创业,万众创新”. 某创客,白手起家,2015 年一月初向银行贷款十万 元做创业资金,每月获得的利润是该月初投入资金的 20%.每月月底需要交纳房租和所得税共为该月全部金额(包括 本金和利润)的 10%,每月的生活费等开支为 3000 元,余款全部投入创业再经营.如此每月循环继续. (1)问到 2015 年年底(按照 12 个月计算),该创客有余款多少元?(结果保留至整数元) (2)如果银行贷款的年利率为 5%,问该创客一年(12 个月)能否还清银行贷款?

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 设 P1 和 P2 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 上的两点,线段 P1P2 的中点为 M,直线 P1P2 不经过坐标原点 O. a 2 b2 b2 (1)若直线 P1P2 和直线 OM 的斜率都存在且分别为 k1 和 k2,求证:k1k2= 2 ; a

(2)若双曲线的焦点分别为 F1 (? 3, 0) 、 F2 ( 3, 0) ,点 P1 的坐标为(2,1) ,直线 OM 的斜率为 点 P1、 F1、P2、F2 所围成四边形 P1 F1P2F2 的面积.

3 ,求由四 2

22. (本题满分 16 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 10 分. y 在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 在 y 轴正半轴上,点 Pn 在 x 轴上,其横坐标为 xn ,且 {xn } 是首项为 1、公 A 比为 2 的等比数列,记 ?Pn APn ?1 ? ? n , n ? N ? . (1)若 ?3 ? arctan

1 ,求点 A 的坐标; 3

0

P1 P2 P3

P4 …… x

(2)若点 A 的坐标为 (0, 8 2) ,求 ? n 的最大值及相应 n 的值. 23. (本小题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 已知定义在实数集 R 上的偶函数 f ? x ? 和奇函数 g ? x ? 满足 f ? x ? ? g ? x ? ? 2 (1)求 f ? x ? 与 g ? x ? 的解析式; (2)若定义在实数集 R 上的以 2 为最小正周期的周期函数 ? ( x) ,当 ?1 ? x ? 1 时,? ( x) ? f ( x) ,试求 ? ( x) 在 闭区间 [2015, 2016] 上的表达式,并证明 ? ( x) 在闭区间 [2015, 2016] 上单调递减; (3)设 h( x) ? x ? 2mx ? m ? m ? 1 (其中 m 为常数) ,若 h( g ( x)) ? m ? m ? 1 对于 x ? [1, 2] 恒成立,求 m 的取值范围.
2 2 2

x ?1

.

静安区 2015 学年高三年级第一学期期末教学质量检测 理科数学试卷参考答案及评分标准
说明 1.本解答列出试题一种或几种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评 2016.01

分. 2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅.当考生的解答在 某一步出现错误,影响了后续部分,但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时,可视影响程度决定后面 部分的给分,但是原则上不应超出后面部分应给分数之半,如果有较严重的概念性错误,就不给分. 3.第 19 题至第 23 题中右端所注的分数,表示考生正确做到这一步应得的该题分数. 4.给分或扣分均以 1 分为单位. 一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空 格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. a ? 1 4. 12288? 7. z ? 17 5. x ? 3 2.2025 3. [?

? ? , ]. 4 2

6. x ? 7 y ? 22 ? 0 8. 280 9. 13968

10. 5 x 2 ? 5 y 2 ? 6 x ? 18 y ? 1 ? 0 13. (

11. ?

3 ?1 2

12.

8 17

1 4 m?n 1 4m n 3 ? ) ? (5 ? ? )? m n 6 6 n m 2

14. l : 6 x ? 8 y ? 1 ? 0 .

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上, 填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.D 16.B 17.A 18.C 三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的 步骤 . 19. 如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E 为 AB 的中点。 (1)求异面直线 BD1 与 CE 所成角的余弦值; (2)求点 A 到平面 A1 EC 的距离。

解(1)延长 DC 至 G,使 CG=

1 DC,连结 BG、 D1G 2

? CG / /EB,∴ 四边形 EBGC 是平行四边形.
∴ BG∥EC. ∴

?D1 BG就是异面直线BD1与CE所成的角.
3,

在 ?D1 BG中D1 B ?

BG ?

5 3 2 13 ,D1G ? 12 ? ( ) ? 2 2 2 3? 5 13 ? 4 4 ? 15 15 15 2?

D B 2 ? BG 2 ? D1G 2 ? cos ?D1 BG ? 1 ? 2 D1 B ? BG

即异面直线 BD1与 CE 所成角的余弦值是 (2)过

15 . 15
底面 ABCD 如图所示.

A1作 A1 H ? CE交 CE 的延长线于 H.连结 AH.

?

由于∠ AHE=∠ B=90° ,∠ AEH=∠ CEB,则△AHE∽ △CBE 1 ? 1

AH AE 5 1 CB ? AE ? ? CE ? , AE ? ,? AH ? ? CB CE 2 2 CE 1 5 6 5

2? 1 5 5 2
1 1 AA1 ? S ?ACE ? d ? S ?A1CE , 即 3 3

在点 Rt ?A A1A A EC ? 1, AH ?离 为 ?d A1, H则 ? 由三 . 棱锥体积公式可得: 设 A1 AH 到中, 平面 的距 1

1 1 1 1 1 1 6 6 ? 1 ? ? ?1 ? d ? ? ?1 ? 。所以 d ? , 3 2 2 3 2 4 6 5
即点 A 到平面 A1 EC 的距离为

6 。 6

20. 李克强总理在很多重大场合都提出“大众创业,万众创新”. 某创客,白手起家,2015 年一月初向银行贷款十万 元做创业资金,每月获得的利润是该月初投入资金的 20%.每月月底需要交纳房租和所得税共为该月全部金额(包括 本金和利润)的 10%,每月的生活费等开支为 3000 元,余款全部投入创业再经营.如此每月循环继续. (1)问到 2015 年年底(按照 12 个月计算),该创客有余款多少元?(结果保留至整数元) (2)如果银行贷款的年利率为 5%,问该创客一年(12 个月)能否还清银行贷款? 解法 1: (1)设 n 个月的余款为 a n ,则

a1 ? 100000 ?1.2 ? 0.9 ? 3000 ? 105000 ,
a2 ? 100000 ?1.22 ? 0.92 ? 3000 ?1.2 ? 0.9 ? 3000 ? 110400 ,
。 。 。 。 。 。

a12 ? 100000 ?1.212 ? 0.912 ? 3000 ?1.211 ? 0.911 ? ? ? 3000 ,
= 100000 ? 1.2 ? 0.9 ? 3000 ?
12 12

[1 ? (1.2 ? 0.9)12 ] ? 194890 (元) , 1 ? 1.2 ? 0.9

法 2: a1 ? 100000 ? 1.2 ? 0.9 ? 3000 ? 105000 , 一般的, an ? an ?1 ?1.2 ? 0.9 ? 3000 , 构造 a n ? c ? 1.2 ? 0.9(a n ?1 ? c) , c ? ?37500

an ? 37500 ? (105000 ? 37500)(1.2 ? 0.9) n ?1 an ? 37500 ? 67500 ?1.08n ?1 ,

a12 ? 194890 。
(2)194890-100000?1.05=89890(元) , 能还清银行贷款。 21.设 P1 和 P2 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 上的两点,线段 P1P2 的中点为 M,直线 P1P2 不经过坐标原点 O. a 2 b2 b2 (1)若直线 P1P2 和直线 OM 的斜率都存在且分别为 k1 和 k2,求证:k1k2= 2 ; a

(2)若双曲线的焦点分别为 F1 (? 3, 0) 、 F2 ( 3, 0) ,点 P1 的坐标为(2,1) ,直线 OM 的斜率为 点 P1、 F1、P2、F2 所围成四边形 P1 F1P2F2 的面积. (1) 解 法 1 : 设 不 经 过 点 O 的 直 线 P1P2 方 程 为 y ? k1 x ? l , 代 入 双 曲 线

3 ,求由四 2

x2 y 2 ? ?1 方 程 得 : a 2 b2

(b 2 ? a 2 k12 ) x 2 ? 2a 2 k1lx ? a 2b 2 ? a 2l 2 ? 0 .

2a 2 k1l x1 ? x2 y1 ? y2 设 P1 坐标为 ( x1 , y1 ) , P2 坐标为 ( x2 , y2 ) , 中点坐标为 M (x,y),则 x ? ,x1 ? x2 ? 2 , ,y? b ? a 2 k12 2 2 k2 ? y1 ? y2 b 2 ? a 2 k12 b2 2 2 2 2 2 2 ,所以, , k k = 。 ? k1 ? a k k ? a k ? b ? a k 1 2 1 2 1 1 x1 ? x2 a 2 k1 a2

? x12 y12 ? ? 1 (1) x1 ? x2 y1 ? y2 ? ? a 2 b2 另解:设 P1(x1,y1)、P2(x2,y2),中点 M (x,y),则 x ? 且? 2 ,y? 2 2 2 ? x2 ? y2 ? 1 (2) ? ? a 2 b2
(1)-(2)得:

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? ?0。 a2 b2

因为,直线 P1P2 和直线 OM 的斜率都存在,所以(x1+x2)(x1-x2)?0, 等式两边同除以(x1+x2)(x1-x2),得:

1 y1 ? y2 y1 ? y2 1 ? ? ? ?0 a 2 x1 ? x2 x1 ? x2 b 2



k1k2=

b2 。…………6 分 a2

? 22 1 x2 ? ? ? 1, (2)由已知得 ? a 2 b 2 ,求得双曲线方程为 ? y2 ? 1, 2 ?a 2 ? b 2 ? 3 ?

直线 P1 P2 斜率为

b2 3 1 ? ? , a2 2 3
1 ( x ? 2) , 3

直线 P1 P2 方程为 y ? 1 ?

10 1 2 3 , ? ) (中点 M 坐标为 ( , ) . 7 7 7 7 1 8 8 3 面积 F1 F2 ? y1 ? y2 ? 3 ? ? . 2 7 7 3 另解: 线段 P1 P2 中点 M 在直线 y ? x 上.所以由中点 M((x,y),可得点 P2 的坐标为 P2 (2 x ? 2,3 x ? 1) ,代入双 2 2 3 10 1 (2 x ? 2) 2 曲线方程可得 , 所 以 P2 (? , ? ) 。 面 积 ? (3 x ? 1) 2 ? 1 , 即 7 x 2 ? 2 x ? 0 , 解 得 x ? ( y ? ) 2 7 7 7 7 1 8 8 3 F1 F2 ? y1 ? y2 ? 3 ? ? . 2 7 7
代入双曲线方程可解得 P2 (? y 22. 在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 在 y 轴正半轴上,点 Pn 在 x 轴上,其横坐标为 xn ,且 {xn } 是首项为 1、公比 A 为 2 的等比数列,记 ?Pn APn ?1 ? ? n , n ? N ? . (1)若 ?3 ? arctan

1 ,求点 A 的坐标; 3

0

P1 P2 P3

P4 …… x

(2)若点 A 的坐标为 (0, 8 2) ,求 ? n 的最大值及相应 n 的值. 解: (1)设 A(0, t ) ,根据题意, xn ? 2n ?1 . 由 ?3 ? arctan

1 1 ,知 tan ?3 ? , 3 3

x4 x3 ? t t ? t ( x4 ? x3 ) ? 4t , 而 tan ?3 ? tan(?OAP4 ? ?OAP ) ? 3 2 2 x x 1 ? 4 ? 3 t ? x4 ? x3 t ? 32 t t 4t 1 所以 2 ? ,解得 t ? 4 或 t ? 8 .故点 A 的坐标为 (0, 4) 或 (0, 8) . t ? 32 3
(2)由题意,点 Pn 的坐标为 (2
n ?1

, 0) , tan ?OAPn ?

2n ?1 . 8 2

2n 2n ?1 ? 2n ?1 1 . tan ? n ? tan(?OAPn ?1 ? ?OAPn ) ? 8 2 n 8 n2 ? ? ?1 2 n ?1 2 2 2 16 2 2n 1? ? 8 2? ? 8 2 8 2 8 2 2n 8 2

因为

16 2 2n 1 2 , ? ? 2 2 ,所以 tan ? n ? ? n 2 4 8 2 2 2 16 2 2n ,即 n ? 4 时等号成立. ? 2n 8 2

当且仅当

易知 0 ? ? n ?

?

, y ? tan x 在 (0, ) 上为增函数, 2 2
2 . 4
x ?1

?

因此,当 n ? 4 时, ? n 最大,其最大值为 arctan

23.已知定义在实数集 R 上的偶函数 f ? x ? 和奇函数 g ? x ? 满足 f ? x ? ? g ? x ? ? 2 (1)求 f ? x ? 与 g ? x ? 的解析式;

.

(2)若定义在实数集 R 上的以 2 为最小正周期的周期函数 ? ( x) ,当 ?1 ? x ? 1 时, ? ( x) ? f ( x) ,试求 ? ( x) 在 闭区间 [2015, 2016] 上的表达式,并证明 ? ( x) 在闭区间 [2015, 2016] 上单调递减; (3)设 h( x) ? x ? 2mx ? m ? m ? 1 (其中 m 为常数) ,若 h( g ( x)) ? m ? m ? 1 对于 x ? [1, 2] 恒成立,求 m 的取值范围.
2 2 2

解: (1)假设 f ( x) ? g ( x) ? 2

x ?1

①,因为 f ? x ? 是偶函数, g ? x ? 是奇函数
? x ?1 ? x ?1

所以有 f (? x) ? g (? x) ? 2 ,即 f ( x) ? g ( x) ? 2 ∵ f ( x) , g ( x) 定义在实数集 R 上, 由①和②解得,



2 x ?1 ? 2? x ?1 1 2 x ?1 ? 2? x ?1 1 x f ( x) ? ? 2 ? x , g ( x) ? ? 2x ? x . 2 2 2 2 (2) ? ( x) 是 R 上 以 2 为 正 周 期 的 周 期 函 数 , 所 以 当 x ? [2015, 2016] 时 , 1 x ? 2016 ? [?1, 0] , ? ( x) ? ? ( x ? 2016) ? f ( x ? 2016) ? 2 x ? 2016 ? x ? 2016 , 即 ? ( x) 在闭区间 [2015, 2016] 上的 2 1 表达式为 ? ( x) ? 2 x ? 2016 ? x ? 2016 . 2 下面证明 ? ( x) 在闭区间 [2015, 2016] 上递减: 1 ? ( x) ? 2 x ? 2016 ? x ? 2016 ? 2 , 当 且 仅 当 2 x ? 2016 ? 1 , 即 x ? 2016 时 等 号 成 立 . 对 于 任 意 2 1 1 1 2015 ? x1 ? x2 ? 2016 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 x1 ? 2016 ? x1 ? 2016 ? 2 x2 ? 2016 ? x2 ? 2016 ? (2 x1 ? x2 ? 1)(2 x2 ? 2016 ? x1 ? 2016 ) , 2 2 2 x1 ? x2 x1 ? x2 x2 ? 2016 x1 ? 2016 0 因 为 2015 ? x1 ? x2 ? 2016 , 所 以 2 ? 1, 2 ? 1? 0 , 2 ? 2 ?1 , 2 ? 20 ? 1 , 1 ? 1 , 2 x2 ? 2016 ? 22016? x1 ? 0 , x1 ? 2016 2 从而 ? ( x1 ) ? ? ( x2 ) ? 0 ,所以当 2015 ? x1 ? x2 ? 2016 时, ? ( x) 递减. 1 (证明 f ( x) ? 2 x ? x 在 [?1, 0] 上递减,再根据周期性或者复合函数单调性得到也可) 2 3 15 (3)∵ t ? g ( x) 在 x ? [1, 2] 单调递增,∴ ? t ? . 2 4

∴ h(t ) ? t 2 ? 2mt ? m 2 ? m ? 1 ? m 2 ? m ? 1 对于 t ? ? , ∴m ? ?

? 3 15 ? 恒成立, ?2 4 ? ?

t2 ? 2 ? 3 15 ? 对于 t ? ? , ? 恒成立, 2t ?2 4 ?

t2 ? 2 t2 ? 2 t 1 3 令 k (t ) ? ? ,则 ? ? ? 2 ,当且仅当 t ? 2 时,等号成立,且 2 ? 所以在区间 2t 2t 2 t 2 2 t ?2 ? 3 15 ? 单调递减, t ? ? , ? 上 k (t ) ? ? 2t ?2 4 ? 3 17 17 ∴ k (t ) max ? k ( ) ? ? ,∴ m ? ? 为 m 的取值范围. 2 12 12


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