江苏省四市2015届高三第一次调研考试(一模)数学试题及答案
徐州、淮安、宿迁、连云港四市 2015 届高三第一次模拟考试 数学试卷
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．不需写出解题过程，请把答案直接填写 在答题卡相应位置上， 1．己知集合 A ? ?0,1,2,3? , B ? ?2,3,4,5?，则 A
B 中元素的个数为_______．
2．设复数 z 满足 i( z ? 4) ? 3 ? 2i （i 是虚数单位） ，则 z 的虚部为_______． 3．如图，茎叶图记录了甲、乙两组各 3 名同学在期末考试中的数学成绩， 则方差较小的那组同学成绩的方差为_______． 4．某用人单位从甲、乙、丙、丁 4 名应聘者中招聘 2 人，若每名应聘者被录用 的机会均等，则甲、乙 2 人中至少有 1 入被录用的概率为_______． 5．如图是一个算法的流程图，若输入 x 的值为 2，则输出 y 的值为_____． 6. 已知圆锥的轴截面是边长为 2 的正三角形，则该圆锥的体积为 ______. 7. 已知 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数，当 x ? 0 时， f ( x) ? log2 (2 ? x) ， 则 f (0) ? f (2) 的值为_____. 8. 在等差数列 ?an ? 中，已知 a2 ? a8 ? 11 ，则 3a3 ? a11 的值为______. 9. 若实数 x , y 满足 x ? y ? 4 ? 0 ，则 z ? x ? y ? 6x ? 2 y ? 10 的最小值为_____.
2 2
10. 已知椭圆
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ，点 A, B1 , B2 , F 依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点， a 2 b2
若直线 AB2 与直线 B1 F 的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为______. 11．将函数 y ? 2sin(? x ?
?
4
)(? ? 0) 的图象分别向左、向右各平移
? 个单位长度后，所得的两个 4
图象对称轴重合，则 ? 的最小值为______． 12．己知 a，b 为正数，且直线 ax ? by ? 6 ? 0 与直线 2 x ? (b ? 3) y ? 5 ? 0 互相平行，则 2a+3b 的最小值为________.
2 ? ?? x , x ? 0, 13．已知函数 f ( x) ? ? 2 ? ，则不等式 f ( f ( x)) ? 3 的解集为______. ? ? x 2 x, x ? 0
14．在△ ABC 中，己知 AC ? 3, ?A ? 45 ，点 D 满足 CD ? 2BD ，且 AD ? 13 ，则 BC 的长 为_______ ．
二、解答题：本大题共 6 小题．15～17 每小题 14 分，18～20 每小题 16 分，共计 90 分．请在答题 卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15． （本小题满分 14 分） 己知向量 a ? (1, 2sin ? ), b ? (sin(? ? (1)若 a ? b ，求 tan ? 的值： (2)若 a / / b ，且 ? ? (0,
?
3
),1) ， ? ? R ．
?
2
) ，求 ? 的值．
16． （本小题满分 14 分） 如图，在三棱锥 P- ABC 中，已知平面 PBC ? 平面 ABC． (1)若 AB ? BC，CD ? PB，求证：CP ? PA： (2)若过点 A 作直线上平面 ABC，求证： //平面 PBC．
17.(本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中，己知点 A(?3, 4), B(9, 0) ，C，D 分别为线段 OA，OB 上的动点，且 满足 AC=BD. （1）若 AC=4，求直线 CD 的方程; （2）证明： ? OCD 的外接圈恒过定点(异于原点 O).
18.(本小题满分 16 分) 如图，有一个长方形地块 ABCD，边 AB 为 2km，AD 为 4 km.，地块的一角是湿地(图中阴影部 分)，其边缘线 AC 是以直线 AD 为对称轴，以 A 为顶点的抛物线的一部分.现要铺设一条过边缘线 AC 上一点 P 的直线型隔离带 EF，E，F 分别在边 AB，BC 上(隔离带不能穿越湿地，且占地面积忽略不 计).设点 P 到边 AD 的距离为 t(单位:km)，△ BEF 的面积为 S(单位: km ). (I)求 S 关于 t 的函数解析式，并指出该函数的定义域; (2)是否存在点 P，使隔离出的△ BEF 面积 S 超过 3 km ?并说明理由.
2 2
19.(本小题满分 16 分) 在数列 ?an ? 中，已知 a1 ? a2 ? 1, an ? an?2 ? ? ? 2an?1 , n ? N ? ， ? 为常数. (1)证明: a1 , a4, a5 成等差数列; (2)设 cn ? 2
an ? 2 ?an
，求数列 的前 n 项和 Sn ；
（3）当 ? ? 0 时，数列
?an ? 1? 中是否存在三项 as?1 ? 1, at ?1 ? 1, ap?1 ? 1 成等比数列，且 s, t , p 也
成等比数列?若存在，求出 s , t , p 的值；若不存在，说明理由.
20.(本小题满分 16 分)
己知函数 f ( x) ? ln x ?
1 2 ax ? x, a ? R 2
(1)若 f (1) ? 0 ，求函数 f ( x ) 的单调递减区间; (2)若关于 x 的不等式 f ( x) ? ax ? 1 恒成立，求整数 a 的最小值:
(3)若 a ? ?2 ，正实数 x1 , x2 满足 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 x2 ? 0 ，证明: x1 ? x2 ?
5 ?1 2
附加题部分
21.【选做题】本题包括 A, B, C, D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答.解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤. A 选修 4-1:几何证明选讲(本小题满分 10 分) 如图， O 是△ ABC 的外接圆，AB = AC，延长 BC 到点 D，使得 CD = AC，连结 AD 交 O 于点 E.求证:BE 平分 ? ABC.
B.选修 4-2:矩阵与变换(本小题满分 10 分) 已知 a, b ? R ，矩阵 A ? ? 值。
? ?1 a ? ? 所对应的变换 TA 将直线 x ? y ? 1 ? 0 变换为自身，求 a,b 的 ?b 3 ?
C.选修 4-4:坐标系与参数方程(本小题满分 10 分) 己知直线的参数方程为 ?
? x ? t, ? x ? acos? , （t 为参数） ,圆 C 的参数方程为 ? .(a>0. ? 为参数)， ? y ? 2t ? 1 ? y ? a sin ?
点 P 是圆 C 上的任意一点，若点 P 到直线的距离的最大值为
5 ? 1 ，求 a 的值。 5
D.选修 4-5:不等式选讲(本小题满分 10 分) 若 a ? 0, b ? 0 ，且 a ? 0, b ? 0 ，求 a ? b 的最小值.
3 3
【必做题】第 22 题、第 23 题.每题 10 分.共计 20 分.请在答题卡指定区毕内作答.解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分 10 分) 某校开设 8 门校本课程，其中 4 门课程为人文科学，4 门为自然科学，学校要求学生在高中三年 内从中选修 3 门课程，假设学生选修每门课程的机会均等. (1)求某同学至少选修 1 门自然科学课程的概率; (2)已知某同学所选修的 3 门课程中有 1 门人文科学， 2 门自然科学， 若该同学通过人文科学课程 的概率都是
4 3 ，自然科学课程的概率都是 ，且各门课程通过与否相互独立.用 ? 表示该同学所选的 5 4
3 门课程通过的门数，求随机变量 ? 的概率分布列和数学期望。
23.(本小题满分 10 分)
2 在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物 y ? 2 px( p ? 0) 的准线方程为 x ? ?
1 , 过点 M(0,-2)作 4
抛物线的切线 MA，切点为 A（异于点 O).直线过点 M 与抛物线交于两点 B,C，与直线 OA 交于点 N. (1)求抛物线的方程;
(2)试问:
MN MN ? 的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由。 MB MC
参考答案与评分标准
一、填空题： （本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．不需写出解题过程，请把答案直接填写 在答题卡相应位置上 ） ．．．．．．．．
3 14 5 π； ； 4． ； 5．7； 6． 7． ?2 ； 3 3 6 1 8．22； 9．18； 10． ； 11．2； 12．25 ； 13． (??, 3] ； 14．3． 2 二、解答题: 本大题共 6 小题， 15~17 每小题 14 分，18~20 每小题 16 分，共计 90 分．请在答题卡 ．．．
1．6；
2． ?3 ；
3．
指定的区域内作答 ，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ． ．．．．．．．． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 15．(1)因为 a ? b ，所以 a b =0 ， …………………………………………………………2 分 所以 2sin ? ? sin ? ? ?
? ?
5 3 π? cos ? ? 0 ． ? ? 0 ，即 sin ? ? 2 2 3? 3 ． 5
…………………4 分
因为 cos ? ? 0 ，所以 tan ? ? ?
…………………………………………6 分
(2)由 a ∥b ，得 2sin ? sin ? ? ? 即 2sin ? cos
2
? ?
π? ? ? 1， ………………………………………………8 分 3?
π π 1 3 ? 2sin ? cos ? sin ? 1 ，即 ?1 ? cos 2? ? ? sin 2? ? 1 ， 3 3 2 2
整理得， sin ? 2? ? 又 ? ? ? 0, 所以 2? ?
? ?
π? 1 ?? 6? 2
……………………………………………………11 分
? ?
π? π ? π 5π ? ? ，所以 2? ? ? ? ? , ? ， 2? 6 ? 6 6 ?
π π π ? ，即 ? ? ． 6 6 6
…………………………………………………14 分 平面 ABC ? BC ， AB ? 平面 ABC ，
16． （1）因为平面 PBC ⊥ 平面 ABC ，平面 PBC
平面 PBC ． …………………………………………………2 分 AB ⊥BC ，所以 AB ⊥ 因为 CP ? 平面 PBC ，所以 CP ⊥AB . ………………………………………………4 分 又因为 CP ⊥PB ，且 PB
AB ? B ， AB, PB ? 平面 PAB ,
所以 CP ⊥ 平面 PAB ，…………………………………………………………………6 分 又因为 PA ? 平面 PAB ，所以 CP ⊥PA ．……………………………………………7 分 （2）在平面 PBC 内过点 P 作 PD ⊥BC ，垂足为 D ．…………………………………8 分 因为平面 PBC ⊥ 平面 ABC ，又平面 PBC ∩平面 ABC ＝BC， 平面 ABC ．…………………………………………10 分 PD ? 平面 PBC ，所以 PD ⊥ 又⊥ 平面 ABC ，所以// PD ．……………………………………………………12 分 又 l ? 平面 PBC ， PD ? 平面 PBC ， //平面 PBC ．…………14 分 A 17．(1) 因为 A(?3, 4) ，所以 OA ? C D P
(?3) 2 ? 4 2 ? 5 ，…………………………………1 分B
又因为 AC ? 4 ，所以 OC ? 1 ，所以 C (? , ) ，…………………………………3 分 由 BD ? 4 ，得 D(5, 0) ，…………………………………………………………… 4 分
3 4 5 5
4 5 ??1 所以直线 CD 的斜率 ， ………………………………………………5 分 7 ? 3? 5??? ? ? 5? 0?
所以直线 CD 的方程为 y ? ? ( x ? 5) ，即 x ? 7 y ? 5 ? 0 ．…………………………6 分 （2)设 C (?3m, 4m)(0 ? m ≤1) ，则 OC ? 5m ．…………………………………………7 分 则 AC ? OA ? OC ? 5 ? 5m ， 因为 AC ? BD ，所以 OD ? OB ? BD ? 5m+4 ， 所以 D 点的坐标为 (5m+4,0) ………………………………………………………8 分 又设 ?OCD 的外接圆的方程为 x2 ? y 2 ? Dx+Ey ? F ? 0 ，
1 7
? F ? 0, ? ? 2 2 则有 ?9m ? 16m ? 3mD ? 4mE ? F ? 0, ……………………………………………10 分 ? 2 ? ?? 5m ? 4 ? ? ? 5m ? 4 ? D ? F ? 0.
解之得 D ? ?(5m ? 4), F ? 0 , E ? ?10m ? 3 , 所以 ?OCD 的外接圆的方程为 x2 ? y 2 ? (5m ? 4) x ? (10m ? 3) y ? 0 ，…………12 分 整理得 x2 ? y 2 ? 4x ? 3 y ? 5m( x ? 2 y) ? 0 ，
? x 2 ? y 2 ? 4 x ? 3 y =0, ? x ? 0, ? x ? 2, 令? ，所以 ? （舍）或 ? ? y ? 0. ? y ? ?1. ? x+2 y =0
所以△ OCD 的外接圆恒过定点为 (2, ?1) ．…………………………………………14 分 18 ． (1) 如图，以 A 为坐标原点 O ， AB 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系，则 C 点坐标为 (2, 4) ．……………………………………………………………………………1 分 设边缘线 AC 所在抛物线的方程为 y = ax 2 ， 把 (2, 4) 代入，得 4 = a 22 ，解得 a = 1 ， 所以抛物线的方程为 y = x2 ．…………………………………………………………3 分 因为 y ?= 2 x ，……………………………………………………………………………4 分 所以过 P(t , t 2 ) 的切线 EF 方程为 y = 2tx - t 2 ．………………………………………5 分
t 2 1 t 2 所以 S ? (2 ? )(4t ? t ) ，…………………………………………………………8 分 2 2
令 y = 0 ，得 E ( ,0) ；令 x = 2 ，得 F (2,4t - t 2 ) ，…………………………………7 分
1 3 (t ? 8t 2 ? 16t ) ，定义域为 (0, 2] ．………………………………………9 分 4 1 2 3 4 (2) S ? ? (3t ? 16t ? 16) ? (t ? 4)(t ? ) ，……………………………………………12 分 4 4 3 4 由 S ?(t ) ? 0 ，得 0 ? t ? ， y 3 C D 4 4 所以 S ?(t ) 在 (0, ) 上是增函数，在 ( , 2] 上是减函数，……14 分 F 3 3 4 64 所以 S 在 (0, 2] 上有最大值 S ( ) ? ． 3 27 64 17 P ? 3? ? 3， 又因为 27 27 所以不存在点 P ，使隔离出的△ BEF 面积 S 超过 3 km 2 ．…16 分
所以 S ? 19． （1）因为 an ? an?2 ? ? ? 2an?1，a1 ? a2 ? 1， 所以 a3 ? 2a2 -a1 +? ? ? ? 1 ， O(A) E
（第 18 题）
B x
同理， a4 ? 2a3 -a2 +? ? 3? ? 1 ， a5 ? 2a4 -a3 +? ? 6? ? 1 ， ……………………2 分 又因为 a4 ? a1 ? 3? ， a5 ? a4 ? 3? ，…………………………………………………3 分 所以 a4 ? a1 ? a5 ? a4 ， 故 a1 ， a4 ， a5 成等差数列．…………………………………………………………4 分 （2） 由 an ? an?2 ? ? ? 2an?1 ，得 an?2 ? an?1 ? an?1 ? an +? ，…………………………5 分 令 bn ? an?1 ? an ，则 bn?1 ? bn ? ? ， b1 ? a2 ? a1 ? 0 ， 所以 ?bn ? 是以 0 为首项，公差为 ? 的等差数列， 所以 bn ? b1 ? (n ?1)? ? (n ?1)? ，…………………………………………………6 分 即 an?1 ? an ? (n ?1)? ， 所以 an?2 ? an ? 2(an?1 ? an ) ? ? ? (2n ?1)? ， 所以 cn ? 2
an?2 ?an
? 2(2n?1)? ． ………………………………………………………8 分
Sn ? c1 ? c2 ? L ? cn ? 2? ? 23? ? 25? ? L ? 2(2n?1)?
当 ? ? 0时，Sn ? n ， 当 ? ? 0 时，Sn ? 2 ? 2
?
……………………………………………………………9 分
3?
? 25? ? L ? 2(2 n ?1) ? ?
2? (1 ? 22 n? ) ．………………10 分 1 ? 22 ?
（3）由（2）知 an?1 ? an ? (n ?1)? ， 用累加法可求得 an ? 1+
(n ? 1)(n ? 2) ? ? n ≥ 2? ， 2 (n ? 1)(n ? 2) ? ? n ? N? ? 当 n ? 1 时也适合，所以 an ? 1+ 2
……………………12 分
假设存在三项 as ?1 ?1, at ?1 ?1, ap?1 ?1 成等比数列，且 s , t , p 也成等比数列， 则 (at ?1 ?1) ? (as?1 ?1)(ap?1 ?1) ，即
2
t 2 (t ? 1)2 s(s ? 1) p( p ? 1) ? ， ………14 分 4 4
因为 s , t , p 成等比数列，所以 t 2 ? sp ， 所以 (t ? 1)2 ? (s ?1)( p ?1) ，
2 化简得 s ? p ? 2t ，联立 t ? sp ，得 s ? t ? p ．
这与题设矛盾． 故不存在三项 as ?1 ?1, at ?1 ?1, ap?1 ?1 成等比数列，且 s , t , p 也成等比数列．…16 分 20． （1）因为 f (1) ? 1 ?
a ? 0 ，所以 a ? 2 ，………………………………………1 分 2 此时 f ( x) ? ln x ? x2 ? x, x ? 0 ，
1 ?2 x 2 ? x ? 1 ? 2x ?1 ? ( x ? 0) x x
……………………………………… 2 分
f ?( x) ?
由 f ?( x) ? 0 ，得 2 x 2 ? x ? 1 ? 0 ， 又 x ? 0 ，所以 x ? 1 ． 所以 f ( x ) 的单调减区间为 (1, ??) ． ………………………………………… 4 分
（2）方法一：令 g ( x) ? f ( x) -(ax ? 1) ? ln x ?
1 2 ax ? (1 ? a) x ? 1 ， 2
所以 g ?( x) ?
1 ?ax 2 ? (1 ? a) x ? 1 ． ? ax ? (1 ? a) ? x x
当 a ≤ 0 时，因为 x ? 0 ，所以 g ?( x) ? 0 ． 所以 g ( x) 在 (0, ??) 上是递增函数， 又因为 g (1) ? ln1 ?
1 3 a ?12 ? (1 ? a) ? 1 ? ? a ? 2 ? 0 ， 2 2
所以关于 x 的不等式 f ( x) ≤ ax ? 1 不能恒成立．……………………………………6 分
1 a( x ? )( x ? 1) ?ax ? (1 ? a) x ? 1 当 a ? 0 时， ， a g ?( x) ? ?? x x
2
令 g ?( x) ? 0 ，得 x ?
1 ． a
所以当 x ? (0, ) 时， g ?( x) ? 0 ；当 x ? ( , ??) 时， g ?( x) ? 0 ，
1 a
1 a
因此函数 g ( x) 在 x ? (0, ) 是增函数，在 x ? ( , ??) 是减函数．
1 a
1 a
故函数 g ( x) 的最大值为 g ( ) ? ln
1 a
1 1 1 1 1 ? a ? ( ) 2 ? (1 ? a) ? ? 1 ? ? ln a ． a 2 a a 2a
……………………………………………………………………8 分 令 h( a ) ?
1 ? ln a ， 2a
1 1 ? 0 ， h(2) ? ? ln 2 ? 0 ，又因为 h(a) 在 a ? (0, ??) 是减函数． 2 4
因为 h(1) ?
所以当 a ≥ 2 时， h(a) ? 0 ． 所以整数 a 的最小值为 2． …………………………………………………………10 分
方法二： （2）由 f ( x) ≤ ax ? 1 恒成立，得 ln x ?
1 2 ax ? x ≤ ax ? 1 在 (0, ??) 上恒成立， 2
问题等价于
a≥
ln x ? x ? 1 在 (0, ??) 上恒成立． 1 2 x ?x 2
ln x ? x ? 1 令 ，只要 a ≥ g ( x)max ．………………………………………… 6 分 1 2 x ?x 2 1 ( x ? 1)(? x ? ln x) 1 2 因为 g ?( x) ? ，令 g ?( x) ? 0 ，得 ? x ? ln x ? 0 ． 1 2 2 ( x ? x) 2 2 g ( x) ?
设 h( x ) ? ?
1 1 1 x ? ln x ，因为 h?( x) ? ? ? ? 0 ，所以 h( x) 在 (0, ??) 上单调递减， 2 x 2
不妨设 ?
1 x ? ln x ? 0 的根为 x0 ． 2
当 x ? (0, x0 ) 时， g ?( x) ? 0 ；当 x ? ( x0 , ??) 时， g ?( x) ? 0 ， 所以 g ( x) 在 x ? (0, x0 ) 上是增函数；在 x ? ( x0 , ??) 上是减函数．
1 1 ? x0 ln x0 ? x0 ? 1 1 2 ? ? ．………………………8 分 所以 g ( x) max ? g ( x0 ) ? 1 2 1 x0 ? x0 x0 (1 ? x0 ) x0 2 2 1 1 1 因为 h( ) ? ln 2 ? ? 0 ， h(1) ? ? ? 0 2 2 4
所以
1 1 ? x0 ? 1 ，此时 1 ? ? 2 ，即 g ( x)max ? (1, 2) ． x0 2
所以 a ≥ 2 ，即整数 a 的最小值为 2．……………………………………………… 10 分 （3）当 a ? ?2 时， f ( x) ? ln x ? x2 ? x, x ? 0
2 2 由 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1x2 ? 0 ，即 ln x1 ? x1 ? x1 ? ln x2 ? x2 ? x2 ? x1x2 ? 0
从而 ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? x1 ? x2 ? ln( x1 ? x2 )
2
………………………………… 13 分
令 t ? x1 ? x2 ，则由 ? (t ) ? t ? ln t 得， ? ?(t ) ?
t ?1 t
可知， ? (t ) 在区间 (0,1) 上单调递减，在区间 (1, ??) 上单调递增． 所以 ? (t ) ≥? (1) ? 1 ，
2
………………………………………………………15 分
所以 ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ≥1 ，
因此 x1 ? x2 ≥
5 ?1 成立．………………………………………………………… 16 分 2
数学Ⅱ 附加题部分
21.【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两题 ，并在相应的答题区域内作答 ．若多 ．．．．．．． ．．．．．．．．．．．． 做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．(选修 4—1：几何证明选讲) 因为 CD ? AC ，所以 ?D ? ?CAD ．………………………………………………2 分 因为 AB ? AC ，所以 ?ABC ? ?ACB ．……………………………………………4 分 因为 ?EBC ? ?CAD ，所以 ?EBC ? ?D ．………………………………………6 分 因为 ?ACB ? ?CAD ? ?ADC ? 2?EBC ， ………………………………………8 分 所以 ?ABE ? ?EBC ，即 BE 平分 ?ABC ．………………………………………10 分 B．选修 4-2：矩阵与变换
y ) 在变换 T A 的作用下变成点 P?( x?， y ?) ， 解: 设直线 x ? y ? 1 ? 0 上任意一点 P( x，
? ?1 a ? ? x ? ? x? ? ? x? ? ? x ? ay , ? ? ? ，得 ? 由? ，……………………………………………4 分 ? ? ? ? b 3 ? ? y ? ? y ?? ? y ? ? bx ? 3 y.
y ?) 在直线 x ? y ? 1 ? 0 上， 因为 P?( x?，
（? 1 ? b) x ? (a ? 3) y ? 1 ? 0 ， - y - 1 = 0 ，即 所以 xⅱ
……………………6 分
y ) 在直线 x ? y ? 1 ? 0 上，所以 x ? y ? 1 ? 0 ． ……………………8 分 又因为 P( x，
ì - 1- b = 1, ? 因此 ? 解得 a ? 2, b ? ?2 . í ? ? ? a - 3 = - 1.
C．选修 4-4：坐标系与参数方程
………………………………………10 分
ì x = t, ? 解: 因为直线的参数方程为 ? , í ? ? ? y = 2t + 1 消去参数，得直线的普通方程为 y ? 2 x ? 1 ．……………………………………3 分
又因为圆 C 的参数方程为 ?
? x ? a cos? （ a ? 0, ? 为参数） ， ? y ? a sin ?
5 ，……………………………………………8 分 5
所以圆 C 的普通方程为 x 2 ? y 2 ? a 2 ．………………………………………………6 分 因为圆 C 的圆心到直线的距离 d ? 故依题意，得
解得 a ? 1 . ……………………………………………………………………………10 分 D．选修 4－5：不等式选讲 解：因为 a ? 0, b ? 0 ，所以
5 5 ?a ? ?1 ， 5 5
1 1 2 ? ≥ ，……………………………………………3 分 a b ab
又因为 所以 a 3 所以 a 3
1 1 ? ? ab ，所以 ab ≥ 2 ，且当 a ? b ? 2 时取等号．………………6 分 a b
? b3 ≥ 2 a3b3 ≥ 4 2 ，且当 a ? b ? 2 时取等号．……………………9 分
? b3 的最小值为 4 2 ．………………………………………………………10 分
【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．请在答题卡指定区域 内作答，解答时应写 ．．．．．．． 出文字说明、证明过程或演算步骤． 22. (1) 记“某同学至少选修 1 门自然科学课程”为事件 A， 则 P(A)=1 ?
3 C4 1 13 ? 1 ? ? ，………………………………………………………2 分 3 C8 14 14
所以该同学至少选修 1 门自然科学课程的概率为
13 .……………………………3 分 14
(2)随机变量 ? 的所有可能取值有 0,1, 2, 3 ．……………………………………………4 分
1 ?1? 1 因为 P(? =0)= ? ? ? = ， 5 ? 4 ? 80 4 ?1? 1 1 3 1 1 P(? =1)= ? ? ? + ? C2 ? ? ? ， 5 ?4? 5 4 4 8 4 1 3 1 ? 3 ? 33 1 P(? =2)= ? C2 ? ? + ?? ? = ， 5 4 4 5 ? 4 ? 80
2 2
2
4 ? 3? 9 ，……………………………………………………………8 分 P(? =3)= ? ? ? ? 5 ? 4 ? 20
所以 ? 的分布列为
2
?
0
2
3
1 1 33 9 8 80 80 20 1 10 33 36 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 2.3 .………………………………10 分 所以 E (? )=0 ? 80 80 80 80 1 p 1 = - ，即 p = 23． （1）由题设知， 2 2 4
P
所以抛物线的方程为 y 2 = x …………………………………………………………2 分
（2）因为函数 y = -
x 的导函数为 y ?= -
1 2 x
，设 A( x0 , y0 ) ，
则直线 MA 的方程为 y - y0 = -
1 ( x - x0 ) ，………………………………4 分 2 x0 1 1 ? ( x0 ) ． 2 x0
因为点 M (0, - 2) 在直线 MA 上，所以 - 2 - y0 = -
ì 1 ? ? ? y0 = - 2 - 2 联立 í ? 2 ? ? ? y0 = x0 .
x0 ,
解得 A(16, - 4) ．……………………………………5 分
所以直线 OA 的方程为 y = -
1 x ． ……………………………………………… 6 分 4
设直线 BC 方程为 y = kx - 2 ， 由? í
ì ? y 2 = x, ，得 k 2 x2 - (4k + 1) x + 4 = 0 ， ? ? ? y = kx - 2
4k + 1 4 , xB xC = 2 ．…………………………………………… 7 分 2 k k
所以 xB + xC =
ì 1 ? ? y = - x, 8 ? 由í ．………………………………………………… 8 分 4 ，得 xN = ? 4k + 1 ? y = kx 2 ? ?
所以
x + xC MN MN xN xN + = + = xN ? B MB MC xB xC xB xC
4k + 1 2 8 ? k 4 4k + 1 k2
8 4k + 1 ? 4k + 1 4
2,
故
MN MN ? 为定值 2．……………………………………………………………10 分 MB MC