求值域的方法大全


例析求函数值域的方法
求函数的值域常和求函数的最值问题紧密相关,是高中数学的重点和难 点,虽然没有固定的方法和模式,但常用的方法有: 1、直接法:从自变量 x 的范围出发,推出 y ? f ( x) 的取值范围。 例 1:求函数 y ? x ? 1 的值域。 解:∵ x ? 0 ,∴ x ? 1 ? 1 ,
y? 1 x 的值域。

∴函数 y ? x ? 1 的值域为 [1, ??) 。

例 2. 求函数

解:∵ x ? 0

1 ?0 ∴x
显然函数的值域是: (??,0) ? (0,??) 例 3.已知函数 y ? ? x ? 1? ? 1 , x ? ?? 1,0,1,2? ,求函数的值域。
2

解:因为 x ? ?? 1,0,1,2? ,而 f ?? 1? ? f ?3? ? 3 , f ?0? ? f ?2? ? 0 , f ?1? ? ?1 所以: y ? ?? 1,0,3?, 注意:求函数的值域时,不能忽视定义域,如果该例的定义域为 x ? R ,则函数的 值域为 ?y | y ? ?1?。

2、配方法:配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如
F ( x) ? af 2 ( x) ? bf ( x) ? c 的函数的值域问题,均可使用配方法。
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
2 例 3. 求函数 y ? x ? 2x ? 5, x ?[?1,2] 的值域。 2 解:将函数配方得: y ? ( x ? 1) ? 4

∵ x ?[?1,2]
1

由二次函数的性质可知:当 x=1 时, y min ? 4 ,当 x ? ?1时, y max ? 8 故函数的值域是:[4,8]

例 2:求函数 y ? ? x 2 ? 4 x ? 2 ( x ?[?1,1] )的值域。 解: y ? ? x 2 ? 4 x ? 2 ? ?( x ? 2)2 ? 6 , ∵ x ?[?1,1] ,∴ x ? 2 ?[?3, ?1] ,∴ 1 ? ( x ? 2)2 ? 9 ∴ ?3 ? ?( x ? 2)2 ? 6 ? 5 ,∴ ?3 ? y ? 5 ∴函数 y ? ? x 2 ? 4 x ? 2 ( x ?[?1,1] )的值域为 [?3,5] 。
例 3.求函数 y ?

? 2 x ? x 2 ? 3 的值域。
? ( x ? 1) 2 ? 4 ,于是:

2 分析与解答:因为 ? 2 x ? x ? 3 ? 0 ,即 ? 3 ? x ? 1, y ?

0 ? ?( x ? 1) 2 ? 4 ? 4 , 0 ? y ? 2 。
例 4.求函数 y ?

x 2 ? 2x ? 4 1 在区间 x ? [ ,4] 的值域。 x 4
2

? 4 2 ? x 2 ? 2x ? 4 x? ? 分析与解答:由 y ? 配方得: y ? x ? ? 2 ? ? ? ? ? 6, x x x? ?

1 4 1 ? x ? 2 时,函数 y ? x ? ? 2 是单调减函数,所以 6 ? y ? 18 ; 4 x 4 4 当 2 ? x ? 4 时,函数 y ? x ? ? 2 是单调增函数,所以 6 ? y ? 7 。 x 1 1 所以函数在区间 x ? [ ,4] 的值域是 6 ? y ? 18 。 4 4


3、反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系,通过 求反函数的定义域,得到原函数的值域。 例 3:求函数 y ?
1 ? 2x 的值域。 1 ? 2x

2

解:由 y ?

1? y 1 ? 2x 解得 2 x ? , x 1? y 1? 2
∴函数 y ?

∵ 2x ? 0 ,∴

1? y ?0, 1? y

∴ ?1 ? y ? 1

1 ? 2x 的值域为 y ? (?1,1) 。 1 ? 2x

4、分离常数法:分子、分母是一次函数得有理函数,可用分离常数法, 此类问题一般也可以利用反函数法。 1? x 例 4:求函数 y ? 的值域。 2x ? 5 1 7 7 ? (2 x ? 5) ? 1? x 1 2 ?? ? 2 , 解:∵ y ? ? 2 2x ? 5 2x ? 5 2 2x ? 5 7 1 1? x 1 ∵ 2 ? 0 ,∴ y ? ? ,∴函数 y ? 的值域为 { y | y ? ? } 。 2 2x ? 5 2 2x ? 5 5、换元法:运用代数代换,奖所给函数化成值域容易确定的另一函数, 从而求得原函数的值域,形如 y ? ax ? b ? cx ? d ( a 、 b 、 c 、 d 均为常数, 且 a ? 0 )的函数常用此法求解。
对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数,可以考虑通过换元的方 法将原函数转化为简单的熟悉的基本函数。当根式里是一次式时,用代数换元;当根式 里是二次式时,用三角换元。

例 1:求函数 y ? 2 x ? 1 ? 2 x 的值域。 解:令 t ? 1 ? 2 x ( t ? 0 ) ,则 x ?
1? t2 , 2

1 5 1 3 5 ∴ y ? ?t 2 ? t ? 1 ? ?(t ? )2 ? ∵当 t ? , 即 x ? 时,ymax ? , 无最小值。 2 4 2 8 4 5 ∴函数 y ? 2 x ? 1 ? 2 x 的值域为 (??, ] 。 4
例 2. 求函数 y ? 2
x ?5

? log 3 x ? 1(2 ? x ? 10) 的值域。 x ?1

x ?5 解:令 y1 ? 2 , y 2 ? log 3

则 y1 , y 2 在[2,10]上都是增函数
3

所以 y ? y1 ? y 2 在[2,10]上是增函数

当 x=2 时,

y min ? 2 ?3 ? log 3 2 ? 1 ?

1 8

5 当 x=10 时, y max ? 2 ? log 3 9 ? 33

?1 ? ? ,33? 故所求函数的值域为: ? 8 ?
例 3. 求函数 y ? x ? 1 ? x ? 1 的值域。

y?
解:原函数可化为:

2 x ?1 ? x ?1

令 y1 ? x ? 1, y 2 ? x ? 1 ,显然 y1 , y 2 在 [1,??] 上为无上界的增函数 所以 y ? y1 , y 2 在 [1,??] 上也为无上界的增函数

2
所以当 x=1 时, y ? y1 ? y 2 有最小值 2 ,原函数有最大值 2 显然 y ? 0 ,故原函数的值域为 (0, 2 ]
2 例 4. 求函数 y ? x ? 2 ? 1 ? ( x ? 1) 的值域。

? 2

2 解:因 1 ? ( x ? 1) ? 0 2 即 ( x ? 1) ? 1

故可令 x ? 1 ? cos ?, ? ?[0, ?]
2 ∴ y ? cos ? ? 1 ? 1 ? cos ? ? sin ? ? cos ? ? 1

? ? 2 sin(? ? ) ? 1 4


0 ? ? ? ?,0 ? ? ?

? 5 ? ? 4 4
4

2 ? ? sin(? ? ) ? 1 2 4 ? ? 0 ? 2 sin(? ? ) ? 1 ? 1 ? 2 4 ??
故所求函数的值域为 [0,1 ? 2 ]

例 5. 求函数

y?

x3 ? x x 4 ? 2x 2 ? 1 的值域。 y? 1 2x 1 ? x2 ? ? 2 1 ? x2 1 ? x2

解:原函数可变形为:

2x 1? x2 ? sin 2 ? , ? cos 2 ? 2 2 x ? tg ? 1? x 可令 ,则有 1 ? x

1 1 ? y ? ? sin 2? ? cos 2? ? ? sin 4? 2 4


??

k? ? 1 ? y max ? 4 2 8 时, k? ? 1 ? y min ? ? 2 8 时, 4



??

而此时 tan ? 有意义。

? 1 1? ?? , ? 故所求函数的值域为 ? 4 4 ? ? ? ?? x ? ?? , ? ? 12 2 ? 的值域。 例 6. 求函数 y ? (sin x ? 1)(cos x ? 1) ,
解: y ? (sin x ? 1)(cos x ? 1)

? sin x cos x ? sin x ? cos x ? 1
令 sin x ? cos x ? t ,则

sin x cos x ?

1 2 ( t ? 1) 2

1 1 y ? (t 2 ? 1) ? t ? 1 ? (t ? 1) 2 2 2
5

由 t ? sin x ? cos x ? 2 sin(x ? ? / 4)

? ? ?? x ? ?? , ? ? 12 2 ? 且
2 ?t? 2 可得: 2

∴当 t ? 2 时,

y max ?

3 2 3 2 ? 2 t? y? ? 2 时, 4 2 2 ,当

?3 ? 2 3 , ? 2? ? ? 2 2 ?4 ? ?。 故所求函数的值域为 ?
2 例 7. 求函数 y ? x ? 4 ? 5 ? x 的值域。
2 解:由 5 ? x ? 0 ,可得 | x |? 5

故可令 x ? 5 cos ?, ? ?[0, ?]

? y ? 5 cos ? ? 4 ? 5 sin ? ? 10 sin(? ? ) ? 4 4
∵0??? ?

? ? 5? ? ??? ? 4 4 4
当 ? ? ? / 4 时, y max ? 4 ? 10 当 ? ? ? 时, y min ? 4 ? 5 故所求函数的值域为: [4 ? 5 ,4 ? 10 ] 例 8.求函数 y ? ( x ? 5 x ? 12)( x ? 5 x ? 4) ? 21 的值域。
2 2

分析与解答:令 t ? x ? 5 x ? 4 ? ? x ?
2
2

? ?

5? 9 9 ? ? ,则 t ? ? 。 2? 4 4

2

y ? t ?t ? 8? ? 21 ? t 2 ? 8t ? 21 ? ?t ? 4? ? 5 ,
6

1 1? 9 ? 9 ? ? 当 t ? ? 时, y min ? ? ? ? 4 ? ? 5 ? 8 ,值域为 ? y | y ? 8 ? 16 16 ? 4 ? 4 ? ?
例 6.求函数 y ? x ? 2 1 ? x 的值域。
2 分析与解答:令 t ? 1 ? x ,则 x ? 1 ? t , t ? 0 , y ? 1 ? t ? 2t ? ??t ? 1? ? 2
2 2

2

当 t ? 0 时, t max ? 1 ? 0 ? 2 ? 0 ? 1
2

所以值域为 (??,1] 。 例 9.求函数 y ? x ? 10 x ? x ? 23 的值域。
2

分析与解答:由 y ? x ? 10 x ? x ? 23 = x ?
2

2 ? ? x ? 5? ,
2

令 x?5 ?

2 cos? ,
2 2

因为 2 ? ?x ? 5? ? 0 ? 2 ? 2 cos ? ? 0 ? ?1 ? cos? ? 1 , ? ? [0, ? ] , 则 2 ? ? x ? 5? = 2 sin ? ,
2

于是: y ?

? ? 5? ?? ? 2 sin ? ? 2 cos? ? 5 ? 2 sin?? ? ? ? 5 , ? ? ? [ , ] , 4? 4 4 4 ?

?

2 ?? ? ? sin?? ? ? ? 1,所以: 5 ? 2 ? y ? 7 。 2 4? ?

6、判别式法:把函数转化成关于 x 的二次方程 F ( x, y ) ? 0 ;通过方程有 实数根,判别式 ? ? 0 ,从而求得原函数的值域,形如 y ?
a1 x 2 ? b1 x ? c1 ( a1 、 a2 x 2 ? b2 x ? c2

a2 不同时为零)的函数的值域,常用此方法求解。 (解析式中含有分式和根式。 )
y? 1 ? x ? x2 1 ? x 2 的值域。

例 1. 求函数

解:原函数化为关于 x 的一元二次方程
7

( y ? 1) x 2 ? ( y ? 1) x ? 0
(1)当 y ? 1 时, x ? R

? ? (?1) 2 ? 4( y ? 1)( y ? 1) ? 0

1 3 ?y? 2 解得: 2
?1 3? 1? ? , ? (2)当 y=1 时, x ? 0 ,而 ? 2 2 ? ?1 3? ? , ? 故函数的值域为 ? 2 2 ?
例 2. 求函数 y ? x ? x (2 ? x ) 的值域。
2 2 解:两边平方整理得: 2x ? 2( y ? 1) x ? y ? 0 (1)

∵ x ?R
2 ∴ ? ? 4( y ? 1) ? 8y ? 0

解得: 1 ? 2 ? y ? 1 ? 2 但此时的函数的定义域由 x(2 ? x) ? 0 ,得 0 ? x ? 2
2 2 由 ? ? 0 ,仅保证关于 x 的方程: 2x ? 2( y ? 1) x ? y ? 0 在实数集 R 有实根,而不

能确保其实根在区间[0,2]上,即不能确保方程(1)有实根,由 ? ? 0 求出的范围可能

?1 3? ? , ? 比 y 的实际范围大,故不能确定此函数的值域为 ? 2 2 ? 。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 ∵0? x ?2

? y ? x ? x (2 ? x ) ? 0

8

? y min ? 0, y ? 1 ? 2 代入方程(1)
x1 ? 2 ? 2 ? 24 2 2 ? [0,2]

解得:

即当

x1 ?

2 ? 2 ? 24 2 2 时,

原函数的值域为: [0,1 ? 2 ] 注:由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集时,应综合函 数的定义域,将扩大的部分剔除。

7、函数的单调性法:确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性, 求出函数的值域。 例 1:求函数 y ? x ? 1 ? 2 x 的值域。 解: ∵当 x 增大时, 1 ? 2 x 随 x 的增大而减少,? 1 ? 2 x 随 x 的增大而增大,
1 ∴函数 y ? x ? 1 ? 2 x 在定义域 (??, ] 上是增函数。 2

∴y?

1 1 1 1 ? 1 ? 2 ? ? ,∴函数 y ? x ? 1 ? 2 x 的值域为 (??, ] 。 2 2 2 2

例 2.求函数 y ? x ?

1 在区间 x ? ?0,?? ?上的值域。 x

分析与解答:任取 x1 , x2 ? ?0,?? ? ,且 x1 ? x2 ,则

f ?x1 ? ? f ?x 2 ? ?

?x1 ? x2 ??x1 x2 ? 1?
x1 x 2

,因为 0 ? x1 ? x 2 ,所以: x1 ? x2 ? 0, x1 x 2 ? 0 ,

当 1 ? x1 ? x 2 时, x1 x2 ? 1 ? 0 ,则 f ?x1 ? ? f ?x 2 ? ; 当 0 ? x1 ? x 2 ? 1 时, x1 x2 ? 1 ? 0 ,则 f ?x1 ? ? f ?x 2 ?;而当 x ? 1时, y min ? 2 于是:函数 y ? x ?

1 在区间 x ? ?0,?? ?上的值域为 [2,??) 。 x
9

构造相关函数,利用函数的单调性求值域。

例 3:求函数 f ?x ? ? 1 ? x ? 1 ? x 的值域。 分析与解答:因为 ?

?1 ? x ? 0 ? ?1 ? x ? 1 ,而 1 ? x 与 1 ? x 在定义域内的单调 ?1 ? x ? 0

性不一致。现构造相关函数 g ?x ? ? 1 ? x ? 1 ? x ,易知 g ( x) 在定义域内单调增。

g max ? g ?1? ? 2 , g min ? g ?? 1? ? ? 2 , ? g ? x ? ? 2 , 0 ? g 2 ?x ? ? 2 ,
又f
2

?x ? ? g 2 ?x ? ? 4 ,所以: 2 ?

f

2

?x ? ? 4 ,

2 ? f ?x ? ? 2 。

8、利用有界性:利用某些函数有界性求得原函数的值域。 例 1:求函数 y ?
x2 ?1 的值域。 x2 ? 1

解:由函数的解析式可以知道,函数的定义域为 R ,对函数进行变形可得
( y ? 1) x 2 ? ?( y ? 1) ,

∵ y ? 1 ,∴ x 2 ? ?

y ?1 ( x?R, y ? 1) , y ?1
x2 ?1 的值域为 { y | ?1 ? y ? 1} x2 ? 1

∴?

y ?1 ? 0 ,∴ ?1 ? y ? 1 , y ?1
y? ex ?1 e x ? 1 的值域。 ex ? y ?1 y ?1

∴函数 y ?

例 2. 求函数

解:由原函数式可得:
x ∵e ?0

y ?1 ?0 ∴ y ?1
解得: ? 1 ? y ? 1 故所求函数的值域为 (?1,1)

10

例 3 求函数

y?

cos x sin x ? 3 的值域。

解:由原函数式可得: y sin x ? cos x ? 3y ,可化为:

y 2 ? 1 sin x ( x ? ?) ? 3y

sin x ( x ? ?) ?
即 ∵ x ?R

3y y2 ? 1

∴ sin x(x ? ?) ?[?1,1]

?1?


3y y2 ? 1
?

?1

解得:

2 2 ?y? 4 4

? 2 2? , ?? ? 4 4 ? ? ? ? 故函数的值域为

9、图像法(数型结合法) :函数图像是掌握函数的重要手段,利用数形 结合的方法,根据函数图像求得函数值域,是一种求值域的重要方法。
当函数解析式具有某种明显的几何意义(如两点间距离,直线的斜率、截距等)或 当一个函数的图象易于作出时,借助几何图形的直观性可求出其值域。

例 1:求函数 y ?| x ? 3| ? | x ? 5 | 的值域。
? ?2 x ? 2 ( x ? ?3) ? ( ?3 ? x ? 5) , 解:∵ y ?| x ? 3 | ? | x ? 5 |? ?8 ? 2 x ? 2 ( x ? 5) ?

y

8

-3

o

5

x

∴ y ?| x ? 3| ? | x ? 5 | 的图像如图所示, 由图像知:函数 y ?| x ? 3| ? | x ? 5 | 的值域为 [8, ??)
2 2 例 2. 求函数 y ? ( x ? 2) ? ( x ? 8) 的值域。

11

解:原函数可化简得: y ?| x ? 2 | ? | x ? 8 | 上式可以看成数轴上点 P(x)到定点 A(2) , B(?8) 间的距离之和。 由上图可知,当点 P 在线段 AB 上时, y ?| x ? 2 | ? | x ? 8 |?| AB |? 10 当点 P 在线段 AB 的延长线或反向延长线上时, y ?| x ? 2 | ? | x ? 8 |?| AB |? 10 故所求函数的值域为: [10,??]
2 2 例 3. 求函数 y ? x ? 6x ? 13 ? x ? 4x ? 5 的值域。

解:原函数可变形为:

y ? ( x ? 3) 2 ? (0 ? 2) 2 ? ( x ? 2) 2 ? (0 ? 1) 2
上式可看成 x 轴上的点 P(x,0) 到两定点 A(3,2), B(?2,?1) 的距离之和,
2 2 由图可知当点 P 为线段与 x 轴的交点时, y min ?| AB |? (3 ? 2) ? (2 ? 1) ? 43 ,

故所求函数的值域为 [ 43,??]

2 2 例 4. 求函数 y ? x ? 6x ? 13 ? x ? 4x ? 5 的值域。
2 2 2 2 解:将函数变形为: y ? ( x ? 3) ? (0 ? 2) ? ( x ? 2) ? (0 ? 1)

上式可看成定点 A(3,2)到点 P(x,0)的距离与定点 B(?2,1) 到点 P(x,0) 的距离 之差。 即: y ?| AP | ? | BP | 由图可知: (1)当点 P 在 x 轴上且不是直线 AB 与 x 轴的交点时,如点 P' ,则构成
12

?ABP'



































|| AP' | ? | BP' ||?| AB |? (3 ? 2) 2 ? (2 ? 1) 2 ? 26
即: ? 26 ? y ? 26 (2)当点 P 恰好为直线 AB 与 x 轴的交点时,有 || AP | ? | BP ||?| AB |? 26 综上所述,可知函数的值域为: (? 26 , 26 ]

注:由例 3,4 可知,求两距离之和时,要将函数式变形,使 A、B 两点在 x 轴的两 侧,而求两距离之差时,则要使 A,B 两点在 x 轴的同侧。 如:例 3 的 A,B 两点坐标分别为: (3,2) , (?2,?1) ,在 x 轴的同侧;例 18 的 A, B 两点坐标分别为(3,2) , (2,?1) ,在 x 轴的同侧。 例 5.求函数 y ? 1 ? x ? 1 ? x 的值域。
2 2 分析与解答: 令 u ? 1 ? x ,v ? 1 ? x , 则 u ? 0, v ? 0 ,u ? v ? 2 ,u ? v ? y ,

原问题转化为 :当直线 u ? v ? y 与圆 u ? v ? 2 在直角坐标系 uov 的第一象限有
2 2

公共点时,求直线的截距的取值范围。 由图 1 知:当 u ? v ? y 经过点 (0, 2 ) 时, y min ? 当直线与圆相切时, y max ? OD ? 所以:值域为 2 ? y ? 2

2;

2OC ?

? 2?

2

? 2。

13

V

D

2B

C E

O

A

U

2

10. 不等式法
? 3 利用基本不等式 a ? b ? 2 ab , a ? b ? c ? 3 abc (a , b, c ? R ) ,求函数的最值,此法

的题形特征是:当解析式是和式时,要求积是定值;当解析式是积式时,要求和是定值; 为此解答时,常需要对解析式进行恒等变形,具体讲要根据问题本身的特点进行拆项、 添项;平方等恒等变形。

例 1. 求函数

y ? (sin x ?

1 2 1 2 ) ? (cos x ? ) ?4 sin x cos x 的值域。

解:原函数变形为:

y ? (sin 2 x ? cos 2 x ) ? ? 1 ? ces 2 x ? sec 2 x ? 3 ? tan 2 x ? cot 2 x ? 3 3 tan 2 x cot 2 x ? 2 ?5
当且仅当 tan x ? cot x

1 1 ? 2 sin x cos 2 x

即当

x ? k? ?

? 4 时 (k ? z) ,等号成立

故原函数的值域为: [5,??)

14

例 2. 求函数 y ? 2 sin x sin 2x 的值域。 解: y ? 4 sin x sin x cos x

? 4 sin 2 x cos x

y ? 16 sin 4 x cos 2 x ? 8 sin 2 x sin 2 x (2 ? 2 sin 2 x ) ? 8[(sin 2 x ? sin 2 x ? 2 ? 2 sin 2 x ) / 3]3 ? 64 27

当且仅当 sin x ? 2 ? 2 sin x ,即当
2 2

sin 2 x ?

2 3 时,等号成立。



y2 ?

64 8 3 8 3 ? ?y? 9 9 27 可得:

? 8 3 8 3? , ?? ? 9 9 ? ? ? ? 故原函数的值域为:

? x 2 ? 30 x 例 3.求函数 y ? 的值域。 x?2
分析与解答: y ?

? x 2 ? 30 x 64 64 ? ? x ? 32 ? ? 34 ? [?x ? 2? ? ] x?2 x?2 x?2

因为分母不为 0,即 x ? ?2 ,所以:

?x ? 2? ? 当 x ? ?2 时,
取等号, y max ? 18 ;

64 ?2 x?2

?x ? 2?

64 64 ? 16 , 当且仅当 x ? 2 ? , x ? 6 时, x?2 x?2

当 x ? ?2 时, ? ?x ? 2? ? (? 当且仅当 ? ( x ? 2) ? ?

64 64 ) ? 2 ? ?x ? 2?(? ) ? 16 , x?2 x?2

64 , x ? ?6 时,取等号, y min ? 50 ; x?2
15

值域 y ? (??,18] ? [50,??) 注意:利用重要不等式时,要求 f ?x ? ? 0, 且等号要成立。 11. 一一映射法

原理:因为

y?

ax ? b (c ? 0) cx ? d 在定义域上 x 与 y 是一一对应的。故两个变量中,若知

道一个变量范围,就可以求另一个变量范围。

例 1. 求函数

y?

1 ? 3x 2x ? 1 的值域。

1 1? ? ?x | x ? ? 或x ? ? ? 2 2? 解:∵定义域为 ?



y?

1 ? 3x x ? 1 ? y 2y ? 3 2x ? 1 得
1? y 1? y 1 1 ?? x? ?? 2y ? 3 2或 2y ? 3 2

x?


3 3 y ? ? 或y ? ? 2 2 解得
3? ? 3 ? ? ? ? ?,? ? ? ? ? ,??? 2? ? 2 ? 故函数的值域为 ?
12. 多种方法综合运用

例 1. 求函数

y?

x?2 x ? 3 的值域。

2 解:令 t ? x ? 2 ( t ? 0) ,则 x ? 3 ? t ? 1

y?
(1)当 t ? 0 时,

t 1 1 ? ? t ?1 t ? 1 2 t ,当且仅当 t=1,即 x ? ?1 时取等号,所以
2

0? y?

1 2
16

(2)当 t=0 时,y=0。

? 1? ?0, ? 综上所述,函数的值域为: ? 2 ?
注:先换元,后用不等式法

例 2. 求函数

y?

1 ? x ? 2x 2 ? x 3 ? x 4 1 ? 2x 2 ? x 4 的值域。

解:

y?

1 ? 2x 2 ? x 4 x ? x3 ? 1 ? 2x 2 ? x 4 1 ? 2x 2 ? x 4
? x ? ? ? 1? x2 ? ? ? ? cos 2 ? ? ?
2 2

?1? x2 ?? ?1 ? x 2 ?

?1? x2 ? ? x ? tan 2 ? 2 ,则 ? 1 ? x 令

x 1 ? sin ? 2 2 1? x 1 1 ? y ? cos 2 ? ? sin ? ? ? sin 2 ? ? sin ? ? 1 2 2
1? 17 ? ? ?? sin ? ? ? ? 4? 16 ?
2

∴当

sin ? ?

1 17 y max ? 16 4 时,

当 sin ? ? ?1 时, y min ? ?2

此时

tan

17 ? ? ? ?? 2, 16 ? ? 2 都存在,故函数的值域为 ?

注:此题先用换元法,后用配方法,然后再运用 sin ? 的有界性。

17


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