正弦型函数教案


正弦型函数 y=Asin(ψ x+φ )的图象变换教学设计
一、教学目标: 1、知识与技能目标:
能借助计算机课件,通过探索、观察参数 A、ω 、φ 对函数图象的影响,并能概括出 三角函数图象各种变换的实质和内在规律; 会用图象变换画出函数 y=Asin(ω x+φ )的图象。

2、过程与方法目标:
通过对探索过程的体验,培养学生的观察能力和探索问题的能力,数形结合的思想; 领会从特殊到一般,从具体到抽象的思维方法,从而达到从感性认识到理性认识的飞跃。

3、情感、态度价值观目标:
通过学习过程培养学生探索与协作的精神,提高合作学习的意识。

二、 教学重点: 考察参数ω 、 φ、 A 对函数图象的影响, 理解由 y=sinx 的图象到 y=Asin(ω
x+φ )的图象变化过程。这个内容是三角函数的基本知识进行综合和应用问题接轨的一个重
要模型。学生学习了函数 y=Asin(ω x+φ )的图象,为后面高中物理研究《单摆运动》 、 《简 谐运动》 、 《机械波》等知识提供了数学模型。所以,该内容在教材中具有非常重要的意义, 是连接理论知识和实际问题的一个桥梁。

三、教学难点:对 y=Asin(ω x+φ )的图象的影响规律的发现与概括是本节课的难点。因
为相对来说, 、A 对图象的影响较直观,ω 的变化引起图象伸缩变化,学生第一次接触这 种图象变化,不会观察,造成认知的难点,在教学中,抓住“ 对图象的影响”的教学,

使学生学会观察图象,经历研究方法,理解图象变化的实质,是克服这一难点的关键。

学情分析:
本节课在高一第二学段, 对于高中常用的数学思想方法和研究问题的方法已经有初步的 了解, 并且逐步适应高中的学习方式和教师的教学方式, 喜欢小组探究学习, 喜欢独立思考, 探究未知内容,学习欲望迫切。关于函数图象的变换,学生在学习第一模块时,接触过函数 图象的平移,有“左加右减”,“上加下减”这样一些粗略的关于图象平移的认识,但对于 本节内容学生要理解并掌握三个参数对函数图象的影响, 还要研究三个参数对函数图象的综 合影响,且方法不唯一,知识密度较大,理解掌握起来难度较大。

教学内容分析:

三角函数是基本初等函数之一, 是中学数学的重要内容。 本节为三角函数图象与性质的 重要内容,是一节函数图象探究的重要范例,同样也是提高学生识图、画图、数形结合等能 力的一次锻炼。本节内容是在学生已经理解振幅变换、相位变换和周期变换的基础上,通过 作图、观察、分析、归纳等方法,形成规律,得出从函数 的图象到正弦型函数 、 、 、

y=Asin( ω x+ φ ) 图 象 的 变 换 规 律 。 观 察 函 数


图象间的关系,通过对比,探求有关性质以及图象的变换方

法。鼓励学生大胆猜想,将直观问题抽象化,揭示本质,培养学生思维的深刻性。 利用计算机操作相关的课件,直观展示图象的变化,细致观察图象变化的数量,使学生 学会观察。 这就会使学生容易在学习的过程中把握图象变化的内在联系, 进而理解本质的规 律。首先对参数变化所引起的图象变化进行观察,获得参数对函数图象影响的大致感知,进 而进行细致的量的变化的观察和分析, 体现了对事物认识的螺旋式上升; 从具体的函数出发, 进而得出一般性的结论,体现了从特殊到一般,由感性到理性的过渡。

教学流程图:

教学过程:整个教学过程是“以问题为载体,以学生活动为主线”进行的。
(一)创设情境:

1.动画演示: 《用沙摆演示简谐运动的图象》

2.根据你的知识,你能解决函数

哪些方面的问题?

学生分析:可以求这个函数的最小正周期、单调区间以及“五点法”作图。 教师追问:作出它的图象还有其他的方法吗? 【设计意图】复习回顾,直接切入研究的课题。 (板书课题:函数 的图象)
问题 1:函数 学生思考,交流,正弦函数 的特殊情况。 和我们熟知的正弦函数,有什么联系呢? 就是函数 在 A=1,ω =1, =0

【设计意图】采用《用沙摆演示简谐运动的图象》引出函数 y=Asin(ω x+φ ) 的图象,体现该函数图象与生活实际的紧密联系,体现函数图象在物理学上的重 要性,激发学生研究该函数图象的兴趣。引导学生思考 y=Asin(ω x+φ )与正弦函 数的一般与特殊的关系,进而引导学生探讨正弦曲线与函数 y=Asin(ω x+φ )的图 象的关系。
(二)建构数学 自主探究: 自主探究:由正弦曲线如何变化得到函数 ①问题提出:三种变换能否任意排序? ②对于你们小组提出的变换方式,你要怎样解决你呢? 的图象?

【设计意图】观察函数解析式

学生容易发现三个参数

、 、

都发生了变化, 自然恰当地提出本节的核心问题——三种变换能否任意排序呢?
问题 2:由正弦函数 猜想(1) 猜想(2) 图象如何变换得到函数 的图象?

【设计意图】观察函数解析式 ,容易发现参数 、 都发生了变 化,根据已有的知识基础,自然恰当地提出本节的核心问题:两种变换能否任意 排序,最后确定研究方向。
A、 自主实验,形成初步结论:小组合做,根据自己的兴趣在两种变换中选择一种进行 研究: 问题 3:按照第一种方法由函数 的图象如何变换到 的图象?

按照第二种方法由函数

的图像如何变换到函数

的图象?

学生投影回答,结合自己画的函数图像,说明变换方法。

①.把 图象。

的图象上的所有的点__左___平移 __

_个单位长度, 得到



②.再把 标不变) ,得到 ③.再把 坐标不变)得到

的图象上各点的_横__坐标_缩短__ 的图象。 的图象上所有点的_纵_坐标_伸长_ 的图象。

到原来的_

_倍(_纵_坐

到原来的__3_倍(__横_

学生总结上述变换过程:相位变换

周期变换

振幅变换

①.把 度,得到 ②.再把

的图象上的所有的点 向左 的图象。

或 向右

平行移动

个单位长

的图象上各点的_横_坐标__缩短_

或_伸长_

到原

来的_

_倍(_纵_坐标不变) ,得到

的图象。 或_缩短 的图象。

③.再把 _

的图象上所有点的_纵_坐标_伸长_ 为原来的_A_倍(_横_坐标不变)得到

B、 深入探究,讨论分析: 预设问题:

教学的班级为普通班,根据以往的教学经验,如果只研究一种顺序,有的学 生会错误地认为由 的图象向左 平移个单位得到 的图

象,说明学生没有真正理解函数图象的变化是看坐标(x,y)的变化量。预想到 学生会犯这个错误, 为了让学生更好地理解图象变化的实质,我选择不同的小组 汇报, 进而追问: 为什么会有这种不同呢?原因是什么?学生们可以通过观察坐 标表格中横坐标的变化,发现平移量。或者通过观察图象,发现平移量。因为在 方案ω — 中,先进行了横向的伸缩,即横坐标变为了原来的 移 个单位;从坐标和解析式上来看,点 式,也可以得到这个结论。 和 倍,所以向左平

分别满足两个解析

把 的图象。

的图象上所有的点__向左_平移_

_个单位长度,得到函数

问题 4:第二种变换方法,平移量是

,还是

,为什么? 个单位;先

注意不同顺序中平移量的不同。先相位变换后周期变换时,需向左平移

周期变换后相位变换时,需向左平移 个单位而不是 个单位。平移量是由 的改变量确定 的。 学生总结第二种变换的规律:周期变换 相位变换 振幅变换 或 向右 平行移动

把 y=sin ω x 的 图 象 上 的 所 有 的 点 向 左 个单位长度,得到 y=sin(ω x+φ )的图象。 对比两种变换过程说明:先相位变换后周期变换平移 先周期变换后相位变换平移 个单位长度。

个单位长度。

【设计意图】使学生由正弦曲线变化得到函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)的图 象的不同方案有一个整体的认识,并在掌握图象变化实质的基础上,择优选择。

(三)知识运用,巩固强化
练习:1、只需把函数 数的图象。 的图象上所有点( A ) ,可以得到 函

A、横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变。 标不变。 C、纵坐标伸长到原来的 2 倍,横坐标不变。 标不变。 2、为了得到函数 A、向左平移 个单位长度

B、横坐标缩短到原来的 倍,纵坐

D、纵坐标缩短到原来的 倍,横坐

的图象,只需把函数 B、向右平移

的图象上所有点( B ) 个单位长度

C、向左平移 3、把函数

个单位长度

D、向右平移

个单位长度

图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,得到函



的 图像, 再把函 数

的图 象上所 有点向 右平移

个 单位, 得到函

数 变式:把函数

的图象。 图象上所有点向右平移 的图象,再把函数 个单位长度,得到函数

图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐

标不变) ,得到函数

的图像。

【设计意图】练习及变式练习是对本节课重点和难点知识的巩固,通过学生

的回答,可了解学生对于函数图像变换的“形” 、 “数”思维的形成过程是否得到 落实。

(四)归纳交流
1、学生谈本节课的学习体会。 2、正弦函数 y=sinx 的图象变换到函数 y=Asin(ω x+φ )的图象:顺序可任意,平移尺 度要注意。 3、数学思想:数形结合、从特殊到一般思想、化归思想。

(五)巩固作业
课本 P49/2(写在作业本上),P50/1(写在书上)

(六)学习效果评价设计

1.在学生动手实践、观察、思考问题的过程中,关注学生发现问题、解决问题的能力; 并在进一步的学习过程中,观察学生的类比学习能力; 2.在各组共同学习、解决问题的过程中,观察学生合作交流、学习的能力; 3.对不同方案的对比学习中,了解学生把握事物本质的能力; 4.通过课堂活动与交流,了解学生对知识的掌握程度,通过反馈,对易错、易混的知识 点,做出启发性的指导; 5.通过课堂小结,学生说出自己的收获,与别人分享学习数学的体会,激发学习数学的 积极性,建立自信心。


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