2.5.1等比数列的前n项和


2.5.1 等比数列的前 n 项和 (2013.03.21)
教学目标: 1、掌握等比数列的前 n 项 和公式及其推导方法(错位相减法) ; 2、会用等比数列的前 n 项和公式解决有关等比 数列的一些简单问题。 教学重点:使学生掌握等比数列的前 n 项和公式,会灵活运用公式。 教学难点:由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前 n 项和公式。 教学过程:
一、复习回顾 1、等比数列的定义; 2、等比数列的通项公式; 3、数列{an}中通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系; 4、等比数列的性质:若 m+n=p+q,则 am·an=ap·aq . 二、新课引入 问题 P55:判断国王是否能实现他的诺言。 2 3 62 63 麦粒的总数为 S64 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 问:如何求出这个和?(错位相减法)

2S64 ? 2 ? 22 ? 23 ? ?? 263 ? 264 由② -① 得: 2S64 ? S64 ? 264 ?1, 64 即 S64 ? 2 ?1
S = 18446744073709551615≈1.84×1019(粒) 结论:国王无论如何是不能实现发明者的要求的。 三、前 n 项和公式的推导 问题:已知等比数列?an ?,公比为 q, 求:Sn ? a1 ? a2

S64 ? 1 ? 2 ? 22 ? 23 ? ?? 263

① ②

等比数列前 n 项和公式:
? a1 ? qan (q ? 1) 公式1: S ? ? 1 ? q ? n ? na (q ? 1) ? 1

? a3 ? ? ? an ? a1 ? a1q ? a1q 2 ? ?? a1q n?1

? a1 (1 ? q n ) (q ? 1) ? 公式2: S n ? ? 1 ? q ? (q ? 1) ? na1

注:1、对 q 是否等于 1 进行分类讨论。 2、根据求和公式,运用方程思想,a1 , q, n, an , Sn 五个基本量中“知三求二” 。. 四、公式的运用 1 1 1 , , , ? 8 项的和. 例 1、 (1)求等比数列 的前

2

4

8

(2)求等比数列

a 1 ? 27, a9 ?

1 , q ? 0.的前 8 项的和. 243

练习 P58:

(1)a1 ? 3, q ? 2, n ? 6; (2)a1 ? 2.4, q ? ?1.5, n ? 5;
1 1 , n ? 5; (4)a1 ? ?2.7, q ? ? , n ? 6. 2 3

( 3)a1 ? 8, q ?

(备用) 例 2、 已知等比数列

?an ?中,a1 ? ? 16 , an ? ?

9

16 781 , Sn ? ? , 求公比q及项数n. 9 144

练习: 1、求等比数列

1,2,4,…从第 5 项到第 10 项的和.

S10 ? S4 ? 1023 ?15 ? 1008.
2、求等比数列

3 3 3 , , , ?从第 3 项到第 7 项的和. 2 4 8

? 3 3 ? 381 9 153 S7 ? ? ? ? ? ? ? . ? 2 4 ? 128 4 128
五、小结 六、作业 课本 P61 第 1、4 题.


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