高二数学利用向量解决空间角问题


3.2
利用向量解决

空间角问题

空间向量的引入为代数方法处理立体几 何问题提供了一种重要的工具和方法,解题 时,可用定量的计算代替定性的分析,从而 避免了一些繁琐的推理论证。求空间角与距 离是立体几何的一类重要的问题,也是高考 的热点之一。本节课主要是讨论怎么样用向 量的办法解决空间角问题。

题型一:线线角

? ?? 异面直线所成角的范围: ? ? ? 0, ? ? 2? C D 思考:

?

A

?
B

D1

??? ? ??? ? ? CD, AB ? 与?的关系? ???? ??? ? ? DC, AB ? 与?的关系?

结论: cos ?

?

??? ? ??? ? | cos ? CD, AB ?|

题型一:线线角

例一:Rt? ABC中,?BCA ? 900 , 现将? ABC沿着

平面ABC的法向量平移到?A 1B 1C 1位置,已知
求BD1与AF1所成的角的余弦值. C1
F1

取A1B1、AC 的中点D1、F1, BC ? CA ? CC1, 1 1

B1
D1

A1
A

C

B

题型一:线线角

解:以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 C ? xyz z 如图所示,设 CC1 ? 1 则: C

A(1, 0, 0), B (0,1, 0),

1 1 1 F1 ( , 0, a), D1 ( , ,1) 2 2 2 ???? 1 所以: AF1 ? (? , 0,1), 2 ???? ?

F1

1

B1

A1
A

C

D1

B y

1 ???? ???? ? ? ?1 AF1 ?BD1 cos ? AF1, BD1 ? ? ???? ???? ? ? 4 ? 30 10 5 3 | AF1 || BD1 | 4 2

1 1 BD1 ? ( , ? ,1) 2 2 ???? ???? ?

x

30 所以 BD1 与 AF1 所成角的余弦值为 10

题型一:线线角 练习: 在长方体 ABCD ? A AB= 5,AD ? 8, 1B 1C1D 1 中,

AA1 ? 4, M 为B1C1上的一点,且B1M ? 2,点N在线段A1D上,
A1D ? AN. (1)求证:A1D ? AM .
A1 (2)求AD与平面ANM 所成的角. B1 M

z
N

D1

C1
D

???? ? ???? ? AM ? (5, 2, 4), A1D ? (0,8, ?4), ???? ? ???? ? AM ?A1D =0 ? A1D ? AM .

A(0,0,0), A1 (0,0, 4),D(0,8,0), M (5, 2, 4)

A B

y

x

C

题型二:线面角 题型二:线面角

直线与平面所成角的范围: ? ? [0, ] 2 A ? 思考: n
?

?

B

?

O

? ??? ? ? n, BA ? 与?的关系?

结论:sin ?

?|

? ??? ? cos ? n, AB ?

|

题型二:线面角 例二: 在长方体 ABCD ? A AB= 5,AD ? 8, 1B 1C1D 1 中,

AA1 ? 4, M为BC1上的一点,且B1M ? 2,点N在线段A1D上,
A1D ? AN. (1)求证:A1D ? AM . (2)求AD与平面ANM 所成的角.
A1

z
N

D1

???? ? ???? AD ? (0,8,0), A1D ? (0,8, ?4),

A(0,0,0), A1 (0,0, 4), D(0,8,0),

B1 M A
B

C1
D

y

2 5 AD与平面ANM 所成角的正弦值是 5

???? ???? ? 2 5 cos ? AD, A1D ?? 5

x

C

题型二:线面角

练习: 正方体 ABCD ? A 1B 1C 1D 1 的棱长为1.
求B1C1与面AB1C所成的角.
A1 B1
A B

D1

C1
D

C

题型三:二面角

二面角的范围: ?? ? ? n2 ?? A n1 ?
O

? ?[0, ? ]
?? ? ? n2
?

?? n1
?

?

B

cos ?

?

?? ?? ? | cos ? n1, n2 ?|

cos ? ?

?? ?? ? ? | cos ? n1, n2 ?|

关键:观察二面角的范围

题型三:二面角 例三 如所示,A B C D 是一直角梯形,?A B C = 900 , 1 SA ? 平面ABCD, SA ? AB ? BC ? 1, AD ? , 求面SCD与面SBA 2 S 所成二面角的余弦值.
B
A D

C

如所示, A B C D 是一直角梯形,?A B C = 900 , 1 SA ? 平面ABCD, SA ? AB ? BC ? 1, AD ? , 求面SCD与面SBA 2 所成二面角的余弦值. 例三

z

解: 建立空直角坐系A - xyz如所示, 1 B - 1, 1, 0) , D (0, , 0), S (0, 0,1) A( 0, 0, 0) , C( C ? ????2 1 易知面SBA的法向量n1 ? AD ? (0, , 0) 2 ??? ? ??? ? A D y 1 1 x CD ? (1, ? , 0), SD ? (0, , ?1) 2 2 ?? ? ??? ? ?? ? ??? ? ?? ? 设平面SCD的法向量n2 ? ( x, y, z), 由n2 ? CD, n2 ? SD, 得: y y ? ? x? ?0 x? ?? ? ? ? ? 2 ? 2 ?? ? 任取n2 ? (1,2,1) y ? ?z?0 ?z ? y ? ?2 ? ? ?? ?? ? 2 ?? ?? ? n1 ?n2 6 6 ?? ?? ? ? cos ? n1 , n2 ?? ? 即所求二面角得余弦值是 3 | n1 || n2 | 3

S

小结:
1.异面直线所成角: ??? ? ??? ? cos ? |cos ? CD, AB ?|

C

D

?

?

A

?
B

D1

A
O

2.直线与平面所成角: ? ??? ? sin ? | cos ? n, AB ? |

? n

?

?
?

B
?? ? n2
?

?

3.二面角: ?? ?? ? , n ? | cos ? ? | cos ? n 1 2 ?? ?? ? cos ? ? ? | cos ? n1, n2 ?|
关键:观察二面角的范围

?? n1
?

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