【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版)选修1-2练习:1章 统计案例 综合素质检测]


第一章综合素质检测
时间 120 分钟,满分 150 分。 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.(2014· 湖南益阳市箴言中学模拟)四名同学根据各自的样本数据研究变量 x,y 之间的 相关关系,并求得回归直线方程,分别得到以下四个结论: ^ ①y 与 x 负相关且y=2.347x-6.423; ^ ② y 与 x 负相关且y=-3.476x+5.648; ^ ③y 与 x 正相关且y=5.437x+8.493; ^ ④y 与 x 正相关且y=-4.326x-4.578. 其中一定不正确的结论的序号是( A.①② C.③④ [答案] D ^ ^ ^ ^ [解析] y 与 x 正(或负)相关时,线性回归直线方程 y=bx+a中,x 的系数b>0(或b<0), 故①④错. 2.如下图所示,4 个散点图中,不适合用线性回归模型拟合其中两个变量的是( ) ) B.②③ D.①④

[答案] A [解析] 题图 A 中的点不成线性排列,故两个变量不适合线性回归模型.故选 A. 3.在建立两个变量 y 与 x 的回归模型中,分别选择了 4 个不同模型,它们的相关指数 R2 如下,其中拟合得最好的模型为( A.模型 1 的相关指数 R2 为 0.75 B.模型 2 的相关指数 R2 为 0.90 C.模型 3 的相关指数 R2 为 0.25 D.模型 4 的相关指数 R2 为 0.55 )

[答案] B [解析] 相关指数 R2 的值越大, 意味着残差平方和越小, 也就是说模型的拟合效果越好, 故选 B. 4.预报变量的值与下列的哪些因素有关( A.受解释变量的影响,与随机误差无关 B.受随机误差的影响,与解释变量无关 C.与总偏差平方和有关,与残差无关 D.与解释变量和随机误差的总效应有关 [答案] D [解析] 预报变量既受解释变量的影响,又受随机误差的影响. 5.(2014· 安徽示范高中联考)给出下列五个命题: ①将 A、B、C 三种个体按 则样本容量为 30; ②一组数据 1,2,3,3,4,5 的平均数、众数、中位数都相同; ③甲组数据的方差为 5,乙组数据为 5,6,9,10,5,那么这两组数据中比较稳定的是甲; ④已知具有相关关系的两个变量满足的回归直线方程为 y=1-2x,则 x 每增加 1 个单 位,y 平均减少 2 个单位; ⑤统计的 10 个样本数据为 125,120,122,105,130,114,116,95,120,134,则样本数据落在 [114.5,124.5)内的频率为 0.4. 其中真命题为( A.①②④ C.②③④ [答案] B 3 1 [解析] ①样本容量为 9÷ =18,①是假命题;②数据 1,2,3,3,4,5 的平均数为 (1+2+3 6 6 5+6+9+10+5 - +3+4+5)=3,中位数为 3,众数为 3,都相同,②是真命题;③ x 乙= =7, 5 1 1 2 2 2 2 2 2 2 s2 乙= [(5-7) +(6-7) +(9-7) +(10-7) +(5-7) ]= ×(4+1+4+9+4)=4.4,∵s甲>s乙, 5 5 ∴乙稳定,③是假命题;④是真命题;⑤数据落在[114.5,124.5)内的有:120,122,116,120 共 4 4 个,故所求概率为 =0.4,⑤是真命题. 10 6.已知 x 与 y 之间的一组数据: x y 0 1 1 3 2 5 3 7 ) B.②④⑤ D.③④⑤ 的比例分层抽样调查,如果抽取的 A 个体为 9 个, )

^ ^ 则 y 与 x 的线性回归方程 y=bx+a必过(

) B.(1.5,0)点 D.(1.5,4)点

A.(2,2)点 C.(1,2)点 [答案] D

[解析] 计算得 x =1.5, y =4,由于回归直线一定过( x , y )点,所以必过(1.5,4)点. 7.利用独立性检验来考虑两个分类变量 X 和 Y 是否有关系时,通过查阅下表来确定断 言“X 和 Y 有关系”的可信度,如果 k>5.024,那么就有把握认为“X 和 Y 有关系”的百分 比为( ) p(K2>k) k p(K2>k) k A.25% C.2.5% [答案] D [解析] 查表可得 K2>5.024.因此有 97.5%的把握认为“x 和 y 有关系”. 8.下列说法正确的有( ) 0.50 0.455 0.05 3.84 0.40 0.708 0.025 5.024 0.25 1.323 0.010 6.635 B.75% D.97.5% 0.15 2.072 0.005 7.879 0.10 2.706 0.001 10.83

①最小二乘法指的是把各个离差加起来作为总离差,并使之达到最小值的方法; ②最小二乘法是指把各离差的平方和作为总离差,并使之达到最小值的方法; ③线性回归就是由样本点去寻找一条直线,贴近这些样本点的数学方法; ④因为由任何一组观测值都可以求得一个回归直线方程,所以没有必要进行相关性检 验. A.1 个 C.3 个 [答案] B [解析] 最小二乘法是指把各离差的平方和作为总离差,并使之达到最小值的方法,(2) 是正确的;线性回归就是由样本点去寻找一条直线,贴近这些样本点的数学方法,这是线性 回归的本质,(3)也是正确的. 9.某考察团对全国 10 大城市进行职工人均工资水平 x(千元)与居民人均消费水平 y(千 ^ 元)统计调查,y 与 x 具有相关关系,回归方程为y=0.66x+1.562,若某城市居民人均消费水 平为 7.675(千元),估计该城市人均消费额占人均收入的百分比约为( A.83% C.67% [答案] A B.72% D.66% ) B.2 个 D.4 个

7.675-1.562 7.675 ^ [解析] 当y=7.675 时,x= ≈9.262,所以 ≈0.829,故选 A. 0.66 9.262 10. 下面是调查某地区男女中学生是否喜欢理科的等高条形图, 阴影部分表示喜欢理科 的百分比,从下图可以看出( )

A.性别与是否喜欢理科无关 B.女生中喜欢理科的比为 80% C.男生比女生喜欢理科的可能性大些 D.男生中喜欢理科的比为 60% [答案] C [解析] 从图中可以看出,男生喜欢理科的比例为 60%,而女生比例为仅为 20%,这两 个比例差别较大, 说明性别与是否喜欢理科是有关系的, 男生比女生喜欢理科的可能性更大 一些. 11. (2014· 云南景洪市一中期末)通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运 动,得到如下的列联表: 男 爱好 不爱好 总计 n?ad-bc?2 由 K2= ,得 ?a+b??c+d??a+c??b+d? 110×?40×30-20×20?2 K= ≈7.8. 60×50×60×50
2

女 20 30 50

合计 60 50 110

40 20 60

附表: P(K2≥k) k 参照附表,得到的正确的结论是( 0.050 3.841 ) 0.010 6.635 0.001 10.828

A.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关” B.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关” C.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” D.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

[答案] C 12.以下关于线性回归的判断,正确的个数是( )

①若散点图中所有点都在一条直线附近,则这条直线为回归直线; ②散点图中的绝大多数都线性相关,个别特殊点不影响线性回归,如图中的 A,B,C 点; ^ ③已知直线方程为y=0.50x-0.81,则 x=25 时,y 的估计值为 11.69; ④回归直线方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势.

A.0 C.2 [答案] D

B.1 D.3

[解析] 能使所有数据点都在它附近的直线不止一条,而据回归直线的定义知,只有按 ^ ^ ^ ^ 最小二乘法求得回归系数a,b得到的直线y=bx+a才是回归直线, ∴①不对;②正确; ^ ^ 将 x=25 代入y=0.50x-0.81,得y=11.69, ∴③正确;④正确,故选 D. 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,将正确答案填在题中横线上) 13. 某镇居民 2009~2013 年家庭年平均收入 x(单位: 万元)与年平均支出 Y(单位: 万元) 的统计资料如下表所示: 年份 收入 x 支出 Y 2009 11.5 6.8 2010 12.1 8.8 2011 13 9.8 2012 13.3 10 2013 15 12

根据统计资料, 居民家庭平均收入的中位数是________, 家庭年平均收入与年平均支出 有________线性相关关系.(填“正”或“负”) [答案] 13 正 [解析] 找中位数时,将样本数据按大小顺序排列后奇数个时中间一个是中位数,而偶 数个时须取中间两数的平均数,由统计资料可以看出,年平均收入增多时,年平均支出也增 多,因此两者正相关. 14.有人发现,多看电视容易使人变冷漠,下表是一个调查机构对此现象的调查结果: 冷漠 不冷漠 总计

多看电视 少看电视 总计

68 20 88

42 38 80

110 58 168

则在犯错误的概率不超过________的前提下认为多看电视与人变冷漠有关系. [答案] 0.001 [解析] 可计算 K2 的观测值 k=11.377>10.828. 15.在 2013 年春节期间,某市物价部门,对本市五个商场销售的某商品一天的销售量 及其价格进行调查,五个商场的售价 x 元和销售量 y 件之间的一组数据如下表所示: 价格 x 销售量 y 9 11 9.5 10 10 8 10.5 6 11 5

通过分析,发现销售量 y 对商品的价格 x 具有线性相关关系,则销售量 y 对商品的价格 x 的回归直线方程为________. ^ [答案] y=-3.2x+40 [解析] - - - ^ ?xiyi=392, x =10, y =8,? (xi- x )2=2.5,代入公式,得b=-3.2,所以,
i=1 5 5

i=1

^ - ^- ^ a= y -b x =40,故回归直线方程为y=-3.2x+40. 16.某小卖部为了了解热茶销售量 y(杯)与气温 x(℃)之间的关系,随机统计了某 4 天卖 出的热茶的杯数与当天气温,并制作了对照表: 气温(℃) 杯数 18 24 13 34 10 38 -1 64

^ 由表中数据算得线性回归方程y=bx+a 中的 b≈-2,预测当气温为-5℃时,热茶销售 -- ?xiyi-n x y
n

i=1

量为________杯.(已知回归系数 b=

i=1

?xi2-n x 2

n

- - ,a= y -b x ) -

[答案] 70 [解析] +64)=40. - - ^ ^ ∴a= y -b x =40-(-2)×10=60,∴y=-2x+60,当 x=-5 时,y=-2×(-5)+ 60=70. 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 12 分)考察黄烟经过培养液处理与是否跟发生青花病的关系.调查了 457 - 1 - 1 根据表格中的数据可求得 x = ×(18+13+10-1)=10, y = ×(24+34+38 4 4

株黄烟,得到下表中数据,请根据数据作统计分析. 培养液处理 青花病 无青花病 合计 n?ac-bd?2 附:K2= ?a+b??c+d??a+c??b+d? p(K2≥k) k [解析] 根据公式 457×?25×142-80×210?2 K2= ≈41.61, 235×222×105×352 由于 41.61>10.828, 说明有 99.9%的把握认为黄烟经过培养液处理与是否跟发生青花病是有关系的. 18.(本题满分 12 分)某工业部门进行一项研究,分析该部门的产量与生产费用之间的 关系,从该部门内随机抽选了 10 个企业为样本,有如下资料: 产量 x(千件) 40 42 48 55 65 79 88 100 120 140 (1)计算 x 与 y 的相关系数; (2)对这两个变量之间是否线性相关进行检验; ^ ^ ^ (3)设回归方程为y=bx+a,求回归系数. [解析] (1)根据数据可得:
2 x =77.7, y =165.7,∑ = x2 i =70 903,∑ = yi =277 119, i 1 i 1 10 10 10

未处理 210 142 352

合计 235 222 457

25 80 105

0.05 3.841

0.01 6.635

0.005 7.879

0.001 10.83

生产费用(千元) 150 140 160 170 150 162 185 165 190 185

∑ = xiyi=132 938,所以 r=0.808,
i 1

即 x 与 y 之间的相关系数 r≈0.808;

(2)因为 r>0.75,所以可认为 x 与 y 之间具有线性相关关系; ^ ^ (3)b=0.398,a=134.8. 19.(本题满分 12 分)(2014· 安徽文,17)某高校共有 15000 人,其中男生 10500 人,女 生 4500 人, 为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况, 采用分层抽样的方法, 收集 300 位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位:小时). (1)应收集多少位女生的样本数据? (2)根据这 300 个样本数据,得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所 示),其中样本数据的分组区间为:[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12].估计该校学 生每周平均体育运动时间超过 4 个小时的概率.

(3)在样本数据中,有 60 位女生的每周平均体育运动时间超过 4 个小时.请完成每周平 均体育运动时间与性别列联表,并判断是否有 95%的把握认为“该校学生的每周平均体育 运动时间与性别有关”. n?ad-bc?2 附:K = ?a+b??c+d??a+c??b+d?
2

P(K2≥k0) k0

0.10 2.706

0.05 3.841

0.010 6.635

0.005 7.879

4500 [解析] (1)300× =90,所以应收集 90 位女生的样本数据. 15000 (2)由频率分布直方图得 1-2×(0.100+0.025)=0.75,所以该校学生每周平均体育运动 时间超过 4 小时的概率的估计值为 0.75. (3)由(2)知,300 位学生中有 300×0.75=225 人的每周平均体育运动时间超过 4 小时, 75 人的每周平均体育运动时间不超过 4 小时,又因为样本数据中有 210 份是关于男生的, 90 份是关于女生的,所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下: 每周平均体育运动时间与性别列联表 男生 每周平均体育运动时间不超过 4 小时 每周平均体育运动时间超过 4 小时 总计 45 165 210 女生 30 60 90 总计 75 225 300

300×?45×60-165×30?2 100 综合列联表可算得 K2= = ≈4.762>3.841. 21 75×225×210×90 所以,有 95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关.” 20.(本题满分 12 分)在一段时间内,某种商品的价格 x 元和需求量 y 件之间的一组数 据为 价格 x 需求量 y 14 12 16 10 18 7 20 5 22 3

求出 y 对 x 的回归直线方程,并说明拟合效果的好坏. [解析] 1 x = (14+16+18+20+22)=18, 5

1 y = ×(12+10+7+5+3)=7.4, 5
2 2 2 2 2 ∑ = x2 i =14 +16 +18 +20 +22 =1 660, i 1 2 2 2 2 2 ∑ = y2 i =12 +10 +7 +5 +3 =327, i 1 5 5 5

∑ = xiyi=14×12+16×10+18×7+20×5+22×3=620,
i 1 5

∑ = xiyi-5 x ·y 620-5×18×7.4 i 1 ^ ∴b= 5 = 1 660-5×182 2 ∑ = x2 - 5 x i
i 1



-46 =-1.15. 40

^ ∴a=7.4+1.15×18=28.1. ^ ∴回归直线方程为y=-1.15x+28.1. 列出残差表为: ^ yi-yi yi- y
i 1

0 4.6

0.3 2.6

-0.4 -0.4

-0.1 -2.4

0.2 -4.4

5 5 ^ ∴∑ = (yi-yi)2=0.3,∑ = (yi- y )2=53.2, i 1

R =1- 5 ≈0.994. ∑ = ?yi- y ?2
i 1

2

^ ∑ = ?yi-yi?2
i 1

5

∴R2=0.994,因而拟合效果较好. 21.(本题满分 12 分)(2014· 安徽程集中学期中)电视传媒公司为了解某地区观众对某体 育节目的收视情况,随机抽取了 100 名观众进行调查,其中女性有 55 名,下面是根据调查 结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图:

将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷”,已知“体育迷”中 有 10 名女性. (1)根据已知条件完成下面的 2×2 列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有 关? 非体育迷 男 女 合计 (2)将日均收看该体育节目不低于 50 分钟的观众称为“超级体育迷”,已知“超级体育 迷”中有 2 名女性,若从“超级体育迷”中任意选取 2 人,求至少有 1 名女性观众的概率. n?ad-bc?2 附:K2= ?a+b??c+d??a+c??b+d? P(K2≥k) k 0.05 3.841 0.01 6.635 体育迷 合计

[解析] (1)由频率分布直方图可知,在抽取的 100 人中,“体育迷”为 25 人,从而完 成 2×2 列联表如下: 非体育迷 男 女 合计 30 45 75 体育迷 15 10 25 合计 45 55 100

将 2×2 列联表中的数据代入公式计算,得 n?ad-bc?2 K2= ?a+b??c+d??a+c??b+d? 100×?30×10-45×15?2 100 = = ≈3.030. 33 75×25×45×55 因为 3.030<3.841,所以我们没有理由认为“体育迷”与性别有关. (2)由频率分布直方图可知,“超级体育迷”为 5 人,从而一切可能结果所组成的集合 为

Ω={(a1,a2),(a1,a3),(a2,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3, b2),(b1,b2)} 其中 ai 表示男性,i=1,2,3,bj 表示女性,j=1,2. Ω 由 10 个基本事件组成,而且这些基本事件的出现是等可能的. 用 A 表示“任选 2 人中, 至少有 1 人是女性”这一事件, 则 A={(a1, b1), (a1, b2), (a2, b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2)}, 7 事件 A 由 7 个基本事件组成,因而 P(A)= . 10

[点评] 本题考查了频率分布直方图,独立性检验,古典概型,解决这类题目的关键是 对题意准确理解. 22.(本题满分 14 分)(2014· 济南模拟) 为了解某市市民对政府出台楼市限购令的态度, 在该市随机抽取了 50 名市民进行调查,他们月收入(单位:百元)的频数分布及对楼市限购 令的赞成人数如下表: 月收入 频数 赞成人数 [15,25) 5 4 [25,35) 10 8 [35,45) 15 8 [45,55) 10 5 [55,65) 5 2 [65,75) 5 1

将月收入不低于 55 的人群称为“高收入族”,月收入低于 55 的人群称为“非高收人 族”. (1)根据已知条件完成下面的 2×2 列联表,有多大的把握认为赞不赞成楼市限购令与收 入高低有关? 已知:K2= ?a+b+c+d??ad-bc?2 , ?a+b??c+d??a+c??b+d?

当 K2<2.706 时, 没有充分的证据判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关; 当 K2>2.706 时,有 90%的把握判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关;当 K2>3.841 时,有 95%的把 握判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关;当 K2>6.635 时,有 99%的把握判定赞不赞成 楼市限购令与收入高低有关. 非高收入族 赞成 不赞成 总计 (2)现从月收入在[55,65)的人群中随机抽取两人,求所抽取的两人中至少一人赞成楼市 限购令的概率. [解析] (1) 高收入族 总计

非高收入族 赞成 不赞成 总计 25 15 40

高收入族 3 7 10

总计 28 22 50

50?25×7-15×3?2 K2= ≈3.43,故有 90%的把握认为楼市限购令与收入高低有关; 40×10×22×28 (2)设月收入在[55,65)的 5 人的编号为 a,b,c,d,e,其中 a,b 为赞成楼市限购令的 人,从 5 人中抽取两人的方法数有 ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de 共 10 种,其 7 中 ab,ac,ad,ae,bc,bd,be 为有利事件数,因此所求概率 P= . 10


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